高中物理竞赛第一讲：数学基础之微积分（上）——— 函数和极限

钺YUE 2022-02-06

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引言：学物理为什么要学微积分？

为什么要学微积分，大家先思考一下下列问题：

1、如何求如下图所示两个运动在to时刻的加速度和0～to时间内的位移？

2、如何求小球从四分之一光滑圆弧滚下来的时间？

3、半球体的重心在哪里？

4、物体m从遥远高空坠落地球过程中，万有引力所做的功？

5、如下图是一个横放着的水桶，水桶内有半桶水，求水对桶一个端面的压力？

............

这些问题你觉得应该怎么解？

物理和微积分紧密联系在一起的，牛顿既是物理学家又是微积分的发明人，著名的麦克斯韦方程式就是用微积分书写的：

让我们一起走进微积分的世界吧，有了微积分，一定会让你的物理学习如虎添翼！现在正式开启物理中的数学课了！

序言：关于微积分的历史
恩格斯说过：“ 在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。”
自17世纪牛顿和莱布尼兹创立微积分以来，数学便完成了由古典数学向近代数学的转换，经过不断地发展与完善，便形成了我们今天学习的《高等数学》。高等数学是大学里面几乎所有专业都要学的，只不过有的专业会学得~深一些，学到了《数学分析》；而有的专业学得浅，只学习《微积分》。你喜欢也好，讨厌也罢，都不能否认高等数学是最为重要的科目之一。当然它的难度也是相当高的，让人看得云里雾里的极限定义，纷繁复杂的求导积分，令人头皮发麻的泰勒公式，以及天马行空般的中值定理，无不让每个初学者心有余悸。
微积分的发明可以说是人类思想史上开天辟地的大事件。18~19世纪，它在各个自然科学里面都得到了广泛的应用，极大地推动了人类科学技术的进步。
顾名思义，微积分(calculus)是由微分(differentiation)和积分(integration)两部分组成。微分面临的主要问题是：如何求一个函数在某一瞬间的变化率?而积分面临的主要问题是：如何求不规则曲线围成的图形的面积?这两个问题都得到了完美的解决，二者统一与大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz formula)中，也称为微积分基本定理( FundamentalTheorem of Calculus)：

其实，如何求曲线围成的图形的面积是一个非常古老的问题，并且古代数学家们为了解决这个问题，已经产生了一些微积分的思想萌芽。比如古希腊的阿基米德，利用“穷竭法”来求解圆锥曲线。以及我国东汉时期的科学家、文学家刘徽，发明了“割圆术”来求圆形的面积，都是这一思想的重要体现。割圆术的大概思想就是，用正多边形来逼近圆形。边数越
多则误差越小，当边数趋近于无穷大时，极限就等于圆的面积。

这种思想也被包括牛顿和莱布尼斯在内的近代数学家们所继承下来。我们在求一条函数曲线下方的图形面积时。用的方法就是把它竖着切割成很多小长条，每一个小长条都是一个长方形，因此它的面积是很容易求的，再把所有小长条的面积加在一起。

当小长条的个数达到无限大，换句话说，把整个区间分割成无限细的时候，它的极限就是我们要求的面积值。

1853年，德国数学里黎曼(Bernhard Riemann，1826~1866)，对!就是提出“黎曼猜想”的那个黎曼，用精确的数学语言给出了这种方法的叙述。这就是我们在高等数学课本上看到的那个定积分的定义。
简单来说，对于函数f(x)，其在闭区间[a，b]上围成的面积。首先把闭区间分割成很多小的子区间，然后在每个子区间上随便找一点，以这点的函数值为高做一个长方形，这样这一个小长方形的面积就是这个小段的宽度乘以高。所有小长方形的面积加在一起，再求一个极限就得到了整个函数曲线围成的面积，用式子写出来就是：

由于这个式子是黎曼给出来的，因此右边那个求和式子也被称为“黎曼和”(Riemann sum)，这种定积分也被称为“黎曼积分'(Riemann integral)。不仅如此，牛顿-莱布尼兹公式还给出了计算黎曼积分的方法，即原函数在两点取值的差。

至此为止，人类在数学上取得了巨大的成功!我们竟然连曲线围成的面积都会计算了。从此，大到宇宙天体的运行规律，小到原子分子的结构组成，乃至人类社会的组织行为和个人的消费选择，全部被纳入到微积分这个框架之下。之前隐藏在大自然中的奥秘一个一个的被揭露出来，人类仅仅凭借自己的理性便掌握了上帝创造出来的这个世界的内在规律。因此这套理论的创始人牛顿便被人们誉为“最接近上帝的人”。

等等，千万不要高兴的太早!历史一再提醒我们。当时，人们在自然科学中接触的函数基本都是连续函数，而连续函数的定积分都是非常容易求的。即使是有间断点，那也是有限的几段，只需要每一段上分别求定积分，最后加在一起就可以了。
而人们对于函数的认识也是比较肤浅的，当时人们觉得，一个函数就是一个y关于x的表达式，而我们也可以自然地画出它的图像来。然而这种观点很快就被打破了。1837年，德国数学家狄利克雷(Dirichlet， 1805~1859)突破了这个框架，他认为函数就是集合中两个元素的对应关系，而不必非得有一个表达式，于是提出了函数就是x与y之间的一种对应关系的现代观点。我们现在教科书上的关于函数的定义，基本上就是沿袭了这种观点。
为了说明这一观点，狄利克雷就构造了一个人们以前从来没有见过的函数，就是我们现在被称之为狄利克雷函数(Dirichlet function)的函
数，它的函数表达式如下：

这个函数的图像让人想想就头皮发麻：在实数轴上有无数多个密密麻麻的有理数，同时还有无数多个密密麻麻的无理数。因此它的图像也是如此的诡异：在y=1的地方密密麻麻分布着无数个点，但是因为有无理数的存在，所以这些点彼此又存在无数多的空隙，不能连成一条连续的直线，同样道理，在x轴上也是如此!这样的图像我们想试用笔画出来是万万不可能的。
起初人们只是认为，像狄利克雷函数这种病态函数只是一个思维游戏，我们理它作甚!但是随着后来更多的病态函数不断涌现，人们不得不去思考这类函数的意义与性质。此时数学家惊恐地发现，这类函数彻底颠覆了之前的关于函数的那种直观想象，它甚至是不可求定积分的!
因为有理数和无理数是密密麻麻的排列在实数轴上的，所以一个小区间无论多么的短，它里面都包含着无数多有理数和无理数。

每当遭遇危机，便是英雄出世的年代。此时，我们的英雄—勒贝格，终于出场了。勒贝格1875年生于法国博韦，1894~1897年在巴黎高等师范学校(Ecole normalesuperieure， ENS)学习。相信熟悉法国科学史的人对这个名字一定不陌生，它是法国最顶尖的大学，诞生了拉格朗日，拉普拉斯，柯西，傅里叶，伽罗瓦，勒让德等一大批数学大师。勒贝格1902年在巴黎大学获得博士学位，从此在法国多所大学任教。1922年当选为巴黎科学院院士。
勒贝格天才般的转换了一下思路我们为什么要把这个图形竖着切成长条呢，对于狄利克雷函数，你无论竖着怎么切都是不可以的。那
我们如果横着来切会怎么样?比如下面这个图形。

勒贝格的这套积分理论解决了的利克雷函数可积性的问题，就是说狄利克雷函数是勒贝格可积的，并且积分值为0。
数学家进一步研究发现，但凡黎曼可积的函数，一定是勒贝格可积的，并且它的黎曼积分值就等于勒贝格积分值。也就是说黎曼积分，只是勒贝格积分的一个特例，从这个角度讲，我们学习黎曼积分仍然是有意义的。黎曼积分与勒贝格积分的关系数学家还发现了另外一个十分惊人的结论：勒贝格可积函数是黎曼可积函数的完备化。

所有黎曼可积的函数拿出来做成一个集合，这个集合的内在结构是残破的。但如果把勒贝格可积的函数也放进来，正好就把这个破口堵上了，结构就是非常完备的。这个结论也深刻揭示了勒贝格积分与黎曼积分的内在联系。