第19讲一次函数与面积
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由一次函数解析式可求直线与坐标轴的交点坐标，可以求两条直线的交点坐标；由几个点的坐标可以求三角形面积．
【板块一】点的坐标与面积
方法技巧
由直线解析式可以求直线与坐标轴的交点坐标，将坐标转换成线段长，然后可以求面积．
题型一由已知函数解析式求与坐标轴转成的三角形的面积．
【例1】已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点(3，－3)，且与直线y＝4x－3的交点在x轴上．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积
方法技巧
面积关系→线段关系→坐标→方程或线段关系→面积关系→坐标→方程．
题型二由已知图象与坐标轴围成的三角形的面积求点的坐标
【例2】如图，已知函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求△AOB的面积；
(2)若图象还经过C(m，2)和D(9，n)两点，求m＋n的值；
(3)在直线AB上是否存在点P，使得△AOP的面积为5，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【例3】如图，直线y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)求S△ABO；
(2)若C是x轴上一点(不与点A重合)，S△ABC＝2SBOC，求点C的坐标；
(3)若D是y轴上一点，2＜S△ABD≤6，求点D的纵坐标n的取值范围．
【例4】如图，直线y1＝x＋b过点A(－1，0)，交y轴于点E，直线y2分别交x轴，y轴和y1于B(，0)，C，D三点，并且△ABD的面积为．
(1)求直线BC的解析式；
(2)在线段CD上是否存在一点P，使得△AEP的面积为1，若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
针对练习1
1．已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P(－2，2)，且一次函数的图象与y轴交点A的纵坐标为4．
(1)求两个函数的解析式；
(2)求两条直线与x轴围成图形的面积．
2．如图，直线y＝x＋1与坐标轴交于A，B两点，直y＝2x＋4与坐标轴交于以，C，D两点．
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)求两直线的交点M的坐标；
(3)求S四边形COBM的大小．
3．如图，直线y＝－x＋4与y轴，x轴分别交于A，B两点，点C(－2，0)，点P在直线AB上，若S△PBC＝15，求点P的坐标．
4．如图，直线AB：y＝4x＋4交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，直线BC：y＝－x＋4经过点B，交x轴于点C，直线BC上是否存在一点P，使得S△ABP＜6？若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【板块二】由面积求直线的解析式
方法技巧
面积→线段的长→点的坐标→直线的解析式．
题型三由图象与坐标轴围成的三角形的面积求一次函数的解析式．
【例】已知一次函数的图象经过点(0，－2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求一次函数的解析式．
针对练习2
1．直线y＝，kx＋b经过点A(0，4)，与x轴交于点B，如果△ABO的面积为2，求直线AB的解析式．
2．如图，直线y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝kx－2K交x轴于点C，交y轴正半轴于点D，交直线AB于点E．
(1)求AC的长；
(2)若S△DOC＝S△BDE，求点E的坐标；
(3)直线y＝kx交直线CD于点F，当S△ACF＝S△ABO时，求k的值．
【板块三】平分面积问题
题型四直线分面积问题
【例1】如图1，两条直线分别为l1：y＝x＋b，l2：y＝ax，点O为原点，直线l1，l2交于点A(6，12)，点B在直线l1上，其纵坐标为3，另外，点C(3，6)为线段OA的中点．
(1)求a，b的值；
(2)求点B的坐标；
(3)如图2，求△OAB的面积；
(4)求经过点B，且平分△OAB面积的直线的解析式．
【例2】如图，将八个边长为1个单位长度的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，求直线l的解析式．
针对练习3
1．已知直线y＝x－1与x，y轴分别交于A，B两点，另一直线y＝kx－k与x轴交于点C，与直线AB交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)若△AOB被直线y＝kx－1分成的两部分面积相等，求k的值；
(3)是否存在直线y＝kx－1分△AOB所得的两部分的面积的比为1：5，若存在，求k的值，若不存在，请说明理由．
2．如图，点C(2，0)，直线AB：y＝kx＋4交x轴于点B，交y轴于点A，直线y＝kx＋k交BC于点M，交AC于点N，S△CMN＝S△ABC，求k的值．
【板块四】利用平行线转换面积
方法技巧
平行线间距离处处相等，利用这一性质可以通过作平行线转换三角形面积．
题型五作平行线转换面积
【例1】如图，点A(－2，0)，B(0，4)，C(5，3)，在y轴负半轴上是否存在点P，点S△PAB＝S△ABC，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．
【例2】如图，直线AB的解析式为y＝x＋4，直线BC的解析式为y＝－2x＋4，点P为直线AB上的一动点，且S△PBC＝6，求点P的坐标．
针对练习3
1.已知直线与x、y轴分别交于A，B两点，另一直线y=kx-k与x轴交于点C，与直线AB交于点D.
（1）求点C的坐标；
（2）若△AOB被直线y=kx-1分成的两部分面积相等，求k的值；
（3）是否存在直线y=kx-1分△AOB所得的两部分的面积的比为1:5，若存在，求k的值，若不存在，请说明理由.
2.如图，点C（2，0），直线:y=kx+4交x轴于点B，交y轴于点A，直线y=kx+k交BC于点M，交AC于点N，S△CMN=S△ABC，求k的值.
【板块四】利用平行线转换面积
方法技巧
平行线间距离处处相等，利用这一性质可以通过作平行线转换三角形面积.
题型五作平行线转换面积
【例1】如图，点A（-2，0），B（0，4），C（5，3），在y轴负半轴上是否存在点P，使S△PAB=S△ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【例2】如图，直线AB的解析式为y=x+4，直线BC的解析式为y=-2x+4，点P为直线AB上的一动点，且S△PBC=6，求点P的坐标.
针对练习4
1.如图，直线y=x+2分别交坐标轴于A，B两点，直线y=x-1分别交坐标轴于C，D两点，P为直线AB上一点，若S△PAD=S△PCD，求点P的坐标.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4交y轴于点A，交x轴于点B，直线y=x交AB于点P，K是直线y=x上一点，若S△ABK=5，求点K的坐标.
x
y
O
B
A
x
y
O
B
A
x
y
O
B
A
D
E
C
x
y
O
B
A
D
M
C
y＝x＋1
y＝2x＋1
x
y
O
B
A
C
x
y
O
C
B
A
x
y
O
C
B
A
D
E
x
y
O
B
A
l1
l2
C
(6，12)
x
y
O
B
A
l1
l2
C
(6，12)
图1
图2
x
y
O
x
y
O
B
A
x
y
O
B
A
C
N
M
y＝kx＋k
y＝kx＋4
x
y
O
B
A
C
x
y
O
B
A
C
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