第13讲正方形
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1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.正方形既是矩形又是菱形,它既具有矩形的性质,又具有菱形的性质.
3.正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形.
4.矩形ABCD加上一个条件:邻边相等,就可以得到正方形ABCD.
5.菱形ABCD加上一个条件:一个角是直角,就可以得到正方形ABCD.
【板块一】正方形的简单证明和计算
方法技巧
有一内角为60°的菱形,较短的正方形是轴对称图形,对角线平分一组对角,可以用来构造对称的全等三角形;正方形的四边相等,相等的边与直角相邻,为构造全等三角形提供了一对边相等,一对角相等.
题型一正方形的简单证明
【例1】如图,点E为正方形ABCD对角线BD上一点,EM⊥BC,EN⊥CD,垂足分别为M,N,连接AE.求证:(1)MN=AE;(2)AE⊥MN.
【例2】如图1,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,M,N分别在OA,OB上,且OM=ON.
(1)求证:①BM=CN;②CN⊥BM;
(2)如图2,若M,N分别在OA,OB的延长线上,则(1)中的两个结论仍成立吗?请说明理由.
图1图2
题型二正方形的简单计算
【例3】点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A,B重合),连接PD,将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得到线段PE,连接BE,则∠CBE等于()
A.75°B.60°C.45°D.30°
针对练习1
1.如图,..
2.如图,
(1)求证:OE=OF;
(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.
3.,正方形ABCD中,点E,F分别是对角线AC,BD上的两个动点,AC,BD相交于点O.
(1)如图1,若AE=DF,求证:AF=BE;
(2)如图2,若点E是OC的中点,DF=BD,AF与BE的延长线交于点M,求∠M的度数;
(3)若正方形的边长为3,DF=,当射线AF与BE的夹角为45°时,则DF=.(请直接写出结果)
图1图2图3
【板块二】正方形中的问题
方法技巧
证“a=b”型问题常a,b将转化到等腰直角三角形中解决问题.
题型三正方形中形如a=b线段关系探究
【例1】如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE,过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=+.其中正确结论的序号是()
A.①③④B.①②③C.②③④D.①②④
题型四?正方形中形如线段关系探究
◆方法技巧◆?
通过截长补短或作垂线,构造全等,构造等腰直角三角形是解决倍线段关系问题的关键.
方法一:→补短法(或作垂线)→构造等腰直角三角形
方法二:→截长法(或作垂线)→构造等腰直角三角形
例2如图1,正方形ABCD中,E为CB延长线上一点,且BE=AB,M,N分别为AE,BC的中点,MN交ED于点H.
(1)求证:HEB=∠HNB;?
(2)如图2,过点A作APED于点P,连接BP,求的值.?
针对练习2
1.如图,在正方形ABCD中,E为BD上一点,F为BC上一点,且AE=EF,求证:CF=DE.
2.如图,点E是正方形ABCD的边CD上一动点(不与点C,D重合),连接AE,过点A作AFAE,交CB的延长线于点F,连结EF,点M为EF的中点,连结AC,BM.
(1)求证:AE=AF;
(2)当点E在CD上运动时(不与C,D重合),
(3)求的值.
3.已知E是正方形BC边上一点,F是CD边上一点,EAF=45°,AE,AF分别交BD于点G,H.
(1)如图1,求证:AEAH;BH=BE+AB;
(2)如图2,求证:CE=HD.
4.在正方形ABCD中,点E,F分别为AB延长线,BC边上的点,且BE=BF,连接CE,AF.
(1)如图1,求证:AFCE;
(2)如图2,延长AF交CE于点G,作CHBG于点H,求证:AG=BH;
(3)分别取AC,EF的中点M,N,若AB=3,BE=1,请直接写出线段MN的长度为____.
板块正方形中线段的和差倍分关系
题型五正方形中线段的和差关系
例1如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC上一点,EGAF于点H,交CD于点G,求证:BE+BF=CG.
例2如图,直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A(不经过顶点B,C,D),过点B作BEMN于点E,过点C作CFMN于点F.线段AF,CF,BE有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择图1、图2中的一种情况给予证明.?
题型六?正方形中线段的倍分关系
例3正方形ABCD中,点E在BC上,点F在AB上,且AF=BE,DF交AE于点H.
(1)直按写出线段AE,DF的位置及数量关系为____________________
(2)如图1,在HD上取一点M,使HM=HA,点O为MC的中点,请写出线段DH与DO的数量关系,并证明;
(3)如图2,将直线FD沿射线AE方向平移,交线段AB于点N,交AE于点I,交CD于点K,若DI=DC,求的值.
针对练习3
1.如图,在正方形ABCD中,E为CD的中点,点F在边BC上,BAE=∠AEF.?
(1)求证:FAE=45°;
(2)求的值.
2.如图,点E是正方形ABCD的边BC的中点,点F为CD上一点,且1=∠2,求证:AF=BC+CF.
3.正方形ABCD与正方形有公共顶点D,连按,,点M,N分别为,的中点,连按MN.
(1)如图1,当C在上时,求证:C=2MN;
(2)正方形DCBA绕点D旋转到如图2的位置,其他条件不变,(1)的结论是否成立?加以证明
板块正方形中的折叠问题
七正方形中折叠问题
例1在正方形ABCD中,E,F分别在AD,BC上,将正方形沿EF折叠,使点B落在CD上的点H处,点A的对应点为点G,CH交AD于点P.
(1)如图1,求证,AE+CH=FH;
(2)如图2,求证:HBP=45°;
(3)求证:PE+PG+EG=HD.
例2已知正方形ADCD的边长是2,点P沿A→B→C→D运动,到达点D停止
(1)如图1,连接PD,AP,设点P运动的距离为,请用表示△APD的面积y(直接写出结果);
(2)过点D作DEAP于点E.
如图2,点P在线段BC上,将APB沿AP翻折得到△APB,连接DB,求B′DE的度数;
如图3,连接EC,若CDE是等腰三角形,则DE=_____.(直接写出结果)
4
1.如图,将正方形ABCD折叠,使点A与CD边上一点F重合(F不与D,C重合),折EM,点M在CB上,边AB折叠后与边BC交于点G,设正方形的周长为m,FCG的周长为n,则的值为()
.B.C.D.
2.如图,点E,F是正方形ABCD内的两点,且BE=AB,BF=DF,EBF=∠CBF,求BEF的度数.
板块构造正方形技巧
题型八翻折或旋转三角形构成正方形
例1如图,在四边形ABCD中,BAD=∠BCD=90°,AB=AD,AECD于点E,若AE=10,求.
例2如,四辺形ABCD中,ADBC,BCD=90°,AB=BCAD,
DAC=45°,ECD上点,BAE=45°,若CD=4,求BC的和△ABE的.
题型九补全形成正方形
例3如,在ABCD中,AB=BC=CD,ABC=90°,BCD=150°,求BAD的度数.
例4如,ABCD是正方形,点E,K分別在BC,AB上,点G在BA的上,且CEBK=AG.
(1)求证:①DE=DG.②DE⊥DG;
(2)尺作:以DE,DG作出正方形DEFG;(要求:只保留作痕迹,不写作法和征明)
(3)接(2)中的KF.猜想并写出四辺形CEFK是怎的特殊四辺形.并的猜想;
(4)当,写出.
针对练习11.如图,在四边形AECD中,E=∠C=90°,AE=CE,M为EC上点,若MAD=45°,CD=6,CM=8,求EM的长.
2.如图,在RtABC中,B=90°,D是AB上一点,EDAB,ED=AB,连接EA,EC,若EAC=45°,AE=10,AD=6,求BC的长.
板块
题型十正方形与坐标系的结合
【例1如图,A(1,0),B(0,3),以AB为边作正方形ABCD,求点C,D的坐标.
【例2】已知A(a,0),B(b,0),C(a,b),其中a,b满足.
(1)求点C的坐标和四边形OACB的面积;
(2)如图,第四象限的点P(m,n)在射线AB上,且mn=﹣14,求OP2-OA2的值;
(3)如图,D是OC上一点,EDOA于点E,M是CD的中点,连接BE,EM,线段BE交OC于点N,求的值.
(图1)(图2)(图3)
针对练习6
1.如图,边长为2的正方形OABC的OA边与x轴的夹角为30°,求B,C的坐标.
2.如图,A(﹣3,4),四边形OABC为正方形,AB交y轴于点D.
(1)求点B的坐标;
(2)求点D的坐标.
3.如图,E(﹣2,0),A(0,4),延长EA至点D,使AD=AE,四边形ADCB为正方形.
(1)求点C的坐标;
(2)求CE的长.
4.在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上的一点,点M是线段OB上一动点(不包括点O,B),过M作MNDM,交CBE的平分线于点N.
(1)写出点C的坐标;
(2)求证:MD=MN;
(3)连接DN交BC于点F,连接FM.下列两个结论:FM的长度不变;MN平分FMB,其中只有一个结论是正确的,请你指出正确的结论,并给出证明.
(图1)(图2)
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