第5讲勾股定理与全等
知识导航
全等三角形的对应边、对应角相等，因此可利用或构造全等三角形转换边或角的关系，将相关的线段或角转换到直角三角形中，再结合勾股定理解决问题.
【板块一】倍长中线法构造全等三角形和直角三角形
题型一找全等三角形
【例题1】如图，在Rt△ABC中，C=90°，CDAB，垂足为D，BE平分ABC，交CD于点F，EHCD于点H.
（1）求证：
（2）求证
（3）求的值；
（4）若点F为BE的中点，求证：AD=3BD.
【例题2】如图，AB=12，ABBC于B，ABAD于点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，求AE的长.
针对练习1
如图，在△ABC中，BA=5，AC=13，BC边上的中线AD=6.
（1）求BC的长；
（2）作BEAC于点E，求BE的长.
【板块二】角平分线翻折法构造全等和直角三角形
题型三角平分线翻折法
【例1】如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CDAB于点D，AE平分BAC交BC于点F，交CD于点E，过点E作EHAB交BC于点H．
（1）求证：CF＝BH；
（2）若AC＝6，AB＝10，求FH的长．
【例2】如图，AC平分BAD，CEAB于点E，CFAD于点F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCEDCF；
（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10．求AC的长．
针对练习2
如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABGAFG；
（2）求BG的长．
【板块三】旋转构造法构造全等和直角三角形
题型四手拉手旋转构造
【例1】如图，Rt△ABCRt△EDF，ACB＝F＝90°，A＝E＝30°，将△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1)猜想：当0°＜CDF＜60°时，AM＋CKMK，证明你所得到的结论；
（2）如果MK2＋CK2＝AM2，求CDF的度数和的值．
题型五旋转、翻折构造
【例2】（2017武汉中考改）如图，在△ABC中，AB＝AC，BAC＝120°，点D，E都在边BC上，DAE＝60°，BD2＝DE2＋EC2，求AED的度数．
【例3】如图，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的两点，满足DAE＝135°，求证：CD2＋BF2＝DE2．
题型六特殊角手拉手构造
【例4】在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC所在平面内，且ABC＝ADC＝45°，
（1）如图1，当D，B在AC同侧时，求证：BD＋DC＝DA；
（2）如图2，当D，B在AC两侧时，探究BD，DC，DA之间的数量关系．
针对练习3
如图，在等腰Rt△ACB中，ACB＝90°，点D，E在AB上，DCE＝45°，AD＝3，BE＝4，求AC的长．
如图，在四边形AECD中，C＝D＝90°，AD＝DC＝6，AE＝3，F为CD上一点，且EAF＝45°，求DF的长．
3．如图，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，求BPC的度数．
4．如图，在△ABC中、AB＝3，BC＝5，ABC＝60°，以AC为边向△ABC外作等边△ACD，求BD的长
5．如图，在等边△ABC中，ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
|
|
