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19.2.1 正比例函数  教案1
2022-02-21 | 阅:  转:  |  分享 
  
19.2.1正比例函数

知识技能目标

1.理解一次函数和正比例函数的概念;

2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.

过程性目标

1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程,体会数学与现实生活的联系;

2.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力.

教学过程

一、创设情境

问题1小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.

分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是

s=570-95t.

说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s是因变量.



问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式.

分析我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为:y=50+12x.



问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?



二、探究归纳

上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的.函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数(linearfunction).一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.

特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)出叫正比例函数(directproportionalfunction).正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.



三、实践应用

例1下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?

(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm);

(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm);

(3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨;

(4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).

分析确定函数是否为一次函数或正比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx+b(k≠0)或y=kx(k≠0)形式,所以此题必须先写出函数解析式后解答.

解(1),不是一次函数.

(2)L=2b+16,L是b的一次函数.

(3)y=150-5x,y是x的一次函数.

(4)s=40t,s既是t的一次函数又是正比例函数.



例2已知函数y=(k-2)x+2k+1,若它是正比例函数,求k的值.若它是一次函数,求k的值.

分析根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值.

解若y=(k-2)x+2k+1是正比例函数,则2k+1=0,即k=.

若y=(k-2)x+2k+1是一次函数,则k-2≠0,即k≠2.



例3已知y与x-3成正比例,当x=4时,y=3.

(1)写出y与x之间的函数关系式;

(2)y与x之间是什么函数关系;

(3)求x=2.5时,y的值.

解(1)因为y与x-3成正比例,所以y=k(x-3).

又因为x=4时,y=3,所以3=k(4-3),解得k=3,

所以y=3(x-3)=3x-9.

(2)y是x的一次函数.

(3)当x=2.5时,y=3×2.5=7.5.



例4已知A、B两地相距30千米,B、C两地相距48千米.某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经过B地到达C地.设此人骑行时间为x(时),离B地距离为y(千米).

(1)当此人在A、B两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x取值范围.

(2)当此人在B、C两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x的取值范围.

分析(1)当此人在A、B两地之间时,离B地距离y为A、B两地的距离与某人所走的路程的差.



(2)当此人在B、C两地之间时,离B地距离y为某人所走的路程与A、B两地的距离的差.



解(1)y=30-12x.(0≤x≤2.5)

(2)y=12x-30.(2.5≤x≤6.5)



例5某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟时间内,只开进油管,不开出油管,油罐的进油至24吨后,将进油管和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围.

分析因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中,储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的,所以此题因分三个时间段来考虑.但在这三个阶段中,两变量之间均为一次函数关系.

解在第一阶段:y=3x(0≤x≤8);

在第二阶段:y=16+x(8≤x≤16);

在第三阶段:y=-2x+88(24≤x≤44).



四、交流反思

一次函数、正比例函数以及它们的关系:

函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数(linearfunction).一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.

特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)出叫正比例函数(directproportionalfunction).正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.



五、检测反馈

1.已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7

(1)写出y与x之间的函数关系.

(2)y与x之间是什么函数关系.

(3)计算y=-4时x的值.

2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元,每件另加手续费0.2元,求总邮资y(元)与包裹重量x(千克)之间的函数解析式,并计算5千克重的包裹的邮资.

3.仓库内原有粉笔400盒.如果每个星期领出36盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系.

4.今年植树节,同学们种的树苗高约1.80米.据介绍,这种树苗在10年内平均每年长高0.35米.求树高与年数之间的函数关系式.并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高.

5.按照我国税法规定:个人月收入不超过800元,免交个人所得税.超过800元不超过1300元部分需缴纳5%的个人所得税.试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳的税金y(元)和月收入x(元)之间的函数关系式.











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