第6讲勾股定理与作图
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1．用勾股定理画长为(n为整数）的线段；画格点直角三角形；
2．通过展开图、轴对称翻折或旋转作图，利用勾股定理求最值．
【板块一】画长为（n为整数）的线段；画格点直角三角形
方法技巧
题型一勾股定理画线段
【例1】如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是．
题型二格点直角三角形
【例2】如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作（）
A．2个B．3个C．4个D．6个
针对练习1
1．请用作图构造法比较与的大小关系，在下面的图中进行构图，解答上面的问题．
2．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠QPN＝30°，在点A处有一所中学，AP＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，学校是否会受到影响？若不受影响，请说明理由，若受到影响，已知拖拉机的速度为5m/s，那么学校受影响的时间为多少秒？
【板块二】利用勾股定理求最值
方法技巧
题型三利用垂线段最短求最值
【例1】如图，点E为边长为4的等边△ABC的BC边上一动点(点E不与点B，C重合)，以AE为边在AE右侧作等边△AEF，求△AEF面积的最小值．
题型四利用轴对称求最值（两定一动型）
【例2】如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM＝2，点N是AC上的一动点，求DN＋MN的最小值．
题型五利用轴对称求最值（两动一定型）
【例3】如图，在RI△ABC中，∠ACB＝90"，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC＋PQ的最小值．
题型六化曲为直求最值
【例4】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10
cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，
且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是cm．
题型七数形结合求最值
【例5】（1)如图，点C为线段BD上一动点，AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，若AB＝5，DE＝1，BD＝8，CD＝x，①用含x的代数式表示AC＋CE的长；②求AC＋CE的最小值；
（2)若y＝，求y的最小值；
（3)若y＝，求y的最大值。
【例6】(1)已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝，y＝，求y的最小值；
对于正数a，b，m，n求证：
针对练习2
1．如图，已知AB＝10，点P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的长的最小值为（）
A．4B．5C．6D．5（－1）
2．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400m，BD＝200m，且CD＝800m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短?最短路程是多少?
3．如图，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?（取3）
4．如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?
5．如图，观察图形解答下面的问题：
（1）此图形的名称为．
（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个．
（3）如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能绕此立体图形的表面螺旋爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
（4）若SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．
6．如图，设∠MON＝20°，点A为OM上一点，OA＝4，点D为ON上一点，OD＝8，点C为AM上任意一点，点B是OD上任意一点，则AB＋BC＋CD的最小值是（）
A．10B．11C．12D．13
7．在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是．
如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点M，N分别为AB，AC上的动点，求BN＋MN的最小值．
9．如图，已知点P是边长为2的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
10．求代数式的最大值．
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