第4讲几何问题与一元二次方程【知识导航】利用几何关系建立一元二次方程【板块一】判别式根系关系与勾股定理【方法技巧】根系关系＋勾股，建
立方程.【题型一】判别式、根系关系与三角形【例1】已知关于x的一元二次方程－（2k＋1）x＋4k－3＝0求证：无论k取什么
实数值，该方程总有两个不相等的实数根；当Rt△ABC的斜边长a＝，且两条直角边长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长【
解析】（1）∵△＝＋4＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）由根系关系得，b＋c＝2k＋1，bc＝4k－
3.∵＋＝，得－2（4k－3）＝31，解得，k＝3或－2，又4k－3＞0，∴k＝3，∴△ABC的周长＝a＋b＋c＝7＋.【题
型二】判别式、根系关系与四边形【例2】已知关于x方程－（k＋1）x＋＋1＝0的两个根是一个矩形两邻边的长.(1)k取何值时，
方程有两个实数根？(2)当矩形的对角线长为时，求k的值.【解析】（1）k≥；(2)k＝2.【题型三】判别式、根系关系与几何【例
3】如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且关于x的方程（a＋c）＋2bx＋c＝a有两个相等的实数根.判断△ABC的形
状；若CD平分∠ACB，且AD⊥BD,AD、BD为方程－2mx＋＝0的两根，试确定m与n的数量关系，并说明理由.【解析】（1）
∵关于x的方程（a＋c）＋2bx＋c＝a有两个相等的实数根，∴＝4－4（a＋c）（c－a）＝0.得＋＝，∴△ABC为直角三
角形，∠ACB＝90o；（2）由对角互补四边形模型，得DA＝DB，∴方程有两个相等实数根，＝4－4＝0，＝，∵AD＋DB＝2m＞
0，m＞0，∴m＝n或m＋n＝0.针对练习1已知关于x的方程－（2k＋1）x＋4（k－）＝0，若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另
一边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长.解：若等腰三角形的腰长为4时，－4（2k＋1）＋4（k－）＝0，k＝，此
时方程为－6x＋8＝0，＝4，＝2，三角形的三边分别为4，2，2，满足题意，△ABC的周长为10；若等腰三角形底边为4，则＝－4a
c＝－4×1×4（k－）＝0,k＝,－4x＋4＝0,＝2,＝2,三角形的三边分别为4，2，2，不满足题意，舍去；综
上所述，△ABC的周长为10.已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程－mx＋－＝0的两个实数根.当m为何值
时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？解：（1）当AB＝AD时，该平行
四边形ABCD是菱形，∴原方程有两个相等的实根即可，故＝－4（－）＝0，∴m＝1，故原方程为－x＋＝0，∴＝＝，故AB＝AD
＝，即当m＝1时，平行四边形ABCD是菱形，这时菱形的边长为；（2）当AB＝2时，即原方程的一根为2，∴－2m＋－＝0，即m＝，
即原方程为2－5x＋2＝0，∴＝2，＝，又AB＝2，故AD＝，即平行四边形ABCD的周长是5.如图，四边形ABCD中，∠DA
B＝∠DCB＝90°,CD和BC的长是关于x的方程－(m＋2)x＋(2－m＋)＝0的两个实数根，若AD＝2，求AC的长.解:∵＝
－2(2－m＋)＝－3＋6m－3＝－3≤0,而CD,BC是方程的两根，≥0,故m＝1，∴原方程有两个相等的实数根，∴CD＝BC＝
3.延长AB到点E，使BE＝AD＝2,则△CBE≌△CDA，∴△ACE是等腰直角三角形，设AB＝?，过点C作CH⊥AB于点H，∴C
H＝AE＝＋1，HB＝?－（＋1）＝－1，∴＋＝9，∴?＝，∴AC＝CH＝(＋1)＝＋.4.如图，矩形ABCD中
，AB＝a，AD＝b（a＞b）.（1）若a,b是－kx＋k＋4＝0的两根，且满足＋＝40，求k的值；（2）在（1）的条件下，P
为CD上一点（异于C、D两点），当P在什么位置时，△APB为直角三角形？（3）P为DC上一点（异于C、D两点），当a，b满足什么条
件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个？解：（1）a＋b＝k,ab＝k＋4.∵＋＝40，∴－2ab＝40,－2k－
48＝0，解得＝8,＝－6,∵k＝a＋b＞0，∴k＝8；（2）k＝8时，－8x＋12＝0,解得＝2，＝6，a＞b，∴a＝6
,b＝2.∵∠APB＝90o,∴＋＝,设DP＝x，∴4＋＋4＋＝36，＝3＋，＝3－，∴DP＝3±；（3）同（2）可
列方程＋＋＋＝，－ax＋＝0，当＝－4＝0时P点有且只有一个，此时＝4，a＞b＞0，∴a＝2b.【板块二】运动与方程点运动形
成三角形的面积或线段的长度.【题型一】运动＋面积【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝6cm，BC＝8cm.点P从点
A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，几秒后，可使△
PCQ的面积为8cm？点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；
若不存在，说明理由.【解析】（1）设运动的时间为ts，＝×(6－t)×2?＝8,解得＝2,＝4;故P、Q出发2s或4s后，△
PCQ的面积为8c；（2）＝×(6－t)×2?＝×6×8×,化简得－6?＋12＝0,∵＝36－48＝－12＜0，∴方程无解，
∴不存在.【题型二】运动＋勾股【例2】如图，已知A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点
A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直移动到点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动（P点停止移动时，点Q也停止
移动）.设移动的时间为?（s），问当t为何值时，P、Q两点间的距离是10cm？当t为何值时，P、Q两点间的距离最小？最小距离为多少
？P、Q两点间距离能否是18cm？若能，求出t的值;若不能，请说明理由.【解析】AP＝3?，CQ＝2?，过Q作QH⊥AB于点H，则
PH＝,在Rt△PHQ中，＝＋，（0≤t≤）.当PQ＝10时，＝＋，解得，＝,＝;当t＝时，PQ最小＝6；＋＝，解
得＝＞（舍去）,＝＜0（舍去），∴P、Q间距离不能为18cm.针对练习21.如图所示:在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩
形，C点坐标为（3,6），若点P从O点沿OA向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从
O、A同时出发，问：（1）经过多长时间，△PAQ的面积为2c？（2）△PAQ的面积能否达到3c？（3）经过多长时间，P,Q两点之
间的距离为cm？解：（1）设经过xs,△PAQ的面积为2c,由题意得:（3－x）×2x＝2，解得＝1，＝2.所以经过1秒
或2秒时，△PAQ的面积为2c；（2）设经过xs,△PAQ的面积为3c,由题意得:（3－x）×2x＝3，即－3x＋3＝0，在此
方程中－4ac＝－3＜0，所以此方程没有实数根，所以△PAQ的面积不能达到3c.（3）设经过xs，则＋4＝17，解得＝2，＝
－(舍).即2秒时，P,Q两点之间的距离为cm.【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握三角形的面积公式与两点间的距离公
式是解答本题的关键.2.如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm,BC＝6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的
速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多长时间，△AMN的面积等于矩
形ABCD面积的；（2）是否存在时间?，使△AMN的面积达到3.5c，若存在，求出时间t,若不存在，说明理由.解：（1）设经过
ts，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则DN＝2tcm，AM＝tcm，AN＝AD－DN＝(6－2t)cm，∴AN˙AM＝AD˙AB,即（6－2t）t＝×6×3，整理，得－3t＋2＝0,解得＝1，＝2，则经过1s或2s，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(2)不存在，理由为：假设存在时间ts，使△AMN的面积达到3.5c，则AN˙AM＝3.5，即（6－2t）t＝3.5，整理得2－6t＋7＝0,＝36－56＝－20＜0，∴方程没有实数根，故△AMN的面积不能达到3.5c. |
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