【原】复变函数第0章：预备知识(2)

几何意义

复平面

0.1

每一个复数都唯一对应一个有序对,因此我们可以建立全体复数到二维平面的一个同构，我们称这个平面为复平面.我们知道复平面上的点可以用向量表示，因此我们可以建立复数和向量之间的关联.例如复平面上的每一个点,都可以用向量来表示，因此每一个复数也可以用向量表示.而复数的加减法正好和向量的加减法相对应.

值得注意的是，这两者并不完全相同，因为复数的乘法和除法在向量中没有.

我们知道二维平面上的点有极坐标表示，同样复平面中我们也有极坐标表示，其中极径就是复数的模长,而我们知道极角有无穷多个，因此我们将其限制在称这个极角为，记为.而对于都是极角，我们称之为记为Arg z.有时我们也会令主辐角在.这影响不大.

现在我们可以给出复数的三角表示：

其中是辐角.是模长.现在我们可以给出和辐角之间的关系：

现在我们可以给出复数乘法的几何意义：

如果 , 则

乘法和除法可以看作是先伸缩，再旋转对应角度，其中乘法是逆时针旋转，除法是顺时针旋转.

下边我们再给出复数的另一种表示:：这里引入还有点过快，因为我们还没有介绍复变函数，但是由于其使用的方便性，因此我们先引入这一表示，后面我们会证明这是正确的，且没有循环证明！

[Euler公式] 复数 可表为

利用这一公式，我们可以大大简化许多运算.以及给出更简洁的表达式.

设

则与通常指数函数的运算相同, 我们有

这一关系式使得复数表示为指数形式时,乘方和开方运算更为方便.利用这一表达式我们还可以给出乘法与辐角之间的关系：

注意到只有辐角有这样的性质，对于主辐角没有，因为辐角只能限制在一个内，但是加法和减法运算后可能会超过这个范围.利用这一性质我们可以给出三角不等式中等号成立更简洁的证明：

如果 中等式成立, 则应有 . 由此 得 , 即 . 因此

这说明 , 复向量 与 同向. 所以存在实数 , 使得 . 证毕.

同时还可以得到著名的

设 , 求复向量 按逆时针方向旋转 后所得的向 量.

求解方程 , 其中 .

设,其中是主辐角，,其中也是主辐角，那么：

因此我们有

方程 有 个不同的根, 它们是

把复数 写成三角形形式.

可以得到：

证明:

注意到：

左边右边实部虚部展开就得到了所需要证明的.

证明:

( 提示: 考虑方程式 的 个不为零的根的乘积. )

根据提示所述，我们知道上述方程的根为,设为,那么：

因为上述中仅有一个排列中不含0，不妨记为,那么：

而

所以乘起来即得所证.

几何运用:直线

我们已经知道：

而平面上的一条直线的方程为：

我们讲带入得：、

如果令 , 则 为非零复数, 直线方程可表示为

反之任给 , 则 是一平面的直线方程.

注：

注 对于任意复数 , 变量 和 的线性关系式 一般并不是直线的方程, 其包含了两个实方程、

例如 化为实方程是 和 , 其解为 , 仅是平面的一个点. 而如果

其表明方程的虚部为零, 这时必须 , 则方程是一实方程, 其表示的才是一直线.

特别的，如果直接给出两个点,我们还可以更简洁的给出直线的复数参数方程，即设.那么直线方程为：

几何运用：圆

对于一般的圆的方程可以表示为：,因此：

反之如果给了一个方程：

如果这是一个圆的方程的化，那么：

这就要求：.这是一个以为圆心，为半径的圆.

几何应用：平面几何问题

证明: 平面上四点 共圆的充要条件为

0.2

乍一看上去这个题目很复杂需要讨论的相对位置，但是当我们将四点共圆的情况画出来(随便一种位置)，我们就会发现四点共圆实际是考虑角和的相对情况，四点共圆有两种情况一种是两个角都是锐角，对角和是,而虚部为0就意味着对应的辐角是的整数倍，由此得证.(注意到arg 表示夹角，且注意到方向！)

证 从图可以看出, 四点共圆的充要条件是向量 和 的夹角等于向量 和 的夹角或互补 (当 在 与 之间时 ), 即

这说明复数 在实轴上, 因而等式 成立.

设 是单位圆周上的三个点, 证明: 这三个点是一正三角形三个顶点的充要 条件为

因此：

同理其他边也是边长为由此可得是个正三角形

由上边可得：,那么可得到,因此可以计算出：.

练习题：设 , 证明由方程

所确定的点 的轨迹是一圆周 (通常称为 Apollonius 圆), 该圆周的圆心 和半径 分别为