   本文节选自2021年12月1日发表在《自然》（Nature volume 600, pages70–74 (2021)）上的论文，Advancing mathematics by guiding human intuition with AI. 用人工智能引导人类直觉推进数学，AI首次实现数学领域的重大进展。 自20世纪60年代以来，数学家们一直使用计算机来帮助发现猜想的模式和公式，最著名的案例是Birch and Swinnerton-Dyer conjecture（贝赫和斯维讷通-戴尔猜想），这个猜想是千禧年数学大奖的七个问题之一，是数论领域的著名问题。 但是，时至今日，计算机证明基础数学重要定理的例子也并不多见。 现在，DeepMind的一项成果展示了更多的可能性：计算机科学家和数学家们首次使用AI来帮助证明或提出新的数学定理，包括复杂理论中的纽结理论（knot theory）和表象理论（representation theory）。 在该论文中，作者团队提出采用一种机器学习模型，来发现数学对象之间的潜在模式和关联，用归因技术加以辅助理解，并利用这些观察进一步指导直觉思维和提出猜想的过程。 乔迪·威廉姆森教授（Geordie Williamson）是悉尼大学数学研究所所长，也是世界上最重要的数学家之一，他在纯数学领域有着非凡的成绩。作为该论文的合著者，他成功发挥Deep Mind的AI力量，在其的专业领域——表象理论中展开了大胆的探索猜想。 而熟悉人工智能的读者对DeepMind并不陌生。这个AlphaGo背后的计算机科学家团队，曾在2016年围棋比赛中，让AI成功击败世界冠军。在那之后，DeepMind一直秉承的理念是，要用AI助力解决重大科学问题。 基础数学无疑属于重大科学问题的范畴。正如Geordie Williamson教授所说：“数学问题一度被认为是最具智力挑战性的问题……虽然数学家们已经使用ML来帮助分析复杂的数据集，但这是我们第一次使用计算机来辅助形成猜想，或为数学中未经证实的想法提出可能的突破路线。” 这次研究中，AI帮助探索的数学方向是表象理论。表象理论属于线性对称理论，是利用线性代数探索高维空间的数学分支，而Williamson教授是全球公认的表象理论的领导者。在2018年，他成为伦敦皇家学会（Royal Society）最年轻的在世会员，该学会则是世界上最古老、可以说是最负盛名的科学协会。 文章已经证明，在数学直觉思维的指导下，ML提供了一个强大的框架，可以在有大量数据可用的领域，或者对象太大而无法应用经典方法研究的领域，发现有趣且可证明的猜想。 论文的一作是来自DeepMind的Alex Davies博士。他认为，AI技术已经足够先进，足以有力地推动许多不同学科的科学进步。其中，纯数学就是一个典例。“我们希望这篇Nature杂志论文能给其他研究者带来灵感和启发，充分意识到AI在其研究领域中所担任有用工具的潜力。” 论文节选内容如下: Advancing mathematics by guiding human intuition with AI 用人工智能引导人类直觉推进数学 The practice of mathematics involves discovering patterns and using these to formulate and prove conjectures, resulting in theorems. 数学的实践包括发现模式，并利用这些模式来表述和证明猜想，从而得出定理。 Since the 1960s, mathematicians have used computers to assist in the discovery of patterns and formulation of conjectures, most famously in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, a Millennium Prize Problem. 自20世纪60年代以来，数学家们一直使用计算机来帮助发现模式和提出猜想，最著名的是伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想，这是一个千年奖问题。 Here we provide examples of new fundamental results in pure mathematics that have been discovered with the assistance of machine learning—demonstrating a method by which machine learning can aid mathematicians in discovering new conjectures and theorems. 在这里，我们提供了在纯数学中通过机器学习发现的新的基本结果的例子——展示了一种方法，通过机器学习可以帮助数学家发现新的猜想和定理。 We propose a process of using machine learning to discover potential patterns and relations between mathematical objects, understanding them with attribution techniques and using these observations to guide intuition and propose conjectures. 我们提出了一个使用机器学习来发现数学对象之间潜在模式和关系的过程，用归因技术来理解它们，并使用这些观察来引导直觉和提出猜想。 We outline this machine-learning-guided framework and demonstrate its successful application to current research questions in distinct areas of pure mathematics, in each case showing how it led to meaningful mathematical contributions on important open problems: a new connection between the algebraic and geometric structure of knots, and a candidate algorithm predicted by the combinatorial invariance conjecture for symmetric groups. 我们概述了这种机器学习指导框架，并展示了它在纯数学不同领域的当前研究问题上的成功应用，在每个案例中展示了它如何在重要的开放问题上产生了有意义的数学贡献:结的代数和几何结构之间的新联系，以及对称群的组合不变性猜想预测的候选算法。 Our work may serve as a model for collaboration between the fields of mathematics and artificial intelligence (AI) that can achieve surprising results by leveraging the respective strengths of mathematicians and machine learning. 我们的工作可以作为数学和人工智能(AI)领域合作的一个模型，通过利用数学家和机器学习各自的优势，可以实现令人惊讶的结果。 重点词汇 intuition直觉；直觉能力；直觉知识；直觉感知的事 discovering发现；碰见；使被知晓；（discover的现在分词） conjectures推测；猜想；（conjecture的复数） theorems[数]定理；定律；命题；法则；（theorem的复数） mathematicians数学家；（mathematician的复数） famously极好地；很好地；众所周知地 birch桦；白桦；桦条鞭笞；桦木属；桦木科:多种；包括欧洲白桦；用桦条鞭笞 conjecture推测；猜测；猜想；假设；臆说；揣摩；设想 machine learning机器学习, 机器的学习 demonstrating显示；证明；（demonstrate的现在分词）；示威；演示 One of the central drivers of mathematical progress is the discovery of patterns and formulation of useful conjectures: statements that are suspected to be true but have not been proven to hold in all cases. 数学进步的核心驱动力之一是发现模式和有用猜想的公式:那些被怀疑是正确的，但并没有被证明在所有情况下都成立的陈述。 Mathematicians have always used data to help in this process—from the early hand-calculated prime tables used by Gauss and others that led to the prime number theorem, to modern computer-generated data in cases such as the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. 数学家们一直使用数据来帮助这个过程——从高斯和其他人使用的早期手工计算质数表，到现代计算机生成的数据，如伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想。 The introduction of computers to generate data and test conjectures afforded mathematicians a new understanding of problems that were previously inaccessible, but while computational techniques have become consistently useful in other parts of the mathematical process, artificial intelligence (AI) systems have not yet established a similar place. 引入计算机来生成数据和测试猜想，让数学家们对以前无法理解的问题有了新的理解，但尽管计算技术在数学过程的其他部分一直很有用，但人工智能(AI)系统还没有建立起类似的地位。 Prior systems for generating conjectures have either contributed genuinely useful research conjectures via methods that do not easily generalize to other mathematical areas, or have demonstrated novel, general methods for finding conjectures that have not yet yielded mathematically valuable results. 之前产生猜想的系统要么通过不容易推广到其他数学领域的方法贡献了真正有用的研究猜想，要么已经证明了发现猜想的新方法，但尚未产生有数学价值的结果。 重点词汇 conjectures推测；猜想；（conjecture的复数） hold in抑制；约束；隐瞒 gauss高斯（电磁感应单位）；（Gauss）人名：高斯 prime number素数；质数 computer-generated计算机生成的；电脑生成的；电脑制作的 birch桦；白桦；桦条鞭笞；桦木属；桦木科:多种；包括欧洲白桦；用桦条鞭笞 conjecture推测；猜测；猜想；假设；臆说；揣摩；设想 inaccessible达不到的；难以到达的；得不到的；不可接近的；难以理解的；欣赏不了的；不能被看见的；不能被使用的；不接受别人示好的；不易感化的 artificial intelligence人工智能 AI, in particular the field of machine learning, offers a collection of techniques that can effectively detect patterns in data and has increasingly demonstrated utility in scientific disciplines. 人工智能，尤其是机器学习领域，提供了一系列可以有效检测数据模式的技术，并在科学学科中日益显示出实用性。 In mathematics, it has been shown that AI can be used as a valuable tool by finding counterexamples to existing conjectures, accelerating calculations, generating symbolic solutions and detecting the existence of structure in mathematical objects. 在数学中，已经表明人工智能可以作为一个有价值的工具，通过寻找现有猜想的反例，加速计算，生成符号解和检测数学对象中结构的存在。 In this work, we demonstrate that AI can also be used to assist in the discovery of theorems and conjectures at the forefront of mathematical research. This extends work using supervised learning to find patterns by focusing on enabling mathematicians to understand the learned functions and derive useful mathematical insight. 在这项工作中，我们证明了人工智能也可以用来帮助发现数学研究前沿的定理和猜想。这扩展了使用监督学习来寻找模式的工作，重点是使数学家能够理解所学的函数并获得有用的数学见解。 We propose a framework for augmenting the standard mathematician’s toolkit with powerful pattern recognition and interpretation methods from machine learning and demonstrate its value and generality by showing how it led us to two fundamental new discoveries, one in topology and another in representation theory. 我们提出了一个框架，用来自机器学习的强大的模式识别和解释方法来扩充标准数学家工具包，并通过展示它如何引导我们获得两个基本的新发现来证明它的价值和普遍性，一个在拓扑学方面，另一个在表示理论方面。 Our contribution shows how mature machine learning methodologies can be adapted and integrated into existing mathematical workflows to achieve novel results. 我们的贡献展示了如何将成熟的机器学习方法调整并集成到现有的数学工作流中，以获得新颖的结果。 重点词汇 machine learning机器学习, 机器的学习 a collection of一些；集合；许多的 disciplines训导；自制；纪律；训练；学科；（discipline的复数）；使有条理；处罚；使有纪律；（discipline的第三人称单数） conjectures推测；猜想；（conjecture的复数） symbolic作为象征的；使用象征的；象征主义的；具有象征意义的 theorems[数]定理；定律；命题；法则；（theorem的复数） forefront最前线；最重要的位置 supervised指导；管理；监督；（supervise的过去式和过去分词） derive从…中获得；源自；来源于；从…得出；由（某词；通常是外来词）派生；推导自；由（影响另一物质的化学或物理过程）衍生；导出 In this work we have demonstrated a framework for mathematicians to use machine learning that has led to mathematical insight across two distinct disciplines: one of the first connections between the algebraic and geometric structure of knots and a proposed resolution to a long-standing open conjecture in representation theory. 在这项工作中，我们展示了一个数学家使用机器学习的框架，该框架导致了两个不同学科之间的数学洞察力:结的代数和几何结构之间的第一个联系之一，以及对表示理论中一个长期存在的开放猜想的建议解决方案。 Rather than use machine learning to directly generate conjectures, we focus on helping guide the highly tuned intuition of expert mathematicians, yielding results that are both interesting and deep. 我们没有使用机器学习直接生成猜想，而是专注于帮助引导专家数学家高度调整的直觉，产生既有趣又深刻的结果。 It is clear that intuition plays an important role in elite performance in many human pursuits. 很明显，直觉在许多人类追求的精英表现中发挥着重要作用。 For example, it is critical for top Go players and the success of AlphaGo came in part from its ability to use machine learning to learn elements of play that humans perform intuitively. 例如，它对于顶级围棋玩家来说至关重要，AlphaGo的成功部分来自于它能够使用机器学习来学习人类凭直觉执行的游戏元素。 It is similarly seen as critical for top mathematicians—Ramanujan was dubbed the Prince of Intuition and it has inspired reflections by famous mathematicians on its place in their field. 同样，这对顶级数学家来说也是至关重要的——拉马努扬被称为直觉王子，它激发了著名数学家对其在他们领域中的地位的思考。 As mathematics is a very different, more cooperative endeavour than Go, the role of AI in assisting intuition is far more natural. 由于数学是一种与围棋截然不同、更具合作性的努力，人工智能在辅助直觉方面的作用要自然得多。 Here we show that there is indeed fruitful space to assist mathematicians in this aspect of their work. 在这里，我们表明在数学家工作的这一方面，确实有丰富的空间来帮助他们。 重点词汇 machine learning机器学习, 机器的学习 knots结；节疤；（knot的复数）；打结 conjecture推测；猜测；猜想；假设；臆说；揣摩；设想 conjectures推测；猜想；（conjecture的复数） tuned调谐的；调好台的；调整；（tune的过去分词） yielding易弯曲的；柔性的；出产的；产生收益的；让步的；顺从的；柔顺的；屈从的 pursuits消遣；追求；工作；追踪；（pursuit的复数） part from向...告别；使分开；（使）拿出钱来 Our case studies demonstrate how a foundational connection in a well-studied and mathematically interesting area can go unnoticed, and how the framework allows mathematicians to better understand the behaviour of objects that are too large for them to otherwise observe patterns in. 我们的案例研究展示了在一个研究得很充分且数学上很有趣的领域中，一个基本的联系是如何被忽视的，以及这个框架是如何让数学家更好地理解对象的行为的，因为这些对象太大了，他们无法在其中观察模式。 There are limitations to where this framework will be useful—it requires the ability to generate large datasets of the representations of objects and for the patterns to be detectable in examples that are calculable. 这个框架的用处也有局限性——它需要生成对象表示的大型数据集的能力，并且需要在可计算的示例中检测到模式。 Further, in some domains the functions of interest may be difficult to learn in this paradigm. 此外，在某些领域，感兴趣的功能可能很难在这个范式中学习。 However, we believe there are many areas that could benefit from our methodology. More broadly, it is our hope that this framework is an effective mechanism to allow for the introduction of machine learning into mathematicians’ work, and encourage further collaboration between the two fields. 然而，我们认为有许多领域可以从我们的方法中受益。更广泛地说，我们希望这个框架是一个有效的机制，允许将机器学习引入数学家的工作，并鼓励两个领域之间的进一步合作。 重点词汇 case studies案例研究；案例分析；案例学习 foundational基本的；基础的 mathematically算术地 unnoticed被忽视的；不被注意的 datasets数据集；（dataset的复数） representations表现；描述；描绘；表现形式；陈述；抗议；有代理人；代表；维护；支持；表示法；表现…的事物；(representation的复数) detectable可发觉的；可检测的 calculable可计算的；可估定的 paradigm范例；模式；纵聚合关系语言项；范式；词形变化表 基于多年的语言学习实践，发现，随着社会的飞速发展，英语、汉语等重要语言也在不断的与时俱进。这个时候，我们以不变应万变的方法之一，可以是阅读主流刊物。 针对英语而言，无论是为了提高英语水平还是备考任何英语考试，英美外刊都应该是列为首选的最重要的学习资料。当我们真正深入去精读过英美外刊，不仅可以了解英语国家的文化，增长我们的见识，对于英语学习来说，还能够积累以英语为母语者的常用词汇，短语和句型。 建议大家在阅读本文时：第一遍快速阅读，领悟文章重点，了解大意；第二遍开始精读，每看完一段，要仔细体会其中每一句在段落中的功能，各句之间的联系，这一段是如何衔接上下文的，它在整个语篇中的地位，以提高你猜测词义和推理上下文能力；第三遍可以查看中英翻译，继续从微观到宏观地理解原文，学会区分重点和次要信息（这对考试时的阅读非常重要），总结词汇，搭配和句型，并且最好独自翻译一遍原文，以进一步加强理解。 最后建议大家要学以致用，利用从文章中学到的词汇，搭配，句型以及长难句结构进行造句，提高英文写作能力。 学习路径建议：金句记忆——关键词学习——拓展词汇训练——触类旁通——举一反三。 |
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