第17章勾股定理
第4讲勾股定理与线段长
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1.勾股定理及证明，勾股定理的逆定理及其应用；
2.灵活运用勾股定理，勾股定理的逆定理解决几何问题。
【板块一】勾股定理求边长
方法技巧
直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,则有.在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长.
【题型一】勾股定理求边长
【例题1】在直角△ABC中，若斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2的值是__________.
【例题2】如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，AD=CD=3，∠BAD=135°，AB=6，求BC的长.
题型二利用勾股定理列方程
【例题3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是△ABC的两条中线，BE=2,AD=5，求AB的长.
【例题4】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6，腰AB上的高CE=8,求△ABC的周长.
针对练习1
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，AB=10.
（1）求CD的长；
（2）若AE平分∠BAC交BC于点E，求CE的长.
2.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°，CD⊥AB于点D.
（1）已知AC=3，BC=4，求AD、BD的长.
（2）已知AD=，BD=，求BC、BD的长.
（3）已知AD=，BD=，求AC、BC的长.
（4）已知AD=，BC=4，求AC、BD的长.
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9，BCCD=7，点M是AD的垂线交BC于点N，求BN的长.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒.
（1）当△ABP为直角三角形时，借助图1求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，借助图2求t的值.
【板块二】探究线段间的平方关系
方法技巧
线段之间的平方和或平方差的关系，通常是将它们转换到一个直角三角形中求解，或是转换到底共边的直角三角形中求解.
题型三探求线段平方关系
【例题1】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°.
（1）如图1，若点P是BC边上一点，则与的数量关系是___________；
（2）如图2，若点P是BC延长线上一点，则与的数量关系是___________；从（1）（2）中任选一个结论证明.
【例题2】如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC=30°，求证：
题型四特殊角与勾股定理
【例题3】如图，在△ABC中，BC=，∠ABC=45°=2∠ECB，BD⊥CD，则的值是___________.
【例题4】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，且∠DCE=45°，BE=2，AD=3，将△BCE绕点C逆时针旋转90°，在图中画出旋转后的图象，并求DE的长.
【例题5】如图，在等腰直角△ABC中，AC=15，AB=13，BC边上的高AD=12,则边BC的长是_____________.
题型六数形结合构造直角三角形
【例题6】在平面直角坐标系中，已知点A（0，a）,B(b，0)（a＞0,b＞0），且a、b满足.（1）判断△AOB的形状，并证明你的结论；
（2）点P为第一象限内一点，若OP=4，PB=2，AP=2，求a的值.
针对练习2
1.如图，在△ABC中，∠C=90°,AM=CM,MP⊥AB于点P.求证：
2.如图，AD是△ABC的中线，求证：
3.如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为ABE、F分别在AC、BC上，DE⊥DF.
（1）求证：DE=DF；
（2）AC=4，AE=3，求DE的长.
4.如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5,则BD的长为__________.
5.如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO,点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为_________________.
6.如图1，在△ACD中，∠ACD=30°,AG⊥AD，且AG=AD=GC.
（1）求∠AGC的度数；
（2）如图2，延长CD到点B,若∠ABC=45°，求的值.
7.在△ACD值，AD=4，CD=3，在△ABC中，AB=AC.
（1）如图1，若∠CAB=60°,∠ADC=30°.
①在△ACD外作等边△ADD′，求证：BD=CD′；
②求BD长
（2）如图2，若∠CAB=90°，∠ADC=45°,求BD的长.
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