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首先在《分析力学专题——Lagrangian和Hamiltonian，Hamilton-Jacobi 理论》中，我们建立了基本的 Lagrange 量和 Hamilton 量，然后在《分析力学专题——四维经典场论》中，我们用四维经典场论来重新构建经典力学，本文在前面的基础上，讨论一下守恒量与能动张量，希望读者能喜欢。 在上一篇文章《分析力学专题——守恒流与 Noether 定理》中讨论了 Lagrange 密度的对称性导致守恒流的存在，且守恒流为 然后就得到了 本质上是坐标系产生的变化，即时空平移变换，而 是场自身的变化。 假设场自身不发生变化，即只考虑时空平移变换导致的守恒流，且这种时空平移变换满足 Lagrange 密度的不变性，称这个守恒流是时空的内禀属性或时空本身具有的性质。根据指标，则有 其中 称为能动张量，也可以根据度规张量升降指标后记作 ，则这个能动张量是一个矩阵，由于这个守恒流是体现时空内禀属性的守恒流，则这个能动张量理也是体现时空内禀属性的量，故接下来讨论它的分量与性质，取指标表示为 ， ，或 ， 。 对于一个流的散度为零，即有 ，于是在空间 中，如果一个流是沿 轴的，那它的通量可以表示为与 面垂直的流在 面上积分，其散度就是通量的体密度即对体元求导，考虑在 面上的积分，故求散度就相当于在 轴上求导，然后推广到四维空间 后 ，则 上流的散度也就是对 求导，则有 ，等价于 。 下面开始我们讨论时间平移不变性与能量守恒或能动张量 分量。令 ，则有 上式类似于 Hamilto n密度与Lagrange 密度的关系，即 ，如果把两者联系起来，则只需要满足时间上的平移，故令 ，则有 然后再计算 的散度，则下面这个关于流表达式中的 表明这是一个时间轴上的流，即有 因此 Hamilton 密度是不随时间平移而改变的，是时间平移变换的守恒量，但必须满足时间平移变换不改变 Lagrange 密度，而如果采用系统的拉格朗日量 ，那 Hamilton 密度也会相应地变成系统的 Hamilton 量 ，而系统的 Hamilton 量代表了系统的总能量，故 Hamilton 密度代表了系统的能量密度。因此如果系统的 Lagrange 密度或 Lagrange 量具有时间对称性，即满足时间平移变换下的不变性，那么系统的总能量守恒。并且根据(2)式直接说明能动张量的最左上角的 元素就是系统的能量密度。 我们继续讨论空间平移不变性与动量守恒。既然已经考虑了时间平移，现在考虑空间平移，故令 ，当空间平移不改变 Lagrange 密度时，则有守恒流 然后得到 由于场的变换不改变 Lagrange 密度，则有 ，事实上包含三个方程，分别代表三个空间方向上的平移不变动量，则有 和 ，这就得到了系统 Lagrange 密度的平移对称性对应的动量密度守恒。 下面我们重点讨论能动张量本身的问题以及角动量守恒的条件。由于 ，故 是一个在时间上传递的流且具有两个分量分别是时间变分 和空间变分 ，其中时间变分代表四维时空跟等时面垂直传递的分量，空间变分代表等时面上传递的分量，因此 是能量密度 和 是动量密度。根据 4 维动量 ，则有 4 维动量密度 ，如果反过来考虑 空间传递流，即在四维时空中的等空间面上传递的流，也有两个分量 和 ， 是时间变分，表示在等空间面上的传递分量， 是空间变分，表示在跟等空间面垂直的面上的传递分量。 然后用流形的语言来进行解释，由于 和 都是在四维时空中传播的流，在 流传播的背景中，同一时刻的空间构成一个超曲面，称为等时面，此时存在等时面之间传递的能量密度流分量和等时面上传递的动量密度流分量，在 流传播的背景中，将空间流形视为时间流形的单参数微分同肧，则可以定义空间流形成为等空间面，同理等空间面上存在等空间面之间传递的应力张量流分量和等空间面上传递的能流密度流分量。但如果把 和 位置调换一下，则会产生生这四种流分量，即有 可以看到能动张量 不一定是对称的，而事实上调换 和 后得到的四个流分量和不调换的情形下是相同的，这说明此时可以通过某种数学上的方法，构造了这样一种对称性，如 Hilbert 能动张量就是对称张量，对于上面的式子，取 和 就有 则上式代表了 的可交换性，称为空间各向同性，此时系统总角动量守恒的，因此 表示角动量守恒。 最后我们根据能动张量来判断守恒流，令 4 维动量为 ，那么有 上式的本质是流体力学中的连续性方程，如果系统存在能量守恒和 3 维动量守恒，则上式右边的两项均为零，所以把连续性方程也称为做守恒方程，即 ，如果再加上角动量守恒律，则有 。 总结：到此为止，分析力学与经典场论算是构建了一个完整的体系，另外关于辛几何的内容可以参考《经典力学的数学方法初探》这篇文章，小编就不再重复赘述了。 |
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