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| 第27讲 三角函数与圆的综合 |
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第27讲三角函数与圆的综合
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1．明确同弧所对的弦、圆周角和圆的半经三者的关系：AB＝2RsinC，如图所示两种常用辅助线．
图1图2
2．三角函数值形式上是两条线段的比值，往往可以转化为两个相似三角形的相似比．
【板块一】求与圆有关的角的三角函数值
方法技巧
1．将所求角转化到直角三角形中；
2．利用相似比进行转化。
题型一遇斜三角形作垂线构直角
【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB，连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．
【解析】过点C作CD⊥TA于点D，设⊙O的半径为r，则AT＝AB＝2r，∴OT＝r，TC＝(－1)r，∵CD∥OA，∴△TCD∽△TOA，∴＝＝，∴CD＝r，∴DA＝r，∴tan∠TAC＝＝．
【例2】如图，已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的直径，连接BC，PC，若PB＝6，PC＝10，求sin∠PCB的值．
【解析】连OP，AB，则OP⊥AB，BC⊥AB，∴OP∥BC，∴∠PCB＝∠OPC，过点O作OM⊥PC于点M，∴sin∠PCA＝＝＝＝，∴OM＝，又OP＝＝2，∴sin∠PCB＝sin∠OPM＝．
【点评】当所求锐角不在直角三角形中时，常作参线构造直角或利用等角特接求其三角函数值．
题型二遇切线，连圆心切点构直角
【例3】如图，BE，BC，CG分别与⊙O相切于E，F，G三点，且BE∥CG，延长BO交CG的延长线于点D，连接FG，若＝，求sin∠CFG的值．
【解析】易证OC⊥BD，OC⊥FG，∴FG∥BD，∴∠CFG＝∠CBD，连接OF，则OF⊥BC，可证△CFG∽△CBD，∴＝＝，设CF＝4x，BC＝5x，∴BF＝x，易证OF2＝BF·FC＝4x2，∴OF＝2x，∴OB＝x，∴sin∠CFG＝sin∠OBF＝＝＝．
【点评】注意等角转换与等比转换．
题型三遇直径，利用直径构直角
【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E，若＝，求cos∠BED的值．
【解析】连接CE．由＝，可设AE＝x，EB＝2x，易证上进△ACE∽△CBE，得CE2＝AE·BE＝2x2，∴CE＝x，∴BC＝＝x，由∠BEC＝90°，D是BC的中点可得DE＝BD，∴∠BED＝∠B，∴cos∠BED＝cos∠B＝＝＝．
题型四遇弧的中点，利用垂径构直角
【例5】如图，CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，CD与过A，B，C三点的⊙O相交于点D．
(1)求证：＝;
(2)若＝，＝，求sin∠ACB的值。
【解析】(1)连接DA，DB，证∠DAB＝∠ECD＝∠DCA＝∠DBA，∴BD＝AD，∴＝．
(2)连接DO并延长交AB于点F，连接OB，易证DFC⊥AB，则AF＝FB，
∵＝，∴＝，∴AC＝BD，∴＝，∴＝，
设BF＝，BD＝，∴DF＝3OB＝OD＝R，3－R，
在Rt△OBF中，()2＋(3－R)2＝R＝
∴sin∠ACB＝sin∠BDA＝sin＝．
1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝BC，若AC＝2，BC＝，求cos∠CBO的值.
解：延长BO交AC于点H，∵，∴BH垂直平分CA，即∠CHB＝90°，CH＝AC
＝1，在Rt△BCH中，BC＝，∴BH＝＝3，
∴cos∠CBO＝cos∠CBH＝.
2.如图，AB是⊙O的直径，∠B＝∠CAD.
（1）求证：AC是的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD＝5，CD＝4时，求tan∠FAD的值.
解：（1）略；
（2）易证△BDA∽△ADC，∴AD2＝BD·CD＝4×5＝20，∴AD＝2，∴AC＝＝6，
∵∠BAE＝∠DAE.∴∠BAE＋∠B＝∠DAE＋∠CAD.即∠AFC＝∠FAC，
∴AC＝FC＝6，FD＝FC－CD＝2，∴tan∠FAD＝.
3.如图，⊙O经过(ABCD的顶点A，D，CO相切于点A，边BC与⊙O相交于点E，
（1）求证：AB＝AE；
（2）若AB＝2，AD＝，求sin∠BAE的值.
解：（1）略；
（2）连接AO并延长交CD于点H，交⊙O于点F，连接EF，∵AB是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°，
∵AB∥CD，∴∠AHD＝90°，DH＝CD＝1，AH＝＝4，
连接OD，设OA＝OD＝r，∴OH＝4－r，∴r2＝（4－r）2＋1，
∴r＝，∴AF＝2r＝，∴sin∠BAE＝sin∠F＝＝＝.
4.如图，在△ABC中，∠BAE＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE交OC于点F，若，求tan∠CFE的值.
解：连接OE，OD，BD，易证BD⊥AC，OD⊥DE，OE∥AC，
∴△OEF∽△CDF，∴，
设OE＝25，CD＝32，则AC＝2OE＝50，∴AD＝18，又△ABD∽△ACB，
∴AB2＝AD·AC＝18×50，∴AB＝30，OD＝AO＝15，
Rt△ABC中BC＝＝40，∴ED＝EB＝20，，，
∴DF＝×20＝，∴tan∠CFE＝tan∠OFD＝＝＝.
5.过⊙O外一点P作PB，PC切⊙O于B,C两点，直径BA的延长线交PC的延长线于点D，且DA＝AB，连接PA交⊙O于点E，
（1）求tan∠ACD的值；
（2）求tan∠PAC的值.
解：（1）连接BC，设的半径为r，证∠DCA＝∠ABC，得△DCA∽△DBC，∴CD2＝DA·DB＝8r2，∴CD＝2r，tan∠ACD＝tan∠ABC＝＝＝＝；
连接BE，OP，OP交BC于点H，BC交AP于点G，易证AC∥OP，
由tan∠ABC＝，可设AC＝2，BC＝2，则CH＝BH＝BC＝，
由tan∠BPO＝tan∠ABC＝＝，∴PH＝2，
由△ACG∽△PHG，得＝＝1，∴CG＝GH＝，
∴tan∠PAC＝＝＝.
【版块二】已知三角函数值求其他值
方法技巧
利用已知三角函数值得线段比值，设参数，求其他值.
题型一已知一个角的三角函数值，求另一个教的三角函数值
例1.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F，且∠BAC＝30°，cos∠BAD＝，求sin∠AFD的值.
解析：过点F作FM⊥BC于M，过点B作BH⊥CF于H，∵cos∠BCH＝cos∠BAD＝＝，
设CM＝3a，CF＝4a，∴FM＝，又∵∠ABC＝60°，∴BM＝a，BF＝a，
由面积法：BC·FM＝FC·BH，∴（a＋3a）·a＝4a·BH，∴BH＝a，
∴sin∠AFD＝sin∠BFH＝＝.
点评：求垂线段常用面积法，要充分利用已知角去求未知角的三角函数值.
题型二已知三角函数值，求线段长
例2.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BC＝6，CO的延长线交AB于D，sin∠BAC＝，求AC和CD的长.，
解：延长AO交BC于点E，延长CD交⊙O于点F，则CE＝BC＝3，
又∵sin∠COE＝sin∠BAC＝，∴＝，∴CO＝5，OE＝4，
∴AC＝＝3，又∵BF∥AE，所以＝＝，∴OD＝，∴CD＝.
题型三已知三角函数值，求线段比
例3.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接OC交DE于点F，若sin∠ABC＝，求的值.
解析：连接AD，OD，∵OD∥AC，∴＝，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴sin∠ABC＝＝，设AD＝3x，AB＝4x，易证：AC＝AB＝4x，∴OD＝2x.
∵DE⊥AC，∴△ADC∽△AED，∴AD2＝AE·AC，∴AE＝x，EC＝x，∴＝＝＝.
题型四已知三角函数，求三角形面积或周长
例4.如图，AC是⊙O的直径，B，E是⊙O上两点，AE与BC交于点F，且△BEF的面积为10，cos∠BFA＝，求△ACF的面积.
解析：连接AB，则∠ABC＝90°，∴cos∠BFA＝＝，易证△BEF∽△ACF，
∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ACF＝×10＝.
1.如图，在△ABC中，AB＝ACAB为直径的⊙O与边BC，AC，分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC于点F，若AE＝4，cosA＝DF的长.
解：连接OD，作OG⊥AC于点G，则易证D是BC的中点，四边形OGFD是矩形，∴DF＝OG.在Rt△AOG中，AG＝AE＝2，cosA＝＝AO＝5，∴OG＝＝＝，∴DF＝OG＝.
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，若AB为⊙O的直径，tan∠F＝，求sin∠CAD的值.
解：连接BD，OD，易证：OD⊥DF，∵tan∠F＝，设OD＝3m（m＞0），则DF＝4m，OF＝5m，
∴AF＝8m，∵∠FAD＝∠FDB，∠E＝∠F，∴△AFD∽△DFB，∴＝＝＝2，
设DA＝2n（n＞0），则BD＝n，∴AB＝n.
∵＝，∴∠BAD＝∠CAD，∴sin∠CAD＝sin∠BAD＝＝＝.
3.如图，⊙O为△ABC的外接圆，点I为△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，交BC于点E，⊙O的半径为5，当sin∠BAC＝，且OI⊥AD时，求△ABC的周长.
解：连接BD，CD.BC＝2Rsin∠BAC＝2×5×＝8.因OI⊥AD，易证：AI＝ID＝BD＝CD＝AD，易证△DBE∽△DAB，∴＝＝2，∴AB＝2BE.同理，AC＝2CE.∴AB＋AC＝2（BE＋CE）＝2BC，△ABC的周长为：3BC＝3×8＝24.
4.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接BE交AC于点F，若cosCAD＝，求的值.
解：连接OC与BE交于点G，连接BC，∵cosCAD＝＝，∴设AD＝4x，AC＝5x，∴CD＝3x，∴EG＝BG＝3x.易证∠CBG＝∠CAD，∴＝，BC＝x，CG＝x，AE＝AD－DE＝AD－CG＝x.∵EF∥CD，＝＝，∴＝.
5.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，tan∠D＝2，求sin∠ABC的值.
解：∵tan∠D＝＝2，∴设BD＝1，AB＝2，易证BE＝BD＝1，tan∠AEC＝tan∠D＝2，设CE＝x，AC＝2x，∴（2x）2＋（x＋1）2＝22，∴x＝或x＝－1（舍），∴AC＝，
∴sin∠ABC＝＝.
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