第17章勾股定理
第1课时直角三角形三边的关系
教学目标
知识与技能：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题；
过程与方法：在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力；
情感态度与价值观：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
教学分析
重点：探索和验证勾股定理过程。
难点：通过面积计算探索勾股定理。
关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。
教学方法及教学手段：
采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。
教学过程：
1．创设情境，导入课题
多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。
2．自主探索，合作交流
活动一：动脑想一想
小明用一边长为的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？），你能知道斜边的长吗？
③观察图形，并填空：
⑴正方形P的面积为，
正方形Q的面积为，
正方形R的面积为。
⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？
活动二：动手做一做
其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？
（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示）
⑴正方形P的面积为，
正方形Q的面积为，
正方形R的面积为。
⑵正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？
⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流。
试一试：①在方格图中，画出两条直角边分别为、的直角三角形，②再用刻度尺量出斜边长，③验证刚才的结论对这个直角三角形是否成立？
让学生自己总结，并用符号语言、文字语言表达勾股定理的内容。
3．验证定理，拓展提高
请你利用手中的直角三角形纸片，通过拼图来验证刚才大家的发现
拼一拼：给出4个全等的直角三角形纸片，拼一拼，摆一摆，看看能否得到一个以C为一边的正方形？（介绍赵爽弦图和2002ICM标志）
4．运用新知，体验成功
例1．Rt△ABC中，=90°，AB=C，AC=b，BC=a
⑴已知AC=6，BC=8，求AB.
⑵已知=15，=9，求.
（示范格式，提醒学生注意边的位置，关键“直角所对的边是斜边”）
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（P50例1）如图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）
5．反馈练习，巩固新知
一、判断
①直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方（）
②Rt△ABC中，,,则（）
二、1．在Rt△ABC中，，，，
①若，，则.
②若，，则.
③若，，则，.
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大的正方形边长是，则正方形A、B、C、D的面积和是。
3．生活中的数学——你知道吗？
小红家新买了一台29英寸（74cm）的电视机，小红量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58cm长和46cm宽，他认为营业员搞错了，你同意他的想法吗？你能作出合理的解释吗？
6．课堂小结：
师生一起回顾本节知识，主要是让学生回忆学到了哪些知识和方法，教师最后再作补充。（1数学家大会所用标志。2勾股定理是宇宙语言。3利用勾股定理，可以解决“已知直角三角形的两边，求第三边”的问题）
7．作业布置：
P51，练习；P55，2、3
教学反思：
第2课时勾股定理的应用（1）
教学内容
教科书P25的内容
教学目标
1、会用勾股定理解决简单的实际问题。
2、树立数形结合的思想。
教学分析
1、重点：勾股定理的应用。
2、难点：实际问题向数学问题的转化。
3、难点的突破方法：
数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。
4、例题的意图分析
例1、2明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
教学过程
一、课堂引入
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
二、例习题分析
例1（P57例1）如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．（精确到０.０１cm）
分析蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到矩形ＡＢＣD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。
例2（P58例2）一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解在Rt△OCD中，由勾股定理得
ＣＤ＝＝＝０.６，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９＞２.５．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
三、课堂练习
1、小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。
2、如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。
2题图3题图4题图
3、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
4、如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
四、作业
1、对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，
∠B=60°，则江面的宽度为。
2、有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。
3、一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。
4、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。
（精确到1米）
教学反思：
第3课时勾股定理的应用（2）
教学目标
1、会用勾股定理解决较综合的问题。
2、树立数形结合的思想。
教学分析
1、重点：勾股定理的综合应用。
2、难点：勾股定理的综合应用。
3、难点的突破方法：
⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质。
⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力。
⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。
⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。
4、例题的意图分析
例1利用勾股定理及逆定理解决有关图形面积计算问题。
例2（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。
例3让学生利用勾股定理画出无理数长的线段，并利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
教学过程
一、课堂引入
复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。
二、例习题分析
例1（P59）如图，已知CD＝６m，AD＝８m，∠ADC＝９０°，BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．
解在Rt△ADC中，
AC＝ＡＤ＋ＣＤ＝６＋８＝１００（勾股定理），
∴AC＝１０．
∵ＡＣ＋ＢＣ＝１０＋２４＝６７６＝ＡＢ，
∴△ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、b、c有关系：a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形），
∴＝1/2×１０×２４－1/2×６×８＝９６（m）．
例2（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
解：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
例3（P59）如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；
（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
分析只需利用勾股定理看哪一个以格点为顶点的矩形的对角线满足要求．
图14.2.5图14.2.6
解（1）图14.2.6中ＡＢ长度为22．
（2）图14.2.6中△ＡＢＣ、△ＡＢD就是所要画的等腰三角形．
变式训练：在数轴上画出表示的点。
三、课堂练习
1、△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=。
2、△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。
3、△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。
4、已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求S△ABC。
四、作业
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，AB=。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a=，b=。
3、已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=，
求（1）AB的长；（2）S△ABC。
4、在数轴上画出表示－的点。
教学反思：
7
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