第二十四章《圆》第15讲圆的有关性质知识导航1.与圆有关的概念；到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上；2.垂径
定理及推论；弦、弧、圆心角关系定理；圆周角定理及推论；圆内接四边形性质定理。【板块一】半径的运用方法技巧利用半径相等作等量代换
或利用半径构造等腰三角形及全等三角形。?题型一利用半径相等作等量代换【例1】如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形
DEFG彼此相邻(点A，D，E在直径MN上，点B，C,F在半圆上，点G在CD上)，若正方形DEFG的面积为9，求⊙O的半径。【解析
】连接OB，OC，OF，则△AOB≌△DOC(HL)∴OA＝OD＝AD，设OA＝OD＝a，则AD＝CD＝2a，OE＝a＋3，在R
t△ODC和Rt△OEF中，a2＋(2a)2＝OC2＝OF2＝(a＋3)2＋32,∴a＝3或－(舍去)，∴OC＝＝a＝3，即⊙O的
半径为3.【解析】通过等半径OC，OF结合勾股定理列方程.【例2】如图，点P是⊙O外的一点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为
⊙O上的任意一点(不与点A，B重合).求证：PA＜PC＜PB.【解析】连接OC，PO－OC＜PC＜PC＋OC，∵OA＝OB＝OC
,∴PO－OA＜PC＜PO＋OB，∴PA＜PC＜PC.【解析】点P到⊙O上的点的最小距离是PA的长，点P到⊙O上的点的最大距离是
PB的长.?题型二连半径，构等腰(构构全等)【例3】如图，AB是⊙O的直径，AD，BE的延长线交于点C，若∠C＝60°，试探
究DE与AB的数量关系.【解析】连接OD，OE，∵∠C＝60°，∴∠A＋∠B＝120°，∴设∠A＝x，∠B＝y，∵OD＝OA＝O
B＝OE，∴∠ODA＝∠A＝x，∠OEB＝∠B＝y，∠AOD＋∠DOE＝180°－2x＋180°－2y＝360°－2(x＋y)＝1
20°，∴∠DOE＝60°，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OE＝AB.【例4】如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且交于点P，当四
边形OAPC为平行四边形时，求证：AB＝CD.【解析】连接OB，连接OD.证△OAB≌△OCD即可.针对练习11.如图，点A，
D，G，M在半圆上(点O是圆心)，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a，b，c的大小关
系为．【解析】连接OD，OA，OM.2.图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上下两个半圆，过上半圆上的一点C作弦CD⊥A
B，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在半圆上移动时，(不与A，B重合)，点P（）．A．C到CD的距离保持不变B．位置不
变C．等分弧ABD．随C点移动而移动【解析】连接OP.3.如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，且AB＝2DE，若∠
E＝13°，则∠AOC＝．【解析】连接OD.4.如图，扇形MON的半径为7，∠MON＝60°，点A，B，C分别在OM，ON及
弧MN上，且△ABC使等边三角形.若AB⊥ON，求BC的长.解：连接OC，设OB＝a，AB＝BC＝AC＝a，∴在Rt△AOC中，(
2a)2＋(a)2＝72，∴a＝，∴BC＝a＝.5.如图，点P是⊙O内的一定点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为⊙O上的任意
一点(不与A，B两点重合)，求证：PA＜PC＜PB.证明：证法同例2.6.如图，点P是△ABC的边AB的中点，分别以AC，BC为
直径作半圆O1,O2,在半圆上分别取点E，F，使∠AO1E＝∠BO2F，求证：PE＝PF.证明：连接PO1,PO2,证△PO1E≌
△FO2P(SAS).【板块二】回到“圆的定义”中去方法技巧若O是一个定点，且OP＝r，则点P在以O为圆心，r为半径的圆上；共
斜边的直角三角形的顶点在同一个圆上.利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形.?题型一四点共圆【例1】如图
，点E，F，G，H分别是菱形ABCD的四条边的中点，求证：E，F，G，H四点在同一个圆上.【解析】连接AC，BD相交于点O，∵四
边形ABCD是菱形，∴AC⊥CD，AB＝BC＝CD＝AD，连接OE，OF，OG，OH，∵点E是AB的中点，∴OE＝AB，同理可证：
OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴E，F，G，H四点在以点O为圆心的同一个圆上.【点评】到定点的距
离等于定长的点在同一个圆上.【例2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5.(1)求证：
A，B，C，D四点在同一个圆上；(2)求(1)中圆的面积.【解析】(1)连接BD，则BD＝＝10，∴CD2＋BC2＝BD2，∴∠
BCD＝90°，取BD的中点O，连接OC，OA，则易证AO＝BO＝CO＝DO，∴点A，B，C，D在同一个圆上；(2)25π.?题型
二求定点到动点的距离的最值(或范围)【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在以1为半径的⊙B
上，连接CD，并将CD绕点C顺时针旋转90°，得到对应线段CE，连接BE，求BE的长度的最小值.【解析】连接BD，AE，证△CD
B≌△CEA，∴AE＝BD＝1，∴点E在以1为半径的⊙A上运动，∴BE的长度的最小值为BA－1，∵BA＝BC＝4，∴BE的长度的最
小值为3.【点评】到定点的距离等于定长的点在同一个圆上.【例4】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M时边AD的
中点，点N时边AB上的一动点，将△AMN沿直线MN翻折得到△A’MN，连接A’N，求A’C的最小值.【解析】∵M’N＝MA＝1，
∴点A’在以1为半径的M上运动，∴当点A’在CM上时，A’C的长最小，最小值为MC－1，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，∴DE＝D
C＝1，CE＝，∴MC＝＝,∴A’C的最小值为－1.针对练习21.下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是A．矩形，平行四边形B
．菱形，正方形C．正方形，直角梯形D．矩形，正方形2.在同一个平面上，点P到院上的点的最大距离为10，最小距离为8，则该圆的半径
为．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是BC的中点，点E是边AB上的一动点，把△BDE沿直
线DE翻折，得到△FDE，连接AF，求AF的最小值.解：由翻折知DF＝DB＝BC＝3，∴点F在以3为半径的⊙D上，连接AD，则当点
F在AD上时，AF的长最小，∵AD＝＝5，∴AF的最小值为AD－3＝2.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，
BC＝8，点D是AC上的一点，且DC＝2，点E是边BC上的一动点，把△CDE沿直线DE翻折，得到△C’DE，求点C’到AB的最小距
离.解：由翻折知DC’＝DC＝2，∴点C’在以2为半径的⊙D上，过D作DG⊥AB，垂足为点G，∵垂线段最短，∴当点C’在DG上时，
点C’到AB的距离最小，最小距离C’G＝DG－2，连接DB，∵AB·DG＝AD·BC＝2S△ABD，∴DG＝＝＝，∴点C’到AB的
最小距离为－2＝5.如图，线段OB＝5，点A在OB上，OA＝2，点P是以2为半径的⊙A上的一动点，连接PB，以PB为边作等边△P
BM(P，B，M按逆时针方向排列)，连接AM，求AM的取值范围.解:以AB为边作等边△ABQ(点A，B，Q按逆时针方向排列)，连接
AP，QM，则△BAP≌△BQM，∴QM＝AP＝2，∴点M在以2为半径的⊙Q上，∴当点M在AQ的延长线上时，AM的最大值为AQ＋2
；当点M在线段AQ上时，AM的最小值为AQ－2，∵AQ＝AB＝3，∴AM的取值范围是1≤AM≤5.6.如图，点D时等边△ABC的
边BC的中点，BC＝2，点F是一动点，DE⊥DF，且DE＝DF＝，指点AE与CF相交于点M.(1)求证：A，D，C，M在同一个圆上
；(2)连接BM，求线段BM的长的最大值和最小值.解：(1)连接AD，则AD⊥BC，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵D
E＝＝AD，DF＝DC＝1，∴∠DAE＝∠DEA＝∠DCF＝∠DFC，∴∠EMF＝∠EDF＝90°.取AC得中点O,则OA＝OD＝
OC＝OM＝AC,∴点A，D，C，M在以AC为直径的⊙O上;(2)连接BO，则BO＝AQ＝，∵点M在以1为半径的⊙O上，∴当点M在
BO的延长线上时，BM的最大值为BO＋1＝＋1；当点M在线段BO上时，BM的最小值为BO－1＝－1【板块三】垂直于弦的直径方法
技巧(1)过圆心作弦的垂线段(弦心距)，构建垂直定理的应用模型；(2)弦(非直径)的中点与圆心相连，构造垂直关系.?题型一过圆
心作弦的垂线段(作弦心距)【例1】如图，在O中，已知直径AB的长为2R，弦CD交AB于点P，当点P在AB上运动时，始终保持∠AP
C＝45°，问：的值是够变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由.【解析】过点O作OE⊥CD，垂足为点E，连接OC，则DE＝C
E，设DE＝CE＝a，OE＝PE＝b，∴PC＝a＋b，PD＝a－b，∴PC2＋PD2＝(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b
2).在Rt△OCE中，∵OC2＋CE2＝OC2,∴a2＋b2＝R2,∴PC2＋PD2＝2R2，∴＝.【例2】(1)如图1，点
P是⊙O内的一点，弦AB⊥OP，垂足为点P，弦CD经过点P，求证：CD＞AB；(2)如图2，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的
的圆经过点A(13,0),直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B，C两点，求弦BC的长的最小值.【解析】(1)过O作OG⊥CD，垂足
为点G，则CG＝DG＝CD，连接OA,OD,∵OP⊥AB，∴AP＝PB＝AB，设⊙O的半径为r，则AB＝2AP＝2，CD＝2DG＝
2,在Rt△OPG中，∵OP＞OG，∴＞，∴CD＞AB.(2)∵直线y＝kx－3k＋4＝(x－3)k＋4，经过顶点P(3,4)，
∴由(1)知当BC⊥OP时，BC的长最小，连接OB，易求OP＝5，BP＝12，∴BC＝2BP＝24.?题型二连接圆心与弦(非直
径)的中点【例3】(1)如图1，点A时O上的一定点，B是⊙O上的一动点，点M时弦AB的中点，求证：点M在OA为直径的圆上；(2)
如图2，点A，B，C都在半径为6的⊙O上，且∠AOC＝120°，点M是弦AB的中点，求CM的长度的最大值.【解析】(1)连接OM
，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，连接AO，取OA得中点O1，连接O1M，则O1A＝O1O＝O1M，∴点M在以OA为半径的O1上，
(2)由(1)知：点M在以OA为直径的O1上，∴当点M时CO1的延长线于圆O1的交点时，CM的长度最大；过点C作CH⊥AO，垂足为
H，∴CO1＝＝＝3，∴CM的长度的最大值为3＋3.针对练习31.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°．若P
C2＋PD2＝8，⊙O的半径长为_______.答案：2.由例题1知PC2＋PD2＝2R2＝8，∴R＝2.2.如图，已知点B，C在
⊙O上，点A在⊙O内，∠CBA＝∠OAB＝60°，AB＝8，BC＝12，则⊙O的半径长为______.答案：延长AO交BC于点D，
则△ABD是等边三角形，BD＝AE＝8，过点O作OE⊥BC于点E，则BE＝BC＝6，∴DE＝2，OE＝2，连接OB，∴OB＝＝4.
3．在半径为6的⊙O中有一条长为8的弦AB，点P是AB的中点，当弦AB的端点A，B在⊙O上运动一周时，点P运动所形成的图形是___
_________________.答案：以点O为圆心，以2为半径的圆.连接OP，OA，则OP⊥AB，AP＝AB＝4，OP＝＝2，
∴点P运动所成的图形是：以点O为圆心，以2为半径的圆.4．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P连接OP，若CP＝
1，求AB2＋CD2的值.答案：过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接OA，OD，则AE＝BE，CF＝DF，易得
AB2＝4AE2＝4(OA2－OE2)，CD2＝4DF2＝4(OD2－OF2)，AB2＋CD2＝4(OA2＋OD2)－4(OE2＋
OF2)，∵OE2＋OF2＝PF2＋OF2＝OP2，∴AB2＋CD2＝28.5．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交
小圆于点C，D.(1)求证：AC＝DB；(2)若AC·BC＝7，求圆环的面积S的值.答案：(1)过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝
BE，CE＝DE，∴AC＝DB；(2)连接OA，OC，则OA2＝AE2＋OE2，OC2＝CE2＋OE2，OA2－OC2＝AE2－C
E2＝(AE＋CE)(AE－CE)＝AC·AD，AC＝DB，AD＝BC，S＝π(OA－OC)＝7π6．如图正方形ABCD的顶点A，
D和正方形EFGH的顶点E，F在以5为半径的⊙O上，点G．H在线段EC上，若正方形ABCD的边长为6，求正方形EGH的边长.答案：
过点O作OP⊥BC，分别交BC，AD，FF于点P，M，N，则OM⊥AD，ON⊥EF，连接OD，OF，在Rt△OMD中，OM＝＝4，
∴OP＝PM－OM＝2，设NF＝a，则EF＝PN＝2a，ON＝2a＋2，在Rt△ONF中，a2＋(2a＋2)2＝52，∴a＝或－3
(舍去)，∴EF＝2a＝，即正方形EFGH的边长为.【板块四】圆中角方法技巧圆中的角主要有圆心角、圆周角：圆心角、弧、弦关系定理，
圆周角定理及推论等定理的运用都是以“弧”为中介，把圆中的角，圆中不同名称的量联系起来.题型一利用直径构直角，遇直角连直径【例1】如
图，在半径为R的⊙O的内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点P，求证：AP2＋BP2＋CP2＋DP2为定值.答案：作直径CE，
连接ED，则∠CDE＝90°，∴CD2＋ED2＝CE2＝4R2，∵∠CBD＝∠CED，∠BPC＝∠CDE＝90°，∴∠BCA＝∠E
CD，∴，∴AB＝ED，∴AB2＋CD2＝4R2，∴AP2＋BP2＋CP2＋DP2＝4R2即为定值.【例2】如图，Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，过A，C两点作⊙O．分别交BC，AB于点D，E，若CD＝1、AC＝3，且E为AB的中点，求BD的长.答案：连接A
D，DE，∵AD＝＝，∴BD＝.题型二利用圆内接四边形转化与有关的角【例3】如图，AB是⊙O的直径，＝，CE⊥DB于点E，求的值
.答案：连接CA，CD，AD，CB，过点C作CF⊥AB于点F，证∠CBE＝∠CAD＝∠CDA＝∠CBA，∴△CBE≌△CBF，∴B
E＝BF，CE＝CF，∴△CAF≌△CDE，∴AF＝ED，AB－BD＝(AF＋BF)－(DE－BE)＝2BE，∴＝2.【例4】如
图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点P是⊙O1上的一点，直线PA，PB分别与⊙O2交于C，D两点，连接CD，PO，求证：PO1⊥
CD.答案：延长PO1交⊙O1于点E，交CD于点F，连接AB，EB，证∠D＝∠PAB＝∠PEB，∵PE是直径，∴∠PFB＋∠FPD
＝90°，∴PO1⊥CD.针对练习41.如图、AB，AC，AD都是⊙O的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB＝4，AD＝6
，则CD的长为______.答案：连接BD，BC，则BD是⊙O的直径，∠DBC＝∠DAC＝30°，∠BCD＝90°，∴CD＝BD＝
2.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点H，若BC＝6，AH＝4，则⊙O的半径长为_
_________.答案：作直径CF，连接FA，FB．易证AF∥BE，BF∥AD，∴四边形AHBF为平行四边形，∴AH＝BF＝4，
∴CF＝2，∴⊙O的径为.3.如图，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接正方形、点P是上的一动点(不与A，D重合)，连接PA，PB
，PC，PD.(1)分别求，的值(2)求证：PA2＋PB2＋PC2＋PD2为定值.答案：连接AC，BD．则AC，BD是⊙O的直径，
∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴PA2＋PC2＝AC2＝4R2，PB2＋PD2＝BD2＝4R2，∴PA2＋PB2＋PC2＋PD2
＝8R2即为定值.4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，BA＝BC，经过A，D，C三点的⊙
0交BC于点E，连接DE并延长，交AB的廷长线于点F，连接CF，DB.(1)求证：CF＝DB；(2)当AD＝时，求点E到CF的距离
.答案：(1)连接AC，AE，△ABC是等边三角形，证∠AEC＝∠ADC＝90°，∴CE＝BE，∴△ECD≌△EBF，DE＝EF，
四边形CDBF平行四边形，CF＝BD；(2)过点E作EH⊥CF于点H，∵△ABC是等边三角形，∠CAD＝30°，∴CD＝1，AC＝
AB＝2，∴BD＝CF＝＝，S△EFC＝S△FBC＝，∴CF·EH＝，∴EH＝，∴点E到CF的距离为.【板块五】弧的中点方法技巧弧
的中点有三种常见的处理方法：①弧的中点与圆心相连，构建垂直关系；②弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形：③弧的中点与圆上
的另一点相连，构建内(外)角平分线.题型一弧的中点与圆心相连，垂直平分弧所对的弦【例1】如图，在⊙O中，AD是直径，CD为弦
，点B是的中点，若AB＝8，CD＝12．求AD的长.答案：连接AC，BO并延长交AC于E，连接BC，证BE⊥AC，∴OE＝CD＝6
，设⊙O的半径为R，则(8)2－(R＋6)2＝AE2＝R2－62，∴R＝10或R＝－16(舍去)，∴AD＝2R＝20.题型二
弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形【例2】如图，AB是⊙O的直径，点D是AB的中点，DC是⊙O的弦，AM⊥CD于点M
，BN⊥CD于点N，(AM＜BN)(1)求证：CM＝AM＝DN；(2)若⊙O的半径为5，CD＝7，求的值.(3)在(2)的条件下，
求ON的长.答案：(1)连接DA，DB，则DA＝DB，∠ADB＝90°，连接CA，CB，则∠ACD＝∠ECD＝45°，∴CM＝AM
，证△DAM≌△BDN，∴AM＝CM＝DN.(2)由(1)可设CM＝AM＝DN＝x，则DM＝CD－CM＝7－x，∴在Rt△ADM中
，x2＋(7－x)2＝(5)2，解得x1＝3或x2＝4，∵AM＜BN，∴＝(3)延长NO交BC于H，∵NC＝NB，OC＝OB，∴
NO垂直平分BC，∴OH＝AC＝3，又∵NH＝BN＝4，∴ON＝NH－OH＝1.题型三弧的中点与圆上另一点相连，构建内（外）角平分
线【例3】已知PA，PB是⊙O的弦，弦CD⊥PA于点E．(1)如图1，若点C是劣弧的中点，求证：AE＝PE＋PB(2)如图2，若点
C是优弧的中点，试判断线段AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？证明你的结论.答案：(1)过点C作CF⊥BP，垂足为点F，连接C
A，CB，AB，CP，证∠CPA＝∠CBA＝∠CAB＝∠CPF，∴△PCE≌△PCF，△CAE≌△CBF，PF＝PE，BF＝AE
，∴AE＝BF＝BP＋PF＝PE＋BP.(2)结论:AE＝PE－PB，过点C作CF⊥PB，垂足为F，连接CA，CB，CP，∴△PC
E≌△PCF,△CAE≌△CBF,∴AE＝BF,∴PE＝FP,∴AB＝BF＝PF－PB＝PE－PB.针对练习51.如图，AB是⊙
O的，BC是⊙O的直径，点D是的中点，弦CD交AB于点P，若AB＝4，BC＝5，求DP的长．答案：连接OD交AB于点E，则OD⊥A
B，∴BE＝AB＝2，∴OE＝＝，∴DE＝1，连接BD，则∠PDB＝90°，BD＝＝，设PE＝x，则PB＝x＋2，∴(x＋2)2－
()2＝DP2＝12＋x2，∴x＝，∴DP＝.2.如图，△ABC内接于⊙0，点D是的中点，DE⊥AB于点E，求的值.答案：连接DB
，DC，过点D作DF⊥CA交CA的延长线于点F，证∠DAF＝∠DBC＝∠DCB＝∠DAE，∴△ADE≌△ADF，△DBE≌△DCF
，∴AE＝AF，BE＝CF，∴AB－AC＝(AF＋BE)－(CF－AF)＝AE＋AF＝2AE，即＝2.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是⊙O上的一点，且∠BAC＝2∠ECA(1)求证：＝；(2)连接BE，AE，若AD＝6，CE＝4，求△ABE的面积.答案：(1)连接CD，OE，则∠ADC＝90°，∠AOE＝2∠ECA＝∠BAC，∴OE∥AB，∴EO⊥CD，∴＝.(2)延长EO交CD于点G，则DG＝CG，OG＝AD＝3，设⊙O的半径为r，则r2－32＝CG2＝(4)2－(r＋3)2，∴r＝5或r＝－8(舍去)，∴CD＝2CG＝8，AC＝10，设BD＝x，则BC2＝x2＋82，在Rt△ABC中，(x2＋82)＋102＝(x＋6)2，∴x＝，即BD＝，AB＝，∵OE∥AB，∴S△ABE＝S△ABG＝AB·GD＝.4.如图，四边形AECD内接于⊙O，∠ABD＝∠CAD＝45°，BD＝7，设点B关于CD的对称为E，连接AE，若BC＝8，求AE的长.答案：连接DE，CE，则DE＝BD＝7，CE＝BC＝8，过点D作DF⊥DE，且DF＝DE，连接CF，EF，则△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠CBD＝∠CED＝∠DEF＝45°，∴∠CEF＝90°，∴CF＝＝＝2，∴AE＝CF＝2. |
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