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| 第02讲 二次根式的乘除 |
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第2讲二次根式的乘除
知识导航
1．最简二次根式的概念与将二次根式化为最简二次根式；二次根式的分母有理化；
2．二次根式的乘法公式的正反互逆应用；二次根式的除法公式的正反互逆应用．
【板块一】最简二次根式
方法技巧
满足以下两点的二次根式，就叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．逆用乘法公式：＝((a≥0，b≥0)．
题型一最简二次根式
【例1】下列二次根式中，为最简二次根式的是( B )
A． B． C． D．
【分析】＝含平方因数9，A不是最简二次根式；C的被开方数是分式；D的被开方数是分数，只有B符合最简二次根式条件，故迭B．
【解答】B
题型二在实数范围内分解因式
【例2】分解因式：
(1)x4－9；(2)4x2－32；(3)x2－2x＋2，(4)x2－6x＋7．
【解答】(1)x4－9＝(x2－3)(x2＋3)＝(x＋)(x－)(x2＋3)；
(2)4x2－32＝4(x2－8)＝4(x＋2)(x－2)；
(3)x2－2x＋2＝x2－2x＋()2＝(x－)2；
(4)x2－6x＋7＝x2－6x＋9－2＝(x－3)2－()2＝(x－3＋)(x－3－)，
题型三二次根式根号外与根号内的因式互移
【例3】已知a＜b，化简二次根式的正确结果是( A )
A．－a B．－a C．a D．a
【分析】依题意，得－a3b≥0，a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0≤b或a≤0＜b，＝(＝|a|＝＝－a，故选A．
【解答】A
【例4】设＝－，则的值为( B )
A．a－－a C．a＋＝－，∴x＝＋a－2，∴0＜a≤1．∴＝＝＝＝－a，故选B．
【解答】B
【例5】如果非零实数a，b满足＝－ab，那么点(a，b)在( B )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】依题意得＝＝|ab|＝－ab．∴b＞0，－ab＞0．∴ab＜0，∴a＜0，点(a，b)在第二象限．故造B．
【解答】B．
针对练习1
1．下列计算：①＝2；②＝2；③(－2)2＝12；④(＋)(－)＝－1．其中正确的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】①正确；②＝＝2正确；③正确；④原式＝()2－()2＝2－3＝－1，正确，故选D．
2．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为____5____．
【解答】＝＝3为整数，5n为平方数，整数n的最小值为5．
3．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，…，那么第10个数应是___3___．
【解答】0＝，＝，＝，3＝，2＝，…，第10个数为＝3．
4．已知xy＜0，则化简后为( B )
A．x B．－x C．x D．－x
5．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．
已知a为实数，化简－a．
解：原式＝a－a(＝(a－1)．
【解答】不正确，由题知a＜0，∴原式＝|a|－a(＝－a＋＝(1－a)．
6．若0＜a＜1，则化简＋的结果是( D )
A．－2a B．2a D．
【解答】＋＝＋＝＋＝＋，∵0＜a＜1，∴a－＜0，
原式＝|a＋|＋|a－|＝a＋＋－a＝．
7．把下列各式化成最简二次根式：
(1)；(2)－；(3)(a－1)．
【解答】(1)原式＝＝3；
(2)原式＝－(＝－
(3)原式＝(a－1)(＝－
【板块二】分母有理化与分子有理化
方法技巧
二次根式的运算中，一般要将最后结果化为最简二次根式或整式，且结果的分母中不含有二次根式，分母中含有二次根式的，要进行分母有理化，将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，如的有理化因式是±，±的有理化因式是?.
题型四分母有理化
【例1】已知a＝＋，b＝，则a与b的关系是()
A.a＝bB.ab＝1C.a＝－bD.ab＝－5
＝＝；②＝＝；
③＝＝；…
回答下列问题：
(1)利用你观察到的规律，化简：；
(2)计算：＋＋＋…＋.
【例3】若实数x，y满足(x－)(y－)＝2019.
(1)求x，y之间的数量关系；
(2)求3x2－2y2＋3x－3y－2018的值.
题型五分子有理化
【例4】已知：x＝－，y＝.
(1)求证：x＞y；
(2)求的整数部分.
针对练习2
1.已知a＝，b＝，则的值为()
A.3B.4C.5D.6
2.(＋＋＋…＋)×11.
3.如果的整数部分是a，小数部分是b，则＝____________.
4.已知a＝－，b＝－，c＝－，比较a，b，c大小.
5.已知＋＝3，求－的值.
.
6.已知a＝－1，b＝－，c＝－2，那么a，b，c的大小关系是()
A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a
与.
【板块三】二次根式的乘除运算
方法技巧
运用(＝(a≥0，b≥0)和＝((a≥0，b≥0)进行计算和化简；利用＝(a≥0，b＞0)和＝(a≥0，b＞0)进行计算和化简.
题型六二次根式乘除计算
【例1】(7－5)2018((－7－5)2019＝_____________.
【例2】计算：
(1)(3＋2)(3－2)；
(2)(－＋)(－－)；
(3)(3＋2)(2－3)；
(4)(3＋2)12((2－3)11＋(3－)2；
(5)()1009(.
题型七化简求值
【例3】当－3≤x≤2时，化简：|x－2|＋＋.
【例4】已知x＋＝，求：(1)x2＋；(2)x－.
【例5】已知x＝，y＝，则x2－xy＋y2的值是_________.
【例6】若a＞0，b＞0，且(＋)＝3(＋5)，求的值.
针对练习3
1.已知x＝，y＝，求＋的值.
2.若x＝，则x2－2x＋3的值为___________.
3.当x＝，y＝时，求的值.
4.比较＋与＋2的大小关系，并写出解答的过程.
5.若x＋y＋6＝2(＋2)，求x，y的值.
6.已知a，b为实数，且a＞0，b＞0.
(1)求证：a＋b≥2；
(2)若y＝a＋，且a＞0，求y的最小值；
(3)已知x＞0，则y＝的最大值为__________.
7.阅读材料：
用配方法求最值：已知x，y为非负实数，∵x＋y－2＝(－)2，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y时，等号成立.
示例：当x＞0时，求y＝x＋＋4的最小值.
y＝(x＋)＋4≥2＋4，当x＝，即x＝1时，y的最小值为6.
尝试：当x＞0时，求y＝的最小值.
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