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最近，笔者看到一本中学竞赛习题书，书中有一道题（第25届IMO试题）。这道试题内容如下： “ 这道题其实并不是很好证明的，尽管结论显得非常有趣，但是并不是很平凡的结果。 我注意到书中提及这道题来源于数学研究，可以参考如下:
上面所提到的一个数学猜想——范·德·瓦尔登（Van der Waerden）猜想： “ 范·德·瓦尔登是一位著名的数学家，他提出的这个猜想也是组合数学中比较重要的结果。 实际上，关于这个猜想，需要解决下面几个名词定义:
其中，双随机矩阵是指一个矩阵的每一行元素的和，每一列元素的和都等于1，比如 就是一个双随机矩阵，可以很容易地验证。关于双随机矩阵的其他性质，可在很多高等代数教材和辅导书中找到。 但其实按照书中所言，即便此时的这个猜想的结果也并不是很显然。从1927年猜想刚被提出，到1984年该猜想才得以证明，这当中其实历经了57年。在百度百科中搜索“Van der Waerden猜想”时，会发现百度百科中内容还是很多的：
其中，百度百科中给出这样的说法： “ 注意到，刘培杰老师所在的工作室出版了这样的一本书：《磨光变换与Van der Waerden猜想》。
他们为这本书做了如下的简介： 【本书主要介绍了磨光变换的基本概念，同时为读者展示出范・德・瓦尔登（Van der Waerden）猜想的相关内容】 本书内容分三个部分: 第一编 磨光变换与双随机方阵第1章 两道试题 第2章 磨光变换 第3章 双随机方阵 第4章 图论背景 第5章 关于泛随机矩阵的Birkhoff定理 第二编 范·德·瓦尔登猜想第6章 一道IMO试题的多种证法及由来 第7章 非负矩阵的结构性质 第三编 双随机矩阵第8章 定义与早期结果 第9章 Muirhead定理与Hardy， Littlewood和Polya定理 第10章 Birkhoff定理 第11章 双随机矩阵的进一步讨论 第12章 范·德·瓦尔登猜想Egosyser-Falikmail定理 附录
1 引言 2 Alexandroff不等式 3 早先有关于范·德·瓦尔登猜想的结果 4 范·德·瓦尔登猜想的证明
值得注意的是，这里的第6章“一道IMO试题的多种证法及由来”，笔者大胆断言就是本文中所提及到的这道题，应该是有很多种证明方法。如果有读者想要验证这一点，不妨可以找找电子版或者买书用来验证一下。至于第三编“双随机矩阵”更是为读者打开了一扇窗，也就是说目前为止关于双随机矩阵到底有哪些好的性质。笔者盲猜，这里的内容不比高等代数中所提及的内容少。 关于双随机矩阵，笔者第一次接触是在北大丘维声教授所编著的两厚本《高等代数：大学高等代数课程创新教材》（分上、下册），这两本书是上海师范大学数学系陈跃老师在笔者大二高等几何课程结束后赠送给笔者的。 关于这本书，笔者极为推荐，内容详实，非常适合高等代数的深入学习。 结语笔者最后想说的是，表面上看起来很简单的知识点（双随机矩阵），实际上也有一些非常难以解决的数学猜想。 最为重要的是，高等数学里面一些很重要的结果，可以通过“降维打击”的方式，将其变为初等数学中的一些难题，这是我们所需要留意的。 |
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