二、填空题1.（2019湖北仙桃，13，3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是．【答案】100【解析】解：设矩形的宽为x，
则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质2.(2019黑龙江大庆,18题,8分)如图抛物线y＝(p>0),点F(0,p),直线l:y
＝－p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A
1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,则△A1OB1的面积＝______(只用a,b表示).第1
8题图【答案】【思路分析】先由边相等得到∠A1FB1＝90°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到
△A1OB1的高,求出三角形面积.【解题过程】设∠A＝x,则∠B＝180°－x,由题可知,AA1＝AF,BB1＝BF,所以∠AFA
1＝,∠BFB1＝,所以∠A1FB1＝90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1＝,所以点F到A1B1的距离为,因为点F(0,
p),直线l:y＝－p,△A1OB1的高为,所以△A1OB1的面积＝··＝【知识点】等边对等角,勾股定理,二次函数,三角形面积三、
解答题1.（2019广西省贵港市，题号，分值11分）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．（1）
求抛物线的表达式；（2）写出点的坐标并求直线的表达式；（3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时
，求，两点的坐标．【思路分析】（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；（2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上
式，即可求解；（3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解题过程】解：（1）函数表达式为：，将
点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：
；（3）设点、点，①当是平行四边形的一条边时，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得
到，即：，，解得：，，故点、的坐标分别为、；②当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，，解得：，，故点、的坐标分别为、；故点、的
坐标分别为或、或．【知识点】二次函数综合题2.（2019贵州省毕节市，题号27，分值16分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点
A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（
2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点
G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形
BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝
a（x2+2x﹣3），即可求解；（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×3＝2，即可求解；（3）∠OGE＝15°，∠
PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8
，即可求解．【解题过程】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1
，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△
BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×3＝2，yD＝BDsin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵
∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立
①②并解得：x＝（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y
＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x
+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．【知识点】二次函数综合题．
3.（2019贵州黔西南州，26，16分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点
P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S
△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE
，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．【思路分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；（2）S△CPD：
S△BPD＝1：2，则BDBC2，即可求解；（3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE
＝1，即可求解；（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．【解题过程】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x
﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（
﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BDBC2，yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴
OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC
，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形
BOCP＝S△OBC+S△PBC3×3（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解
，则不存在满足条件的点P．【知识点】二次函数综合运用；一次函数；一元二次方程的应用4.（2019湖北十堰，25，12分）已知抛物
线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（
2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；
若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且m，试确定满足条件的点P的个数．【思路分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可
解决问题．（2）可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可．（3）如图2中，连接BD，当点
P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值
，再根据对称性即可解决问题．【解题过程】解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（
2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝
∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE
＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴，∴，∵△AEF∽△BCE∴，∴EBAD
，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，P
H，PB．设P[n，（n﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH4×[（n﹣2）2+3]3×（n﹣2）4×
3（n﹣4）2，∵0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，∵m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值，观察图象可知：当0＜m时，满
足条件的点P的个数有4个，当m时，满足条件的点P的个数有3个，当m时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．【知识点
】待定系数法；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质5.（2019湖北咸宁，24，12分）如图，
在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1
）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是
直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．【思路分析】（1）求得A
、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式．（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三
角函数值相等，得到点坐标．（3）B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EF＝OB的关
系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标．【解题过程】解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令
x＝0，得y＝2∴A（4，0），B（0，2）把A（4，0），B（0，2），代入，得，解得∴抛物线得解析式为（2）如图，过点B作x
轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠A
BE即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE∴∠DBE＝∠ABE∴∠DBE＝∠BAC设D点的坐标为（x，），则BF＝x，DF∵tan∠DB
E，tan∠BAC∴，即解得x1＝0（舍去），x2＝2当x＝2时，3∴点D的坐标为（2，3）（3）当BO为边时，OB∥EF，OB＝
EF设E（m，），F（m，）EF＝|（）﹣（）|＝2解得m1＝2，，当BO为对角线时，OB与EF互相平分过点O作OF∥AB，直线O
F交抛物线于点F（）和（）求得直线EF解析式为或直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或∴E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或
（）或（）【知识点】二次函数综合题；6.（2019湖北孝感，24，13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣
2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）点A的坐标为，点B的坐标为，线段AC
的长为，抛物线的解析式为．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四
边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE
＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．【思路分析】（1）由题意得：﹣
8a＝﹣4，故a，即可求解；（2）分BC是平行四边形的一条边时、BC是平行四边形的对角线时，两种情况分别求解即可．（3）证明△EP
H∽△CAO，∴，即：，则EPPH，即可求解．【解题过程】解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a，故抛物线的表达式为：yx2﹣x﹣
4，令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），则AC＝2，故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、
yx2﹣x﹣4；（2）①当BC是平行四边形的一条边时，如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，设：点P（n，n2
﹣n﹣4），点Q（m，0），则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0，解得：m＝4或
6（舍去4），即点Q（6，0）；②当BC是平行四边形的对角线时，设点P（m，n）、点Q（s，0），其中nm2﹣m﹣4，由中心公式可
得：m+s＝﹣2，n+0＝4，解得：s＝2或4（舍去4），故点Q（2，0）；故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；（3）如图2，过
点P作PH∥x轴交BC于点H，∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，∴△EPH∽△CAO，∴，即
：，则EPPH，设点P（t，yP），点H（xH，yP），则t2﹣t﹣4＝xH﹣4，则xHt2﹣t，fPH＝[t﹣（t2﹣t）]（t
2﹣4t），当t＝m时，f1（m2﹣4m），当t＝4m时，f2（m2﹣2m），则f1﹣f2m（m），则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0
，f1＞f2．【知识点】二次函数综合题；一次函数；平行四边形性质7.（2019湖南郴州，26，12分）已知抛物线y＝ax2+bx
+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上
一个动点．①如图1，设k，当k为何值时，CFAD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；
若不相似，请说明理由．【思路分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点
D（﹣1，4）；（2）①由A、C、D三点的坐标求出AC＝3，DC，AD＝2，可得△ACD为直角三角形，若CF，则点F为AD的中点，
可求出k的值；②由条件可判断∠DAC＝∠OBC，则∠OAF＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑
：当∠AOF＝∠ABC或∠AOF＝∠CAB＝45°时，可分别求出点F的坐标．【解题过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点
A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D
的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3
），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝
90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan，在Rt△OBC中，tan，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴
∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠A
BC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线
OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（）．当
∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F
（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（）或（﹣2，2）．【知识点】二次函数综合题；二次函数的图象；相似三角形的判定与性质；直角
三角形的性质；用待定系数法求函数解析式8.（2019湖南湘西，26，22分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0
），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，
已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形
MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形
的面积时，求抛物线平移的距离．【思路分析】1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA
＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得
到点D坐标．由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式．（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作
点M关于x轴的对称点点M''，作点N关于y轴的对称点点N''，得FM＝FM''、GN＝GN''．易得当M''、F、G、N''在同一直线上时N''
G+GF+FM''＝M''N''最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M''N''．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M''、N、
N''坐标，即求得答案．（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积．又因为△ODP的面积常规求法是过点P
作PE平行y轴交直线OD于点E，把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算，故存在等量关系．设点P坐标为t，用t表示PE的长
即列得方程．求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件．（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画
出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）．易证KL平分矩形面积时，KL一定
经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值．【解题过程】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8
，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝
ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为yx2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M''，作点N关于y轴的对称点
点N''，连接FM''、GN''、M''N''∵yx2﹣4x（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D
（2，﹣6）∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD
＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M''关于
x轴对称，点F在x轴上∴M''（6，4），FM＝FM''∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N''关于y轴对称，点G在y轴上∴N''（﹣
4，﹣6），GN＝GN''∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N''G+GF+FM''∵当M''、F、G、N''在同一直线上时
，N''G+GF+FM''＝M''N''最小∴C四边形MNGF＝MN+M''N''21012∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，
使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E∵D（2，﹣6）∴OD，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，
t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）
t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPEPE?xPPE?（xD﹣xP）PE（xP+xD﹣xP）PE?xD＝PEt2+t∵△OD
P中OD边上的高h，∴S△ODPOD?h∴t2+t2方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝yP﹣yEt2﹣4t﹣
（﹣3t）t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPEPE?xPPE?（xP﹣xD）PE（xP﹣xP+xD）PE?xD＝PEt2﹣
t∴t2﹣t2解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（
4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴
K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLKS矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥L
C∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．【知
识点】二次函数综合题；矩形的性质；二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题；勾股定理；坐标系中求三角形面积；抛物线的平移；相
似三角形的判定和应用；中点坐标公式9.(2019内蒙古包头市，26题，12分)如图14，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2
+bx+2(a≠0)与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，（1）求抛物线的解析式，并写出它的对称轴
；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD，DB，若∠DCB=∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）抛物线
上一个动点(其中1＜x＜2，连接CE，CF，FE，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线
上是否存在点M，使得B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.【
思路分析】（1）将A，B坐标代入抛物线解析式，求出a，b的值即可得到解析式，利用解析式再求出抛物线对称轴；（2）设点D（1，y），
利用勾股定理分别表示出CD2和BD2，根据∠DCB=∠CBD可知CD=BD，从而列出关于y的方程，求解该方程即可得到D的坐标；（3
）过点E作EQ⊥y轴于Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作直线EP⊥FR于P，利用S△CEF=S矩形QRPE-S△CQE-S△
CRQ-S△EFP,用E点坐标x，y表示出△CEF的面积；再根据E点在抛物线上，得到，从而求出S△CEF与x的函数关系式，利用配方
求出最大值及此时E的坐标即可；（4）设N点坐标为（1，n），分两种情况讨论：即BC为边或对角线，根据平行四边形性质，利用B、C和N
坐标表示出M的坐标，再将M坐标代入抛物线解析式即可求出M.【解题过程】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过A（-1，
0），B（3，0）两点，∴，解得.∴抛物线的解析式为.∴对称轴是直线x=1.（2）过点D作DG⊥y轴于点G，作DH⊥x轴于H，设点
D（1，y）,∵C（0，2），B（3，0），∴在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=(2-y)2+(1-0)2，∴在Rt△BH
D中，BD2=BH2+HD2=(3-1)2+(y-0)2,在△BCD中，∵∠DCB=∠CBD，∴CD=BD，∴CD2=BD2.∴(
2-y)2+(1-0)2=(3-1)2+(y-0)2,∴4y=1,∴y=.∴点D的坐标为(1，).（3）过点E作EQ⊥y轴于Q，过
点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作直线EP⊥FR于P，∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=900,∴四边形QRPE是矩形，∵S△CEF
=EQ·QR-EQ·QC-CR·RF-FP·EP，∴S△CEF=x(y-1)-x(y-2)-×1×1-(x-1)(y-1)，∵，∴
S△CEF=，∴S△CEF=.∵，∴当x=时，△CEF面积的最大值是，此时点E的坐标为（）.（4）存在点M，使得以B，C，M，N为
顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为M（2，2）或（4，）或（-2，）.理由如下：设N点坐标为（1，n），①若BC为边时，则MN
∥BC且MN=BC，∵C（0，2），B（3，0），∴把N点向右（或向左）平移3个单位，向下（或向下）平移2个单位得到M，∴M坐标为
（4，n-2）或（-2，n+2）.∵M在抛物线上，∴n-2=或n+2=,解得，n-2=或n+2=.∴M点坐标为（4，）或（-2，）
.②若BC为对角线时，此时BN∥MC且BN=MC，∴将C点向右平移2个单位，再向下平移n个单位得到M，∴M坐标为（2，2-n）.把
M点坐标代入抛物线，得2-n=，解得，2-n=2.∴M点坐标为（2，2）.综上所述，点M的坐标为M（2，2）或（4，）或（-2，）
.【知识点】待定系数法求二次函数解析式，配方法求二次函数的最值，平移表示点的坐标，分类讨论思想.10.（2019宁夏，24，3分
）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC，BC分别与x轴和y轴重合，其中，将此三角板沿y轴向下平移，
当点B平移到原点O时运动停止，设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2）与m轴相交
于点，与x轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写
出Q点的坐标．【思路分析】第（1）问中，利用直角三角的性质及点P的坐标，可以求出直角三角形两条直角边的长，从而求出三角板ABC的
面积；第（2）问中，先求出点A，B的坐标，然后利用待定系数法，可以得到直线AB的解析式；第（3）问中，根据题目中的关系，可以求得s
关于m的函数关系式，利用函数的图象与性质可以求出Q点的坐标．【解题过程】（1）因为点，所以，因为当时，，所以此时三角板ABC恰好
平移出第一象限，即点B与点O重合，所以，因为，所以，所以三角板ABC的面积为．（2）解：由（1），得，，所以平移前，，设平移钱直线
AB边所在的直线的解析式为，所以，解得，所以平移钱直线AB边所在的直线的解析式为．（3）解：为了更好的说明，对图1进行如下标注：第
24题答图因为向下平移m个单位得到，所以≌，所以，所以，在Rt中，，所以所以，即，所以s关于m的函数关系式为，因为当时，，所以点Q
的坐标为．【知识点】二次函数的图象和性质、锐角三角函数、一次函数的图象和性质、勾股定理、图形的变化（平移）．11.（2019年陕
西省，24，10分）（本题10分）已知抛物线：与x轴交于，两点，并与y轴交于点C，抛物线与关于坐标原点对称，点，在上的对应点分别为
，．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于的面积？若存在求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分
析】第（1）问中，将点B的坐标代入抛物线的表达式，就可以求出抛物线的表达式中的待定系数的值，从而得到抛物线的表达式；第（2）问中，
先求出抛物线的顶点坐标，再根据轴对称的性质，即可求出抛物线的表达式，然后根据已知条件列一个一元二次方程即可求出P点的横、纵坐标．【
解题过程】（1）因为抛物线：与x轴交于，两点，所以，解得，所以抛物线的解析式为．（2）解：在抛物线上存在点P，使得的面积等于的
面积，因为抛物线的解析式为，即，所以抛物线的顶点坐标为，，，因为抛物线与关于坐标原点对称，所以抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的解
析式为，即，所以，，所以，，所以，所以，不妨设以为底边的高为h，因为，所以，令，则，解得，或，令，则，解得，所以点P的坐标为，，【
知识点】二次函数（抛物线）的图象和性质、二次函数与一元二次方程、轴对称图形的性质．12.（2019北京市，24题，6分）如图，
P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度
之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度
的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.6
42.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.
014.005.116.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定_______的长度是自变量，_______的长度和_____
__的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC
=2PD时，AD的长度约为_______cm．【思路分析】（1）三个变量中，分析哪两个变量均随某个变量的变化而变化，哪两个量就是函
数.观察表格中的数据，当AD的长度发生变化时，PC，PD也随之变化.（2）以AD为自变量，分别以PC，PD为函数，画函数图像即可.
（3）找到图象中满足PC=2PD时，对应点的横坐标即可解答.【解题过程】（1）观察表格中的数据可知：PC，PD都随AD的变化而变化
.故AD为自变量，PC，PD均为AD的函数.故填：AD，PC，PD；（2）以AD为自变量，分别以PC，PD为函数，画出的函
数图像如下图，（3）观察图象可得，当AD=2.29或者3.98时，有PC=2PD.故填：2.29或者3.98.【知识点】函数与自变
量、画函数图形及应用函数图象.13.(2019黑龙江大庆,23题,8分)如图,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝8cm,AC
＝6cm,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B,A重合的情况),运动速度为2cm/s,过点D作DE∥BC交AC
于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y(cm).(1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(2
)当x为何值时,△BDE的面积S有最大值?最大值为多少?第26题图【思路分析】(1)由先证明三角形相似,进而由比例式得到AE的表达
式;(2)用含有x的式子表示出△BDE的面积,利用二次函数求得最值.【解题过程】(1)因为DE∥BC,所以∠ADE＝∠ABC,因为
∠A＝∠A,所以△ADE∽△ABC,所以,因为AB＝8,BD＝2x,所以AD＝8－2x,AC＝6,所以AE＝,所以y＝,0≤x≤4
;(2)△BDE中BD边上的高为AE,所以S＝,所以当x＝2时,△BDE的面积S有最大值为6.【知识点】相似三角形,二次函数最值1
4.(2019黑龙江大庆,23题,9分)如图,抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交
于点C,且点A的坐标为(－1,0).(1)求抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折,保
留抛物线在x轴上的点和x轴上方的图象,得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点,从左到右四个交点依次即为D,E,F,G.当以EF为直径
的圆过点Q(2,1)时,求t的值;(3)在抛物线y＝x2+bx+c上,当m≤x≤n时,y的取值范围是m≤y≤7,请直接写出x的取值
范围.第28题图【思路分析】(1)由对称轴可求出b的值,再由点A坐标求出c的值,则表达式可求;(2)通过半径作为等量关系,表示出E
的坐标,代入函数,得到方程,即可解得t的值;(3)由函数的增减性得到两种对应关系,通过解方程得到m和n的值.【解题过程】(1)抛物
线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2,所以,所以b＝－4,所以y＝x2－4x+c,代入点A坐标(－1,0),可得c＝－5,所以
函数表达式为y＝x2－4x－5;(2)如图,由对称变换可知,翻折后的抛物线表达式为y＝－x2+4x+5,顶点坐标为(2,9),图象
与直线y＝t恒有四个交点,所以0,t),所以－(3－t)2+4(3－t)+5＝t,解之,得t＝,因为0x－5,解之得x1＝－2,x2＝6,当x＝6时,y＝7,即n＝6,当x＝m时y＝m,即m＝m2－4m－5,解之得m＝,因为26,所以m＝,所以x的范围为≤x≤6;当x＝－2时,y＝7,所以当x＝n时,y＝m＝－2,则－2＝n2－4n－5,解之得n＝,因为
－2龙东地区，23，6）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（3，0）、点B（－1，0），与y轴交于点
C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线MN上，且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标
．【思路分析】对于（1），既可以用待定系数法求解析式，也可以根据二次函数的交点式直接确定解析式；对于（2）考虑到符合题意的点P可能
有两个，因此要分类讨论解决问题.【解题过程】解：（1）方法1：把A（3，0）、B（－1，0）代入y＝x2＋bx＋c，得，……………
………………………………………………………………………（2分）∴，……………………………………………………………………………………
………（1分）∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.………………………………………………………………………（1分）方法2：∵抛物线
y＝x2＋bx＋c经过点A（3，0）、点B（－1，0），∴抛物线的解析式为y＝（x-3）（x+1），………………………………………
……………………（3分）即y=x2-2x-3.…………………………………………………………………………………………（1分）（2
）P1(4,3),P2(8,3).……………………………………………………………………………………（2分）延长CA交MN于点E，①
如图1，当点P在点E左侧时，过点P,A作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，分别交于点F,G，由（1）知，OD=OC=3,OB=1
,∴CD=6，∴S△DBC==3.设P（m，3），则PF=6,AG=CG=3,CF=m，GF=m-3，∵S△PAC＝S△PCF-S
△ACG-S梯形AGFP＝3,∴m×6-×3×3-（3+6）（m-3）=3，解得m=4.∴P1（4,3）；②如图2，当点P在点E右
侧时，同①理可得P2（8,3）.综上，点P的坐标为P1（4,3）或P2（8,3）.图1图2图3方法2：如图3，由图可知，△BDC与
△PAC的铅垂高相等，∵两个三角形的面积相等，所以它们的水平宽也相等，∴AR=AS=BO=1,∴R(2,0),S(4,0),又DP
1=2OR,DP2=2OS,∴DP1=4,DP2=8,∴P1（4,3）或P2（8,3）.【知识点】待定系数法；二次函数的图象和性质
；三角形的面积16.（2019吉林省，25，10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点，BE=A
B,连接AE.动点P,Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD-DC向终点C运动
，设点Q运动时间为x（s),在运动过程中，点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2）.AE=cm，∠EAD=
;求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；当PQ=cm时，直接写出x的值【思路分析】（1）Rt△ABE中，BE=A
B=3,利用勾股定理可求得AE=3cm，∵Rt△ABE中，BE=AB∴∠EAB=45°，∴∠EAD=45°；分类讨论：当0＜x≤2
时，如图，点Q在AD上运动，P在AE上运动∴y=S△APQ=,∴AQ=2x，PF=x,∴y=当2＜x≤3时，如图，点Q在CD上运动
，P在AE上运动∴y=S△APF+S梯PQDF=,由题意知，AP=x，则AF=PF=x，∵AD+DQ=2x，AD=4，∴DQ=2x
-4，DF=4-x,∴y=；当3＜x≤时，如图，点Q在CD上运动，P在与点E重合∴y=S△APF+S梯PQDF=,由题意知，AP=
3，则AF=PF=3，DQ=2x-4,DF=4-3=1,∴y=（3)当PQ=时，如图此时0＜x≤2，Rt△PQF中，PF=x,FQ
=2x-x=x,由勾股定理可得PQ=x，∴x=，∴x=如图此时2＜x≤3，Rt△PQF中，PH=x-(2x-4)=4-x,QH=4
-x,由勾股定理可得PQ=(4-x),∴(4-x)=，∴x=4-，∴x＞3，∴这种情况不成立；如图此时3＜x≤，Rt△PQF中，P
H=3-(2x-4)=7-x,QH=1,由勾股定理可得PQ=，∴，∵3＜x≤∴x=综上所述，当PQ=时，x=或x=【解题过程】（1
）3，45°（2）当0＜x≤2时，如图，点Q在AD上运动，P在AE上运动∴y=S△APQ=,∴AQ=2x，PF=x,∴y=当2＜x
≤3时，如图，点Q在CD上运动，P在AE上运动∴y=S△APF+S梯PQDF=,由题意知，AP=x，则AF=PF=x，∵AD+DQ
=2x，AD=4，∴DQ=2x-4，DF=4-x,∴y=；当3＜x≤时，如图，点Q在CD上运动，P在与点E重合∴y=S△APF+S
梯PQDF=,由题意知，AP=3，则AF=PF=3，DQ=2x-4,DF=4-3=1,∴y=（3）x=或x=【知识点】分类讨论；勾
股定理；三角形面积；梯形面积17.（2019·江苏常州，27，10）如图，二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像与x轴交于点A、B，
与y轴交于点C，点A坐标为(－1，0)，点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝_____；（2）若点P在第一象限，过点P作P
H⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH，若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的
坐标．第27题图第27题备用图【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用
待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A坐标代入抛物线解析式，得到关于b的一元一次方
程，解之即可；（2）先求直线BC、BD的解析式，然后令P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－m＋)，再利用P
M＝MN＝NH，得到m的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P坐标；（3）如答图2，过点P作PK⊥AB于点K，过点Q作QJ⊥AB于
点J，则PK∥QJ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P的纵坐标为点Q纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条
件的点P的坐标．【解题过程】解：（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像过点A(－1，0)，∴0＝－(－1)2－b＋3．∴b＝2
．（2）如答图1，连接BD、BC，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC、BD分别于点M、N．第27题答图2第27题答图1∵抛物线y＝－
x2＋2x＋3交x轴于点A(－1，0)、B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，且点D为OC的中点，∴D(0，)．易求直线BC的解析
式为y＝－x＋3，直线BD的解析式为y＝－x＋．假设存在符合条件点P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－m＋
)．∵PM＝MN＝NH，∴－m＋＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)．整理，得2m2－7m＋3＝0，解得m1＝，m2＝3（不合题意
，舍去）．∴P(，)即为所求的符合条件的点．（3）如答图2，过点P作PK⊥AB于点K，过点Q作QJ⊥AB于点J，则PK∥QJ．∵
过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，∴PQ＝2QR，从而PR＝3QR．∵PK∥QJ，
∴△RQJ∽△RPK．∴．∴PK＝3QJ．设P(n，－n2＋2n＋3)，由BD的解析式为y＝－x＋，且直线PQ⊥BD，可令直线PQ
的解析式为y＝2x＋t，则－n2＋2n＋3＝2n＋t，解得t＝3－n2，于是，PQ：y＝2x＋3－n2．由，解得，从而Q(，)．由
PK＝3QJ，得－n2＋2n＋3＝3()，整理，得n2－5n＋6＝0，解得n1＝2，n2＝3（舍去）．当n＝2时，－n2＋2n＋3
＝3，故P(2，3)即为所求的点．【知识点】二次函数的综合应用；用待定系数法求函数解析式；一元二次方程的解法；相似三角形的性质与判
定；压轴题18.（2019·江苏镇江，27，10）如图，二次函数y＝－x2＋4x＋5图像的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝
x＋1的图像与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是__________；（2）直线l与直线AB
交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于
每一个确定的n的值，有且只且个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围___________．第27题图【思路分析】本题考查
了二次函数图形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用所学知识的能力．（1）把二次函数的一般式配成顶点式即可得D点的坐
标；（2）①先求出直线DB的解析式，然后通过解方程组求出B点的坐标，然后根据相似三角形的性质和线段的大小关系求出DP的长．【解题过
程】解：（1）∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x＋4－4)＋5＝－(x－2)2＋9，∴D(2，9)．（2）∵一次函数y＝x＋
1的图像与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B，∴点A(－，0)关于直线l（x＝2）的对称点(，0)在直线DB上．令
DB的解析式为y＝kx＋b，则，解得，于是DB：y＝－2x＋13．由，解得，故B(5，3)，从而DB＝，DA＝．①如答图1，在y＝
x＋1中，当x＝2时，y＝，从而C(2，)，N(2，)，∴DN＝9－＝，DC＝9－＝，＝．若△DPQ∽△DAB，则△DPN与△
DAC，于是，DP＝DA＝；若△DPQ∽△DBA，则△DPN与△DBC，于是，DP＝DB＝．综上，符合条件的DP的长为或．第
27题答图1第27题答图2②，理由如下：如答图2，当△DPQ∽△DBA，且Q点与B点重
合时，PB与直线l的交点N，在此时的线段CN（不包括端点）上任意一点都满足条件，通过过点B作答图1中第二种情况下的PQ的平行线，易
求出此时的PB的解析式为y＝－x＋5，且当x＝2时，y＝，从而N(2，)，于是，若对于每一个确定的n的值，有且只且个△DPQ与△D
AB相似，n的取值范围是．【知识点】二次函数图形的性质；相似三角形的判定和性质；数形结合思想；化归思想；压轴题19.（2019辽
宁本溪，26，14分）抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一
动点（点P不与C，D重合），过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时
，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.【思路分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等
腰三角形性质、图形的面积计算等.（1）函数的表达式为：y=(x+1)(x-5)，即可求解；（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点
F(2-，0），S△PCF=×PC×DF=(2-m)(2--2)=5，即可求解；（3）分当CP=CF、CP=PF、CP=PF三种情
况，分别求解即可．【解题过程】解：（1）函数的表达式为：y=(x+1)(x-5)=-x2+x+；（2）抛物线的对称轴为x=1，则点
C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得：函数PB的表达式为：y=-mx+…①，∵C
E⊥PE，故直线CE表达式中的k值为，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y=x+(2?)…②，联立①②并
解得：x=2-，故点F（2-，0），S△PCF=×PC×DF=(2-m)(2--2)=5，解得：m=5或-3（舍去5），故点P（2
，-3）；（3）由（2）确定的点F的坐标得：CP2=(2-m)2，CF2=()2+4，PF2=()2+m2，①当CP=CF时，即：
(2-m)2=()2+4，解得：m=0或（均舍去），②当CP=PF时，(2-m)2=()2+m2，解得：m=或3（舍去3），③当C
F=PF时，同理可得：m=±2（舍去2），故点P（2，）或（2，-2）．【知识点】二次函数的性质；一次函数的性质；等腰三角形性质；
图形的面积计算.20.（2019广西梧州，26，12分）如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐
标分别是2、1．（1）请直接写出点的坐标，并求、的值；（2）直线经过点，与轴交于点．点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在
此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．【思路分析】（1）证明△，即可求解；（2）点在直线
上，则设的坐标为，由，即可求解；（3）分当切点在轴下方、切点在轴上方两种情况，分别求解即可．【解题过程】解：（1）过点、分别作轴的
垂线交于点、，，，，又，△，，，故点、的坐标分别为、，将点、坐标代入抛物线并解得：，，故抛物线的表达式为：；（2）将点坐标代入并解
得：，则点，点、、、的坐标分别为、、、，则，，点在直线上，则设的坐标为，，则，解得：或6（舍去，故点，把代入，故点在抛物线上；（3
）①当切点在轴下方时，设直线与相切于点，直线与轴、轴分别交于点、，连接，，，，，，，即：，解得：或（舍去，故点，把点、坐标代入并解
得：直线的表达式为：；②当切点在轴上方时，直线的表达式为：；故满足条件的直线解析式为：或．【知识点】二次函数综合题；一次函数；圆的
切线性质；三角形相似21.（2019湖北荆州，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为
（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平
分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A
作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平
行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．【思路分析】（1）由平行四边形OABC的性质求点B坐标，根据抛物线经过点
B、C、D用待定系数法求解析式．（2）由OE平分∠AOC易证得∠COE＝∠AOE＝∠OEC，故有CE＝OC，求得点E坐标，进而求得
直线OE解析式．求抛物线对称轴为直线x＝7，即求得点F坐标．作点E关于x轴的对称点点E''，由于点P在x轴上运动，故有PE＝PE''，
所以当点F、P、E''在同一直线上时，PE+PF＝PE''+PF＝FE''最小．用待定系数法求直线E''F解析式，即求得E''F与x轴交点P
的坐标．（3）设AH与OE相交于点G，且G的横坐标为t，即能用t表示OG、AG的长，由AH⊥OE于点G，根据勾股定理可得AG2+O
G2＝OA2，把t代入解方程即求得t的值即求得点G坐标．待定系数法求直线AG解析式，令y＝3时求x的值即为点H坐标．故可得HE＝9
﹣5＝4，且点H、E关于直线x＝7对称．由于以点M，N，H，E为顶点的平行四边形中，H、E固定，以HE为平行四边形的边或对角线进行
分类讨论．①以HE为边时，可得MN∥HE，且MN＝HE，故可得点M横坐标为3或11，代入抛物线解析式即求得纵坐标．②以HE为对角线
时，根据平行四边形对角线互相平分可得点M在抛物线对称轴上，求顶点即可．【解题过程】解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），
C（4，3）∴BC＝OA＝6，BC∥x轴∴xB＝xC+6＝10，yB＝yC＝3，即B（10，3）设抛物线y＝ax2+bx+c经过点
B、C、D（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为yx2x（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E''，连接E''F交x轴于点P∵C（4，3
）∴OC∵BC∥OA∴∠OEC＝∠AOE∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE∴CE＝OC＝5∴xE＝xC+5
＝9，即E（9，3）∴直线OE解析式为yx∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x7∴F（7，）∵点E与点E''关于x轴对称
，点P在x轴上∴E''（9，﹣3），PE＝PE''∴当点F、P、E''在同一直线上时，PE+PF＝PE''+PF＝FE''最小设直线E''F解
析式为y＝kx+h∴解得：∴直线E''F：yx+21当x+21＝0时，解得：x∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）．（3）
存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．设AH与OE相交于点G（t，t），如图2，∵AH⊥OE于
点G，A（6，0）∴∠AGO＝90°∴AG2+OG2＝OA2∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62∴解得：t1＝0（舍去）
，t2∴G（，）设直线AG解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AG：y＝﹣3x+18当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5∴H
（5，3）∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2则HE∥MN，
MN＝HE＝4∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上∴xM＝7+4或7﹣4，即xM＝11或3当x＝3时，yM99∴M（3，）或（11，
）②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3则HE、MN互相平分∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上∴点
M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点∴yM4974∴M（7，4）综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．【知识点】平行
四边形的性质；二次函数的图象与性质；平行线性质；角平分线定义；等腰三角形性质；轴对称求最短路径；解二元一次方程；勾股定理；解一元二
次方程22.（2019湖南邵阳，26，12分）如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为（1）求该二次函数的解析式；（2）在
轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值；（3）在（2）的条
件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到
点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四
边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由．【思路分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次
函数图象上点的坐标特征求出点，的坐标，进而可得出点，的坐标，再利用正方形的性质可得出关于的方程，解之即可得出结论；（3）由（2）可
得出点，，，的坐标，根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可
求出点，的坐标，由且以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，，三种情况找出，的长，由可得出关于的一元二次方程，解之取其合
适的值即可得出结论．【解题过程】解：（1）将，代入，得：，解得：，该二次函数的解析式为．（2）当时，，解得：，，点的坐标为，，点的
坐标为，，点的坐标为，，点的坐标为，．矩形为正方形，，解得：（舍去），．当矩形为正方形时，的值为4．（3）以、、、四点为顶点构成的
四边形能为平行四边形．由（2）可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线
的解析式为．当时，，，点的坐标为，点的坐标为．以、、、四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且，，分三种情况考虑：①当时，如图1所示
，，，，解得：（舍去），；②当时，如图2所示，，，，解得：（舍去），；③当时，，，，解得：（舍去），（舍去）．综上所述：当以、、、
四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，的值为4或6．【知识点】二次函数综合题；二次函数解析式；二次函数的图象；正方形的性质；待定系
数法求一次函数解析式；一次函数的图象；平行四边形的性质23.（2019江苏常州，27，10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3
的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在
第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2
S△QRB，求点P的坐标．【思路分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解
析式．设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、N、H的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长．以PM＝MN为等量关系列得关
于t的方程，求得t的值合理（满足P在第一象限），故存在满足条件的点P，且求得点P坐标．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
，根据同角的余角相等易证∠EPQ＝∠OBD，所以cos∠EPQ＝cos∠OBD，即在Rt△PQE中，cos∠EPQ；在Rt△PFR
中，cos∠RPF，进而得PQPE，PRPF．设点P横坐标为t，可用t表示PE、PF，即得到用t表示PQ、PR．又由S△PQB＝2
S△QRB易得PQ＝2QR．要对点P位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系，即列得关于t的方程．求得t的值要注意是否符合各种情况下t
的取值范围．【解题过程】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）∴﹣1﹣b+3＝解得：b＝2故答案
为：2．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3当x＝0时y＝3，∴C（0，3）当
y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0），B（3，0）∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3∵点D为OC
的中点，∴D（0，）∴直线BD的解析式为y，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，t），H（t
，0）∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（x）t，NHt∴MN＝NH∵PM＝MN∴﹣t2+3t
t解得：t1，t2＝3（舍去）∴P（，）∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E∵O
B＝3，OD，∠BOD＝90°∴BD∴cos∠OBD∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°∴∠
PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD在Rt△PQE中，cos∠EPQ
∴PQPE在Rt△PFR中，cos∠RPF∴PRPF∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQBBQ?PQ，S△QRBBQ?QR∴PQ＝
2QR设直线BD与抛物线交于点G∵x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2∴点G横坐标为设P（t，﹣t2+2t+3）（
t＜3），则E（t，t）∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（t）|＝|﹣t2t|①若t＜3，则点P在直线BD
上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2t∵PQ＝2QR∴PQPR∴PE?PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2t）＝5（
﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去）∴P（2，3）②若﹣1＜t，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜
QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，P
Et（﹣t2+2t+3）＝t2t∵PQ＝2QR∴PQ＝2PR∴PE＝2?PF，即2PE＝5PF∴2（t2t）＝5（t2﹣2t﹣3）
解得：t1，t2＝3（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（2，3）或（，）．【知识点】二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质
；解一元二次方程；同角的余角相等；三角函数的应用24.（2019江苏镇江，27，10分）如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线
1，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点．（1）点的坐标是；（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合
），点的纵坐标为．过点作直线与线段、分别交于点、，使得与相似．①当时，求的长；②若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接
写出的取值范围．【思路分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点，，，点关于对称轴对称的点，，借助的直线解析式求
得；①当时，，可求，，当时，，；当与不平行时，；②当，时，，，所以，则有且只有一个与相似时，；【解题过程】解：（1）顶点为；故答案
为；（2）对称轴，，由已知可求，，点关于对称点为，，则关于对称的直线为，，①当时，，，，当时，，，，；当与不平行时，，，，；综上所述，；②当，时，，，，，有且只有一个与相似时，；故答案为；【知识点】二次函数综合题；二次函数的图象及性质；三角形的相似25.（2019四川泸州，25，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线yx+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．【思路分析】（1）把点A、C坐标及对称轴x＝2代入二次函数表达式，即可求解；（2）求出直线yx+m与y轴的交点为（0，m），由S△AOC6，3，即可求解；（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．【解题过程】解：（1）由已知得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2﹣2x﹣6，同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；（2）联立，解得：x，直线yx+m与y轴的交点为（0，m），S△AOC6，由题意得：3，解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），∴m＝﹣2；（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，①当△DEO∽△AOC时，则，如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，则Rt△BEG∽Rt△EDF，则，则BG＝3EF，设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），则点E（4，﹣6）；②当△BED∽△AOC时，，过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NBEM，设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，则﹣q（p﹣2），解得：p或（舍去）；故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．【知识点】二次函数综合题；一次函数；三角形相似26.（2019四川省雅安市，24，12分）已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），点P（P与O不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴。PM⊥l于点M，点F（0，-1）．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求的值；（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．【思路分析】（1）把点（2，-1）代入二次函数y=ax2(a≠0)中求得a的值，从而得到二次函数的解析式；（2）设出点P的坐标，把PM、PF用点P的坐标表示出来，得到它们相等，从而点P在线段MF的中垂线上；（3）根据点在的图象上的性质分别证明△PMR与△PFR、Rt△RFQ与Rt△RNQ全等，得到MR=FR，RN=FR，从而FR=RN，所以它们的比值为1；（4）要证明点R在以线段PQ为直径的圆上，只需证∠PRQ=90°，由PR平分∠MRF，QR平分∠FRN可得∠PRQ=90°，从而点R在以线段PQ为直径的圆上．【解题过程】（1）∵y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），∴-1=a×22，即a=，∴；（2）设的图象上的点P（x1,y1）,则M(x1，1)，，即x12=-4y1，PM=｜1-y1｜，又PF=====｜y1-1｜=PM，即PF=PM，∴点P在线段MF的中垂线上；（3）连接RF，∵R在线段MF的中垂线上，∴MR=FR，又∵PM=PF，PR=PR，∴△PMR≌△PFR，∴∠PFR=∠PMR=90°，∴RF⊥PF，连接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中，∵Q在的图象上，由（2）结论知∴QF=QN，∵RQ=RQ，∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ，即RN=FR，即MR=FR=RN，∴；（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，∴∠PRQ=（∠MRF+∠FRN）=90°，∴点R在以线段PQ为直径的圆上．【知识点】二次函数；垂直平分线；三角形全等的判定与性质；圆时代博雅解析时代博雅解析 |
|
