初中全等50题(６):中心对称图形＋整合线段

如图所示，在矩形 ABCD中，点O为 AC 的中点，AO=AE=CF，若OE=4√2，OF=6，求 AE 的长度?

解题思路：这是一道计算题，条件中包括了矩形，线段中点，两组等腰三角形而且腰相等，因为矩形是中心对称图形，一般考虑旋转把不相关的线段整合到一个三角形中，然后利用勾股定理等方法来求值。

辅助线如图所示，

延长EO交BC于H（其实就是把三角形ＯＡＥ沿点Ｏ逆时针旋转１８０°），连接FH；过F作OE的垂线交OE于G；

（１）利用矩形性质，易证△AOE≌COH;ＣＨ＝ＡＥ＝ＣＦ；

（２）在图中，α＋β＝９０°，θ＝１８０°－［１/２＊（１８０－α）＋１/２＊（１８０－β）］＝１/２＊（α＋β）＝４５°，所以三角形ＯＧＦ是等腰直角三角形；

（３）设∶AE=AO=CH=CO=CF=x，则FH=√2x，GF=GO=OF/√2=3√2,OH=OE=4√２;

（４）在Rt△FGH中，GF²+GH²=FH²，即（3√2）²＋（4√2+3√2）²=（√2x）²，可得ｘ＝√５８；