第17讲正多边形与圆、弧长和扇形的面积1．正多边形的计算问题转化为三角形的计算问题，熟练掌握正多边形中各个量之间的关系；2．掌握并灵活运用
弧长和扇形面积公式，合理进行图形的分解与组合；3．掌握与圆锥侧面展开图相关问题的计算方法，领悟将立体图形问题转化为平面图形问题的思
想方法．【板块一】正多边形与圆(1)如图，设正n边形A1A2A3…An的边长为an，半径为Rn，边心距为rn，中心角为n，周
长为Cn，面积为Sn．则：①＝＋()2；②n＝；③Cn＝nan；④Sn＝nanrn＝Cnrn；(2)与正多边形相关的计算和证明问题
常常转化为三角形的问题解决；(3)外接圆的半径(正多边形的半径)往往是解决问题的“中间量”，面积法是方程思想运用中常见的方法．【例
1】如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，求的值．【解析】连接CA交EF于点P，则
CA是⊙O的直径，∴AC垂直平分EF，设⊙O的半径为R，则OP＝R，EF＝2EP＝R，∴CP＝OC－OP＝R，∵∠GCP＝∠HCP
＝45°，∴GH＝2CP＝R，∴＝＝．【例2】如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ
可绕点O任意旋转，在旋转的过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边)，当这个正六边形的边长最大时，求AE的最小值
．【解析】当正六边形EFGHIJ的外接圆⊙O与正方形ABCD的各边都相切时，这个正六边形的边长最大，连接OA，则OA＝，∴当点
E旋转到OA上时，AE最小，且最小值为OA－OE，又∵当⊙O与正方形各边相切时，OE＝AB＝，∴AE的最小值为－＝．【例3】如图，
正五边形ABCDE的边心距OG＝，AH⊥BC于点H，求AH＋AG的值．【解析】由正多边形的轴对称性知:点O在AG上，连接AC，
AD，OC，OD，设正五边形的边长为a，则S△OCD＝a?OG＝a，∴S五＝5S△OCD＝a，易证△ABC≌△AED，∴S△ABC
＋S△AED＝aAH，∴S五＝S△ABC＋S△AED＋S△ACD＝aAH＋aAG＝a(AH＋AG)，∴a＝a(AH＋AG)，∴AH
＋AG＝．针对练习11．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_．答案：2．如图
，正六边形ABCDEF中，点P是边ED的中点，连接AP，则的值是_______．答案：解：连接AE，则∠FEA＝∠FAE＝30°
，∴∠AEP＝90°，设正六边形的边长为2a，则EP＝a，AE＝EF＝2a，∴AP＝＝a，∴＝＝．3．如图，正八边形ABCDE
FGH的半径为2，求该正八边形的面积．解:连接OB，OC，则∠BOC＝＝45°，过点C作CM⊥OB于点M，则CM＝OC＝，∴S△O
BC＝OBCM＝，∴S正八边形＝8S△OBC＝8．4．如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2，其中T1的6个顶点都在⊙O上，T2
的6条边都与⊙O相切(T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形)，则正六边形T1与T2的面积之比为_______．答案：解
:设⊙O的半径为R，T1的一条边为AB，T2的一条边为CD，连接OA，OB，OC，OD，易求AB＝R，CD＝R，∴S△AOB＝R2
，S△COD＝×()2＝R2，∴＝＝．5．如图，正△ABC的边长为12，剪去三个角后成为一个正六边形，求这个正六边形的内部任意一点
到各边的距离之和．解:由题意知正六边形的边长为4，面积S＝6××42＝24，设这个正六边形的内部任意一点P到各边的距离分别为d1，
d2，d3，d4，d5，d6，∴×4×(d1＋d2＋d3＋d4＋d5＋d6)＝S，∴d1＋d2＋d3＋d4＋d5＋d6＝12．6．
如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，试探究正
六边形AnBnCnDnEnFn的面积(结果用含n的代数式表示)．解:由正六边形的性质知A1C1＝A1B1＝，A2B2＝A1C1＝，
设正六边形的面积依次为S1，S2，…Sn，则＝＝3，即S2＝S1，同理可证：S3＝S2＝()2S1，…，∴Sn＝()n－1S1，∵
S1＝6××12＝，∴Sn＝．【板块二】弧长和扇形面积（1）灵活运用弧长和扇形面积公式解决问题；（2）利用“割补法”求不规则图形面
积时，常常运用同底（等底）同高（等高）进行等积转化；（3）解决与圆锥相关的问题时，“化曲面为平面”（侧面展开图）的转化思想是核心．
题型一与弧有关的不规则图形的面积【例1】点A是半径为2的⊙O的直径MN的延长线上一点，点B，C在⊙O上，且BC∥0A．（1）如图
1，若OA＝4，且AB与⊙O相切于点B，求图中阴影部分的面积；（2）如图2，若点B是的一个三等分点，求图中阴影部分的面积。【解析】
（1）连接OB，OC，则OB⊥AB，∵OB＝2＝OA，∴∠B0A＝60°，∴△OCB是正三角形，∵BC∥OA，∴S△ABC＝S△O
BC，∴S阴影＝S扇形OBC＝＝π；（2）连接OB，OC，∵点B是的一个三等分点，∴∠BON＝60°，又∵BC//OA，∴∠CBO
＝∠BON＝∠BCO＝∠COB＝60°，∵BC∥OA，∴S△ABC＝S△OBC，∴S阴影＝S扇形OBC＝π．题型二与圆锥有关的计
算【例2】小华同学在一块边长为16的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是圆锥的底面．他设计了两个方
案，方案一：如图1，⊙O1与BC，CD，都相切；方案二：如图2，⊙O2与BC，CD，都相切（点E，F分别在AB，AD上，且不与B，
D重合）．（1）方案一可行吗？请说明理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及底面圆的半径；若不可行，请说明理由
．【解析】（1）方案一不可行．理由如下：∵＝＝8π，∴C⊙O1＝＝8π，∴⊙O1的半径r＝4，当r＝4时，CO1＝r＝4，O1A＝
4＋16＝20，∴AC＝20＋4≠16，∴方案一不可行．（2）方案二可行，设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为R，连接AC，则(
1＋)r＋R＝AC＝16①，2πr＝②，由①，②可得：r＝＝，R＝4r＝，∴所求圆锥的母线长为，底面圆的半径为．【例3】如图，有一
圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为6m的等边△ABC，圆锥的母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥的侧
面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为R，侧面展开后的扇形的圆心角为n°，则2πr＝，
∴n＝，∵轴截面△ABC是等边三角形，∴r＝3，R＝6，∴n＝180，∵点B1是的中点，∴∠B1AC＝90°，在Rt△AB1P中，
PB1＝＝3，∴小猫所经过的最短路程为3m．针对练习21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，以点A为圆心，AD为半
径的圆与BC相切于点M，与AB交于点E，若AD＝2，BC＝6，则的长为．答案：解：易求∠DAE＝135°，∴的长为＝．2．小红同
学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型（不计接缝和损耗），则她所需纸板的面积是cm2．答案：15π解：∵
底面周长是6π，∴底面半径r＝3，∵高为4，∴母线长R＝5，∴S＝πrR＝15π．3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝
2，扇形BEF的半径为2，圆心角∠EBF＝60°，则图中阴影部分的面积为．答案：π－解：∵DB＝AB＝2，∴点D在上，设BE，B
F分别与AD，DC相交于点M，N，则△ABD≌△BCN，∴S四BMDN＝S△BCD＝×22＝，∴S阴影＝S扇形BEF－＝π－．4．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB1C1，使点C1落在BA的延长
线上，则线段BC所扫过的面积为．答案：π5．已知扇形OAB的面积为12cm2，圆心角∠AOB＝120°，以此扇形作为侧面围成一个
圆锥，则该圆锥的底面积为cm2．答案：4解：设底面圆的半径为r，扇形OAB的半径为R，则2πr＝，∴R＝3r，∵＝12，∴πR2
＝36，∴πr2＝πR2＝×36＝4．即该圆锥的底面积为4cm2．6．如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，点C为母线PB
的中点，求侧面上点A到点C的最短距离．解：该圆锥的侧面展开图如图所示，则∠BPB1＝＝120°，∴∠BPA1＝60°，∴△PBA1
是等边三角形，∵点C是PB的中点，∴A1C⊥PB，∴A1C＝A1P＝，即侧面上点A到点C的最短距离为cm．7．如图是一纸杯的示意图，纸杯上开口圆的直径AE＝6cm，纸杯下底面圆的直径CF＝4cm，AC，EF的延长线交于一点O，且形成的立体图形是圆锥，若EF＝AC＝8cm，求纸杯的侧面积．解：纸杯的侧面展开图如图所示，设OF＝OC＝OC1＝R，∠AOA1＝n°，∴OA＝OA1＝R＋8，∴＝4π①，＝6π②，由①÷②得：＝，∴R＝16，R＋8＝24，∴＝×4π×16＝32π，＝×6π×24＝72π，∴S阴影＝－＝40π． |
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