「数学思维训练」反直觉的数学问题04 - 卡拉数学

123xyz123 2022-03-05

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你的数学直觉怎么样？你能凭借直觉，迅速地判断出谁的概率大，谁的概率小吗？我们将连载这种反直觉的有趣数学问题。如果你感兴趣的话，你可以先试着用直觉来判断，再详细分析答案，看看你猜对了多少。

想了解往期题目的读者，可以关注我们之后搜索历史文章哦。

我们来开始今天的题目：

8．圆周上均匀分布着 100 个点。随便选择两个点连一条线段，再随便选择另外两个点连一条线段。那么，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．两条线段相交
B．两条线段不相交
C．上述两种情况的出现概率相同

解：

这个题目的答案是 B 。随便选择两个点，再随便选择另外两个点，本质上相当于先随便选择四个点，再决定把这四个点配成怎样的两对。对于任意四个点 A 、 B 、 C 、 D （在圆周上按此顺序排列）来说，我们都有三种不同的配对方案：① A – B, C – D ② A – C, B – D ③ A – D, B – C 。其中，只有方案 ② 对应的两条连线才会相交。因此，两条线段相交的概率是 1/3 。

9．不透明的盒子里有 1000 张纸条，上面分别写有 1, 2, 3, …, 1000。 A 从盒子里随机取出 100 张纸条，并把这 100 张纸条上的数从小到大排成一排。然后， B 从盒子里剩下的纸条中随机取出 1 张纸条，并看看这张纸条上的数在 A 那里排第几位。例如，如果 A 手中的数有 50 个比 B 取出的大，另外 50 个比 B 取出的小，那么 B 手中的数就排第 51 位。那么，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．B 手中的数排第 1 位
B．B 手中的数排第 51 位
C．上述两种情况的出现概率相同

解：

很多人的直觉都是，排第 1 可能性不大，排中间可能性更大。而实际上，考虑所有 101 个数的 101! 种排列方案，或者从 1000 个数里选 101 个数所产生的 P(1000, 101) 种排列方案， B 选的那个数将会等可能地出现在各个位置。因此，这个题目的答案是 C 。

如果你还想不明白的话，你干脆直接想成是， A 抽了 100 个数，然后再帮 B 抽了一个数，问帮 B 抽的这个数更有可能排第几。如果你还想不明白的话，你干脆直接想成是， A 抽了 101 个数，问最后抽出的这个数更有可能排第几。如果你还想不明白的话，你干脆直接想成是， A 选了 101 个数往空中一撒，问最后一个落地的数更有可能是排第几的数。

10．把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张 A 。那么，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．翻开第 3 张牌时出现了第一张 A
B．翻开第 4 张牌时出现了第一张 A
C．上述两种情况的出现概率相同

这个题目的答案是 A 。这个答案并不出人意料。你不妨考虑一个非常极端的情况：假设一副牌里只有三张牌，其中两张是 A ，另外一张是 2 。那么，洗好牌后，三张牌的顺序有 AA2, A2A, 2AA 三种（如果把两张 A 看作是两张不同的 A ，那么三张牌的顺序有 A1A22, A2A12, A12A2, A22A1, 2A1A2, 2A2A1 六种）。翻到第 1, 2, 3 张牌时出现第一张 A 的概率分别是 2/3, 1/3, 0 。

至于原题为什么选 A ，我们给出一个这样的解释。洗好牌后，从前往后四张 A 所在的位置一共有 C(52, 4) 种可能的情况，分别为 (1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 3, 6), …, (49, 50, 51, 52) 。其中，形如 (3, ?, ?, ?) 的情况显然比形如 (4, ?, ?, ?) 的情况更多，因为前者的问号处可以有更丰富的取值。