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武侠小说中的数学 【一】前言 我是一个武侠迷，小时候对武侠中数学印象最深的是射雕英雄传中的黄蓉，话说黄蓉被裘千仞用铁沙掌打伤，来到了瑛姑的住处，只见瑛姑正在做算术题，计算五万五千二百二十五的平方根。 她正算得起劲，黄蓉一瞥便说，二百三十五！ 黄蓉怎么算的，还真不知道，也许是她太聪明一下就能脱口而出，也许她知识算的比瑛姑快，而算法相同，而瑛姑是怎么算的，应该可以看出她的算法出自《九章算术》——世界数学史上第一次介绍了笔算开平方法。 【二】笔算开平方 将55225开方 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开， 5＇52＇25，分成几段，表示所求平方根就是几位数 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数2 （对5开根取整） 3．从第一段的数减去第二步求得的最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数 5-2×2＝1 →152 （1的右边写上第二段数52） 4．把第二步求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商152除以2与20的乘积即40，商3，则试商即为3 5．用第二步求得的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试直至符合为止 （20×2+3）×3＝123＜152 6．那么答案前两位为23，以此类推，再向下求 将第一、第二段数合成一段减去现在得到的平方根的前两位即23的平方，在它们的差的右边写上第三段数组成第二个余数552-23×23＝23→2325 7．与第四步类似 2325除以23与20的乘积即460，商5 8．（20×23＋5）×5＝2325＝2325 得出结果即为235 这里说的比较简单，真正笔算开平方法还得去看《九章算术》。 倘若你若看懂了，不妨再算一算316969的算术平方根几何？ 【三】中国剩余定理 话说离开之日黄蓉也留给瑛姑三道试题，其中一题为：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 也许你很容易就能得出答案，但瑛姑百思不得其解，黄蓉给出的答案是这样：以三三数之，余数乘以七十；五五数之，余数乘以二十一；七七数之，余数乘十五。三者相加，如不大于一百零五，即为答数；否则需减去一百零五或其倍数。 有个简单的诗可以帮助记忆：三人同行七十稀，五树梅花廿一支。七子团圆正半月，余百零五便得知。 黄蓉给的解法就是著名的“中国剩余定理”， 2×70+3×21+2×15=233 233>105 233-105×2=23 此题出自《孙子算经》,也是网上流传甚多的《九章算术》中的“天机十算”第一算，然而真正引起我们兴趣的，引发众多讨论的却不是这《九章算术》中的“天机十算”，而是当代另一部武侠经典《昆仑》，这部小说几乎构建了一个数学江湖，数学在此多次被提及，当然真正吸引人的是其中的“天机十算”。很多人都想用自己的智慧去解出那“十算“，但“天机十算”中很多题不仅仅只是数学一个领域，想要完全搞明白只能说，难，实在是难。 【四】天机十算 刻于天机宫两仪幻尘阵旁的一块青石壁前，为天机宫先代高人写下的十道算题。 “天机十算”本是天机宫历代算学宗师所留，其中虽 有若干古今（按：今为南宋）名题，但更多是宗师们生前无法解答的困惑，刻在石墙上，以待后人解答。但是，当算题刻到第八算时，百年来已经无人能解，直到“沧溟神算”花元茂出世。花元茂天纵奇才，解完八算后陆续给出两道算题，第九算他自己刻出，又自己解开。到这个时候，花元茂算学之精，可说旷古绝今，但他犹不满足，给出了“元外之元”，求任意次元之解。在梁萧少年时期，由于种种机缘，来到以保护典籍为使命的天机宫，在这里他阅览群书，其中主要是宋代以前关于数学的一些经典。而天机宫先人设下的十道算题被称为“天机十算”。天机十算到底如何形式，无从验证，作者也不一定能全然给出原题，但我们从这十道题中可以窥古代数学伟大成就之一斑。 【第一算 “天地生成解”】 书中主角梁萧是这样解第一题的：由“天地已合之数”，反推“天地未合之数”，直算到“天地生成之数”， 天机第一算，乃“天地生成解”，这是有关河图、洛书的一道题。  上图即为河图，又称五行生成图。图中以白圈为天、为阳，白圈黑点之数字奇偶相合。 其分布为： 一与六共宗、居下为北方，因天一生水，地六成之； 二与七为朋、居上为南方，因地二生火，天七成之； 三与八为友、居左为东方，因天三生木，地八成之； 四与九同道、居右为东方，因地四生金，天九成之； 五与十相守、居中央，因天五生土，地十成之。 五行生成数反映了宇宙的形成和生命的产生，都有发生和成熟这两个过程。一、三、五、七、九为奇数，属阳，称做天数；二、四、六、八、十为偶数，属阴，称做地数。所以五行的生成都有“生”和“成”这两个数。一生一成，体现了阴阳和奇偶相配合的法则。同时，也反映了任何事物或新生命的产生，都是由阴阳二气交感而成。阳生于阴而成于阳，阴生于阳而成于阴，下所谓“万物负阴而抱阳，冲气以为和”，“一阴一阳之谓道”。这正反映了中国古代的阴阳理论。  此图为洛书，这就是著名的“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。”纵横之数都含有阳数中五，象征着事物各含有一太极。同时五奇数统四偶数，以阳统阴，重在变化，讲数理的运用。 《易》曰：“日月相推而明生焉。”即指洛书之数，法天象地，天旋地转，日月往来。 河图、洛书乃为中国最早的关于数的排列的研究，体现了古代劳动人民的非凡智慧。 【第二、三算“太玄两难”】 只知这两道难题出自扬雄的《太玄经》，《太玄经》是汉代张衡制造“候风地动仪”的数术根基，繁复精深，多有疑难。《太玄经》是汉代杨雄所撰，其在空间上分一、二、三方，再分为九州，二十七部，八十一家。在时间上，综合方、州、部、家，叠为八十一首，相当于《周易》的六十四卦。《太玄》每首有九赞，共计七百二十九赞，相当于《周易》的三百八十四爻。赞辞相当于爻辞。《周易》有彖传、象传等“十翼”作补充说明，《太玄》也有《玄冲》、《玄》等10篇作补充说明。它是汉代象数学的新发展。 《太玄经》是一种三进制周期运动，即三元论的宇宙生成模式，是继《易经》二进制周期运动，即二元论的宇宙生成模式的又一重要硕果，也必将推动三进制的光子计算机的诞生，是一种真正模拟人脑的智能计算机。 【第四算“双手十指题”】 即二进制与十进制之转化，即后世数术二进制与十进制之转化，德意志大算学家莱布尼兹三百年后方才提出，这里所谓的“双手十指题”可能是用十指为工具，对二进制和十进制的数进行转换。二进制源于中国的八卦，这是毋庸置疑的，但其在古代的具体应用并不多见。不过说到进制的应用，这里可以介绍一下算盘。算盘是十六进制和十进制的完美应用。算盘梁上有两颗珠子加上梁下的五颗珠子共十五，满十六进位 【第五算“二十八宿周天解”】 二十八星宿把南中天的恒星分为二十八群,且其沿黄道或天球赤道（地球赤道延伸到天上）所分布的一圈星宿，它分为四组，又称为四象、四兽、四维、四方神，每组各有七个星宿，其起源至今尚不完全清楚。中国古代对星相也是颇有研究的。因此，所谓的“二十八宿周天解”应该是到天文计算题。 【第六算“治河图”】 是一道以数理形的算题，用演段法计算黄河治水的土石方，计算庞大无比，梁萧整整花了四十多天，方才算出”。 古代黄河泛滥是常有的事，国家每年为防治洪水灾害做的努力都不小，尤其在修建大坝方面。这是应用数学的一种典型模式。早在《九章算术》中就有关于体积(商功)的计算，计算例题中的工程类型有城墙、土垣、护城河、渠沟、仓和窖等。而《河防通议》是一部宋、金、元水利工程技术规范性著作。其中历步减土法是宋元时期堤防施工中通行的计算土方劳动定额的方法，提出了一套科学的计算土方量和运输距离之间关系的计算公式，目的是计算出一个工在各个取土距离范围内的实际功数，以使每个工实际做功数保持大致相等。 历步减土法表明宋元时期水利施工管理已有科学的量化标准。对于堤防、运河等大规模土方作业，依据数学计算进行施工管理，表明管理水平的提高 【第七算“鬼谷子问”】 本题为广为流传的一经典逻辑推理题目，原题如下： 孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟。一天鬼谷子出了这道题目： 他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞； 庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。 孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。 庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。 请问这两个数字是什么？为什么？你能想出来吗？ 这题答案是4和13，网上解法甚多，就不多说了。书中说梁萧用垛积法很快解出了这道题，但垛积术是解高阶等差级数的，由沈括首创 朱世杰将解高阶等差级数方法发扬光大，垛积术怎么解鬼谷子问确实让我想不通 【第八算“子午线之惑”】 算子午线的精确长度，不仅要计算，还要实地测量。子午线的测量体现了古代人民对宇宙和自然的探索精神，其中出现了很多出色的数学家和天文学家。早在隋代大业初年（约604-607），天文学家刘焯（544—608）就提议“请一水工（进行水平测量的工人），并解算术之士，取河（黄河）南北平地之所，可量数百里。南北使正，平地以绳。则天地无所匿其形，辰象无所逃其数。”但最后因刘焯逝世而未果。100多年之后，天文大地实测工作的重大使命就落到了唐代开元年间的天文学家僧一行的身上。他们观测了夏至、冬至和春分、秋分时的日影长度差（晷差），并实地测量距离，又测出这四点的北极星高（纬度），这样就算出北极星高度相差一度，相当于纬度相差一度时，地面上南北距离的差值。僧一行的测量结果是351里80步，折合129.22公里，比今值多了18.02公里多（今值是111.2公里）。僧一行的实地测量推翻了“王畿千里，日影一寸”的错误观念。测量结果相当于获得了子午线一度弧的长度。 【第九算“日变奇算”】 用四元术求太阳的盈缩积差，四元术：我国古代一种四次多元方程组解法，即近代多元高次方程组的分离系数表示法。四元术是由天元术发展而来的。天元术就是现代代数学当中的列方程的方法，即根据已知条件，列出一个包含未知数的方程。“天元术”的具体程序与现代列方程的方法基本是一样的：首先是“立大无一为某某”，这个“某某”便是未知量，相当于现代代数中“设x为某某”；然后再根据已知条件，列出两个相等的多项式；最后把这两个多项式相减，便得到了一个一端为零的方程。在宋代以前，中国的数学家已经能列出某些方程，但由于没有找到普遍的方法，而且全部要用文字来表达，所以列起来比较困难，特别是列高次方程更加繁难。“天元术”的出现，为数学家们列方程指出了一条简明易行的普遍方法和便于操作的具体程序，从而使中国古代的代数学又上了一个新的台阶。 元代数学家朱世杰在前人李治天元术的基础上进一步发展出了四元术。天元术虽然解决了列方程的一般程序和表示方法，但所列的方程只有一个未知数。“四元术”则在这个基础上把未知数发展到两个、三个、四个，提供了一套多达四元的高次联立方程组的列法和解法。 此即为四元术表示方法，以“天、地、人、物”为四元，“太”为常数，建立四元方程组。其整个演算过程要用到“天元术”／开方术”等各种当时最先进的数学知识，所以它代表了我国古代代数学的最高成就。它比西方的多元高次方程组解法要领先近五百年之久，在世界数学史上有着极其重要的地位和价值。 【第十算“元外之元”】 求任意次元之解。这是主角梁萧唯一没有解出的题，对这题理解众多，我的理解是求一元任意次方程通解，就如以后我们会学到一元二次方程，会有通解，而一元三次，一元四次方程都有通解，即有公式解，但一元五次往上就没有公式解了，这也是被证明过的，换句话说主角梁萧再解一道无解的题自然也就解不出来。 可这一算梁萧一算就是三个月，殚精竭虑，全不得门径，但他不肯服输，继续翻看典籍，边学边算，一晃又是半年，终于病倒...... 后来有人对他说了这么一番话：“世上有十全十美的事物吗？据说共工怒触不周山后，天地变成歪斜，所以啊，太阳总是从东边出来，滑向西方。月亮时常都不圆满，就算是太阳也有被天狗蚀日的时候，正所谓天残地缺，日月有亏。一个人总是有些遗憾，不可能将所有想要的东西弄到手，即便是皇帝也一样。大成若缺，其用不蔽，大盈若成，其用无穷。知足常乐啊，飘风不终朝，骤雨不终日，若操之过急，就是天地间的风雨也不能长久的” 他懂了，他放弃了，于是他的病不治而痊愈。他算出了九算，已经熟知数理，并没有失去什么，反而得到了很多。 【结语】 数学与武侠有很多相似相通之处，都有四重境界：第一重：练其形——苦修外功，金刚铁骨，第二重：参其意——醉仙望月，运气自如，第三重：悟其神——返璞归真，大彻大悟，第四重：成其德——胸怀天下，虚怀若谷 中国古代数学博大精深，从这十算中我们可以领略古代人民的伟大智慧。而数学在武侠中地位也很高，金庸小说中也出现多次。数学的文化意义在武侠中再一次被诠释得淋漓尽致。希望武侠这一有中国特色的文化能在数学的文化底蕴中蓬勃发展，也希望数学能在武侠中发扬光大，吸引更多的数学爱好者。 |
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