中考数学压轴题分析：函数平移与平行四边形的存在性问题

本文内容选自2021年重庆中考数学函数压轴题。以二次函数为背景考察周长最值、函数平移与平行四边形的存在性问题。

平行四边形的存在性问题是比较老的问题，但是结合函数的平移，难度就变大了。现在的题目会更趋向于综合。

你应该了解的平行四边形存在性问题的解法

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【中考真题】

（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交轴于点，是直线下方抛物线上的一个动点．过点作，垂足为，轴，交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当的周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值；
（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点．是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

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【分析】

（1）利用待定系数法将，代入即可。
（2）设点P的坐标，表示出周长即可得到最值。发现△PDE的形状不变，当PD最大时，周长最大。与面积最大值问题类似。

<t<4$，根据点$e$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe pe='-2(t-2)^{2}+8$，再根据$\Delta' backsim='' delta='' l='-\frac{6\sqrt{5}+10}{5}(t-2)^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$，运用二次函数最值方法即可求出答案；</t<4$，根据点$e$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe>

<t<4$，根据点$e$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe pe='-2(t-2)^{2}+8$，再根据$\Delta' backsim='' delta='' l='-\frac{6\sqrt{5}+10}{5}(t-2)^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$，运用二次函数最值方法即可求出答案；</t<4$，根据点$e$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe>

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<t<4$，根据点$e$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe pe='-2(t-2)^{2}+8$，再根据$\Delta' backsim='' delta='' l='-\frac{6\sqrt{5}+10}{5}(t-2)^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$，运用二次函数最值方法即可求出答案；【答案】解：（1）抛物线经过，，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为；
（2）如图1，设直线的函数表达式为，
，，
，
解得：，
直线的函数表达式为，
令，得，
解得：，
，
设，其中$0<t<4$，
点在直线上，轴，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
的周长为，
令的周长为，则，
，
当时，周长取得最大值，最大值为．
此时，点的坐标为．</t<4$，
</t<4$，根据点$e$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe>

<t<4$，根据点$e$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe pe='-2(t-2)^{2}+8$，再根据$\Delta' backsim='' delta='' l='-\frac{6\sqrt{5}+10}{5}(t-2)^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$，运用二次函数最值方法即可求出答案；<t<4$，
（3）如图2，满足条件的点坐标为，，．
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线，
①若是平行四边形的对角线，
当与互相平分时，四边形是平行四边形，
即经过的中点，
点的横坐标为2，
点的横坐标为2，
点的坐标为，
②若是平行四边形的边，
Ⅰ．当且时，四边形是平行四边形，
，，点的横坐标为2，
点的横坐标为，
点的坐标为；
Ⅱ．当且时，四边形是平行四边形，
，，点的横坐标为2，
点的横坐标为，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．</t<4$，
</t<4$，根据点$e$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe>