利用南十字星座测量经纬度的方法
一.球面三角形测量经纬度
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下面介绍一种利用南十字星座测量经纬度的方法，
如下图1所示
在地球球心O观察天球上的4个星星，这4个星星在天球上面形成的球面四边形是等边球面四边形。设球面正方形的中心是P，直线OP垂直于平面ABCD。OP和地球表面的交点是O`。在地球上O`点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD，在地球上O1点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD，在地球上O2点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD。这四个星星在天球上面形成的球面正方形ABCD由两个球面三角形ABC,ADC组成。设直线AC和地球上的南北方向所在的直线平行，设直线BD和地球上的东西方向所在的直线平行，如下图2所示
在上图3中，根据尤拉球面三角形的定理，可知，
在球面三角形ABC中，设球面三角形的三个角分别是A1,B,C1,三条边分别为BC=a1,AC=b,AB=c1，∠BOC=a1,∠AOB=c1,∠AOC=b,
cosb-cosa1cosc1
cosB=
sina1sinc1
cosb-cosa1cosc1
B=arccos()(1)
sina1sinc1
在上图4中，根据尤拉球面三角形的定理，可知,在球面三角形ADC中，设球面三角形的三个角分别是A2,D,C2,三条边分别为CD=a2,AC=d,AD=c2,∠AOD=c2,∠DOC=a2,∠AOC=d,
cosd-cosa2cosc2
cosD=
sina2sinc2
cosd-cosa2cosc2
D=arccos()(2)
sina2sinc2
在上图5中，根据尤拉球面三角形的定理，可知,
在球面三角形ABD中，设球面三角形的三个角分别是A,B1,D1,三条边分别为BD=a,AD=b1,AB=d1,∠BOD=a,∠AOD=b1,∠AOB=d1,
cosa-cosb1cosd1
cosA=
sinb1sind1
cosa-cosb1cosd1
A=arccos()(3)
sinb1sind1
在上图6中，根据尤拉球面三角形的定理，可知，
在球面三角形BCD中，设球面三角形的三个角分别是B2,C,D2,三条边分别为DC=b2,BD=c,BC=d2，∠DOC=b2,∠BOD=c,∠BOC=d2,
cosc-cosb2cosd2
cosC=
sinb2sind2
cosc-cosb2cosd2
C=arccos()(4)
sinb2sind2
在上图7中，在球面四边形ABCD中,
∠AOB=c1,∠BOC=a1,∠DOC=a2,∠AOD=c2,
∠AOB=d1,∠BOC=d2,∠DOC=b2,∠AOD=b1,
∠AOC=b,∠AOC=d,∠BOD=a,∠BOD=c,
上面的角度都可以在地面上通过六分仪测量得到,球面四边形的4各边分别是AB,BC,CD,DA,4个角分别是A,B,C,D,
AB=c1=d1,BC=a1=d2,CD=a2=b2,DA=c2=b1
因为,
cosb-cosa1cosc1
B=arccos()(1)
sina1sinc1
cosd-cosa2cosc2
D=arccos()(2)
sina2sinc2
cosa-cosb1cosd1
A=arccos()(3)
sinb1sind1
cosc-cosb2cosd2
C=arccos()(4)
sinb2sind2
所以,
cosb-cosa1cosc1
k1=arccos()
sina1sinc1
cosd-cosa2cosc2
k2=arccos()
sina2sinc2
cosa-cosb1cosd1
k3=arccos()
sinb1sind1
cosc-cosb2cosd2
k4=arccos()
sinb2sind2
如上图8所示，球面四边形ABCD由球面三角形ABC,ADC组成,
因为球面四边形每条边都相等，所以,
∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD,∠A=∠B=∠C=∠D=k,
因为,
cosb-cosa1cosc1
k1=arccos()
sina1sinc1
cosd-cosa2cosc2
k2=arccos()
sina2sinc2
cosa-cosb1cosd1
k3=arccos()
sinb1sind1
cosc-cosb2cosd2
k4=arccos()
sinb2sind2
所以,
cosb-cosa1cosc1
k=arccos()
sina1sinc1
cosd-cosa2cosc2
=arccos()
sina2sinc2
cosa-cosb1cosd1
=arccos()
sinb1sind1
cosc-cosb2cosd2
=arccos()
sinb2sind2
因为OP垂直于平面ABCD,P是正方形ABCD的中心，P,O`,O`在一条直线上,
所以，∠AO`B=∠BO`C=∠CO`D=∠AO`D,
.如图9所示,
在地球上从O`点开始沿南北方向AC向C点方向移动，到达M1点,得到，直线M1O`∥直线AC,设∠O`OM1=m1,地球的半径是r,得到,∠AM1B=∠AM1D=s1,∠CM1B=∠CM1D=s2,
根据球面三角形BCD的性质可知,
s1-s2m1
=
k42πr
2πr(s1-s2)
m1=
k4
设O`点的经度是j1,纬度是w1,设M1点的经度是j2,纬度是w2,
ji=j2,w2=w1+m1,
2πr(s1-s2)
w2=w1+
k4
如图10所示,
在地球上从O`点开始沿南北方向AC向A点方向移动，到达M2点,得到，直线M2O`∥直线AC,设∠O`OM2=m2,地球的半径是r,得到∠AM2B=∠AM2D=s3,∠CM2B=∠CM2D=s4,
根据球面三角形ABD的性质可知,
s3-s4m2
=
k32πr
2πr(s1-s2)
m2=
k3.
设O`点的经度是j1,纬度是w1,设M2点的经度是j3,纬度是w3,
ji=j2,
w3=w1+m2,
2πr(s3-s4)
w3=w1+
k3
如图11所示,在地球上从O`点开始沿东西方向BD向D点移动，到达N1点,得到，直线N1O`∥直线BD,设set∠O`ON1=n1,地球的半径是r,得到,∠AN1B=∠AN1D=h1,∠CN1B=∠CN1D=h2,根据球面三角形ADC的性质可知
h1-h2n1
=
k22πr
2πr(h1-h2)
n1=
k2.
设O`点的经度是j1,纬度是w1,设N1点的经度是j4,纬度是w4,j4=j1+n1,
2πr(h1-h2)
j4=j1+
k2.
w4=w1,
如图12所示,在地球上从O`点开始沿东西方向BD向B点移动，到达N2点,得到，直线N2O`∥直线BD,设∠O`ON2=n2,地球的半径是r,得到,∠AN2B=∠AN2D=h3,∠CN1B=∠CN1D=h4,根据球面三角形ABC的性质可知,
h3-h4n2
=
k12πr
2πr(h3-h4)
n2=
k1.
设O`点的经度是j1,纬度是w1,设N2点的经度是j5,纬度是w5,j5=j1+n2,
2πr(h3-h4)
j5=j1+
k1.
w5=w1,
例如在南半球南回归线附近观察南十字座的4颗星,南十字座的四颗星如下图13所示,
当AC朝向南北方向，CD朝向东西方向时在地球上的O`点观察4颗星星,也就是说当南十字座指向南天极时在地面观察这4颗星星,这4颗星星在天球上面组成了一个球面四边形ABCD，如下图14所示,
在地面O`点观察这4颗星星，O是地球的球心,在上图14中，在球面四边形ABCD中,
∠AOB=c1,∠BOC=a1,∠DOC=a2,∠AOD=c2,
∠AOB=d1,∠BOC=d2,∠DOC=b2,∠AOD=b1,
∠AOC=b,∠AOC=d,∠BOD=a,∠BOD=c,
上面的角度都可以在地面上通过六分仪测量得到,
球面四边形的4各边分别是AB,BC,CD,DA,4个角分别是A,B,C,D
AB=c1=d1,BC=a1=d2,CD=a2=b2,DA=c2=b1
cosb-cosa1cosc1
B=arccos()(1)
sina1sinc1
cosd-cosa2cosc2
D=arccos()(2)
sina2sinc2
cosa-cosb1cosd1
A=arccos()(3)
sinb1sind1
cosc-cosb2cosd2
C=arccos()(4)
sinb2sind2
所以,
cosb-cosa1cosc1
k1=arccos()
sina1sinc1
cosd-cosa2cosc2
k2=arccos()
sina2sinc2
cosa-cosb1cosd1
k3=arccos()
sinb1sind1
cosc-cosb2cosd2
k4=arccos()
sinb2sind2
如上图15所示，在地球上G点观察星星，设O`点的经纬度已知，经度是j1,纬度是w1，O`，G两点在相同时间同时观察4颗星星,设G点的经纬度未知，经度是j6,纬度是w6，
∠AGB=s1,∠CGB=s2,
∠AGD=s3,∠CGD=s4,
∠AGB=h1,∠CGB=h2,
∠AGD=h3,∠CGD=h4,
根据上面的证明，我们有,
2πr(h1-h2)2πr(h3-h4)
+
k2k1
j6=j1+
2
πr(h1-h2)πr(h3-h4)
j6=j1++
k2k1
2πr(s1-s2)2πr(s3-s4)
-
k4k3
w6=w1+
2
πr(s1-s2)πr(s3-s4)
w6=w1+-
k4k3
或者,
2πr[(h1-h2)+(h3-h4)]
j6=j1+
k2+k1
2
4πr[(h1-h2)+(h3-h4)]
j6=j1+
k2+k1
2πr[(s1-s2)+(s3-s4)]
w6=w1+
k4+k3
2
4πr[(s1-s2)+(s3-s4)]
w6=w1+
k4+k3
通过上面的公式我们就利用O`点的经纬度，星星和观察者之间的夹角就计算得到未知点的经纬度.
推导过程可见《三角学专门教程下册》C.И诺屋塞洛夫著1986年版,
由于星星距离地球很远，所以O1,O2,O3可以看成一点O,如图16所示，在O1点观察三个星星形成的球面三角形A1B1C1，以O为球心，设球面三角形A1B1C1的三条边分别为a1,b1,c1,三个角分别为A1,B1,C1,
注：尤拉球面三角形定理如下：
对于任何的球面三角形，有三面角与之对应。该三面角的顶点在球面的中心，而棱是连接球面中心至三角形顶点的半径，反之，对于任意的，顶点在球面中心的三面角，有球面三角形与之对应，它是三面角在球面上所截成的,如图5所示，互相对应的球面三角形和三面角的元素之间有下面的关系：
三角形的角A,B和C的大小是三面角的二面角的大小，而三角形的边a,b,c的大小是三面角的面角的大小。球面三角形（三面角）的元素间的关系可以解释为三面角（球面三角形）元素间的关系.如上图5所示：互相对应的球面三角形ABC和三面角A`B`C`有下面的关系,球面三角形ABC的三个角A,B,C的大小是三面角A`B`C`中二面角的大小,球面三角形ABC的三个角A,B,C的大小是三面角A`B`C`中二面角的大小,就是说,角A等于平面BOC和平面ABC的夹角，角B等于平面AOC和平面ABC的夹角，角C等于平面AOB和平面ABC的夹角，球面三角形ABC的三个边a,b,c的大小是三面角A`B`C`中面角的大小,∠BOC=a,∠AOC=b,∠AOB=c,同时，根据球面三角形边的余弦公式，我们有,
cosa-cosbcosc
cosA=
.sinbsinc
cosb-cosacosc
cosB=
.sinasinc
cosc-cosacosd
cosC=
.sinasinb
二.星座测量经纬度的方法
下面介绍一种利用地球上已知经纬度地点，在未知经纬度地点测量和星座的夹角，来计算改点经纬度的方法,如下图1所示，地球上的·A点,C点经纬度已知，A,B,C三点在地球球面上,A点纬度是a1，经度是a2，它的经纬度已知,B点纬度是b1，经度是b2，它的经纬度未知,C点纬度是c1，经度是c2，它的经纬度未知,在同一时间，在A,B两点同时观察星星,AB=L1,BC=L2,AC=L3,
如图2所示，以地球球心纬坐标轴原点，以0°经线作为X轴，以东经90°经线作为Y轴，地球的南北极连线作为Z轴，作坐标系,A,C是地球表面上的两个点，它们在平面XOY上的投影分别是A`,C`,A点在正交坐标系下的坐标是(x1,y1,z1),B点在正交坐标系下的坐标是(x2,y2,z2),C点在正交坐标系下的坐标是(x3,y3,z3),设地球的半径是r,作A`A1⊥OX,A`A2⊥OY,所以在直角三角形OA1A`中,∠A1OA`就是A点的经度值a2,即∠A1OA`=a2,所以,A1O=rcosa2,A2O=A1A`=rsina2,所以,
x1=rcosa2(1)
y1=rsina2(2)
所以在直角三角形OA`A中,∠AOA`就是A点的纬度值a1,即∠AOA`=a1,所以,AA`=rsina1,所以,
z1=rsina1(3)
这样就通过A点的经纬度计算出A点的坐标(x1,y1,z1),作C`C1⊥OX,C`C2⊥OY,所以在直角三角形OC1C`中,∠C1OC`就是C点的经度值c2,即∠C1OC`=c2,所以,C1O=rcosc2,C2O=C1C`=rsinc2,所以,
x3=rcosc2(4)
y3=rsinc2(5)
所以在直角三角形OC`C中,∠COC`就是C点的纬度值c1,即∠COC`=c1,所以,CC``=rsinc1,所以
z3=rsinc1(6)
这样就通过C点的经纬度计算出C点的坐标(x3,y3,z3),如下图3所示，在正交坐标系中，
设OC,OA,AC均为空间向量，记作,OC,OA,AC
由向量的减法性质可知
AC=OA-OC
设set
AC=x4i+y4j+z4k
所以,x4i+y4j+z4k=(x1i+y1j+z1k)-(x3i+y3j+z3k)
x4i+y4j+z4k=(x1-x4)i+(y1-y3)j+(z1-z3)k
所以,
x4=x1-x3,y4=y1-y3,z4=z1-z3,
因为AC是向量,所以,
222
｜AC｜=x4+y4+z4
222
｜AC｜=(x1-x3)+(y1-y3)+(z1-z3)
222
L3=(x1-x3)+(y1-y3)+(z1-z3)(7)
把(1),(2),(3),(4),(5),(6)代入(7)，得
222
L3=[(rcosa2)-(rcosc2)]-[(rsina2)-(rsinc2)]-[(rsina1)-(rsinc1)]
222
L3=r(cosa2-cosc2)-(sina2-sinc2)-(sina1-sinc1)(8)
如下图4所示，在球面上的两点A,C，可以看成一个圆上的两点A,C,
这个圆的半径就是球体的半径r即地球的半径r,O是圆的圆心，A,C是圆上的两点,在三角形AOC中，作OP⊥AC,设∠AOC=g,在直角三角形OPA中，∠AOP=g/2,AP=AC/2=L3/2,sin(g/2)=AP/OA,sin(g/2)=L3/2r,sin(g/2)=L3/2r,
222
sin(g/2)=(cosa2-cosc2)-(sina2-sinc2)-(sina1-sinc1)/2
222
g/2=arcsin[(cosa2-cosc2)-(sina2-sinc2)-(sina1-sinc1)/2]
222
g=2arcsin[(cosa2-cosc2)-(sina2-sinc2)-(sina1-sinc1)/2](8)
因为圆的周长是2πr,圆弧AC的弧长是,
AC=gr(9)
下面介绍利用地球上已知经纬度点，通过观测星星高度角，来计算未知经纬度点的方法,
如上图5所示,在地球上两点A经纬度已知，B点,C点经纬度未知，设C点也在地球表面，三角形ACB是直角三角形，∠ACB=90°,在地球上一点B和A点的距离AB=L1,在地球上一点C和A点的距离AC=L2,在地球上一点B和C点的距离BC=L3,在A点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α1，β1，γ1,高度角就是在该点垂直于地面的直线和星星到该点的连线的夹角,在B点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α2，β2，γ2,假设在C点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α3，β3，γ3,上面的α3，β3，γ3是未知量，需要计算才能得到,由于北斗星7颗星都是恒星，且距地球比较遥远，大概都在2000光年左右，所以可以近似的将北斗星看成在一个平面上，并可设这个平面和地球上3点连线组成的平面ABC平行,设北斗星中3颗星分别是D,E,F,做A`A垂直于地球表面，做B`B垂直于地球表面,做C`C垂直于地球表面,由于北斗星距离地球非常遥远，所以可以近似的认为,A`点是A点在平面DEF上面的投影，B`点是B点在平面DEF上面的投影，C`点是C点在平面DEF上面的投影，则有,平面ABC平行于平面A`B`C`,A`A≈B`B≈C`C=H,作AA`⊥DA`,作EE``⊥A`B`,作FF`⊥A`B`,作DD1⊥A`B`,作EE1⊥A`B`,作FF1⊥A`B`,则有,
∠A`AD=α1，∠A`AE=β1，∠A`AF=γ1，
∠B`BD=α2，∠B`BE=β2，∠B`BF=γ2，
∠C`CD=α3，∠C`CE=β3，∠C`CF=γ3，
在直角三角形AA`D中,A`D=AA`tgα1=Htgα1,AD=AA`/cosα1=H/cosα1,
在直角三角形AA`E中,A`E=AA`tgβ1=Htgβ1,AE=AA`/cosβ1=H/cosβ1,
在直角三角形AA`F中,A`F=AA`tgγ1=Htgγ1,AF=AA`/cosγ1=H/cosγ1,
在直角三角形BB`D中,B`D=BB`tgα2=Htgα2,BD=BB`/cosα2=H/cosα2,
在直角三角形BB`E中,B`E=BB`tgβ2=Htgβ2,BE=BB`/cosβ2=H/cosβ2,
在直角三角形BB`F中,B`F=BB`tgγ2=Htgγ2,BF=BB`/cosγ2=H/cosγ2,
在直角三角形CC`D中,C`D=CC`tgα3=Htgα3,CD=CC`/cosα3=H/cosα3,
在直角三角形CC`E中,C`E=CC`tgβ3=Htgβ3,CE=CC`/cosβ3=H/cosβ3,
在直角三角形CC`F中,C`F=CC`tgγ3=Htgγ3,CF=CC`/cosγ3=H/cosγ3,
在直角三角形A`D1D中,
222
(A`D)=(A`D1)+(DD1)
222
(Htgα1)=(A`D1)+(DD1)
222
(Htgα2)-(B`D1)=(DD1)
代入上式，得,
2222
(Htgα1)-(A`D1)=(Htgα2)-(B`D1)
2222
(Htgα1)-(Htgα2)=(A`D1)-(B`D1)
22
(Htgα1)-(Htgα2)=(A`D1+B`D1)(A`D1-B`D1)(10)
在直角三角形A`E1E中,
222
(A`E)=(A`E1)+(EE1)
222
(Htgβ1)=(A`E1)+(EE1)
222
(Htgβ1)-(A`E1)=(EE1)
在直角三角形B`E1E中,
222
(B`E)=(B`E1)+(EE1)
222
(Htgβ2)=(B`E1)+(EE1)
222
(Htgβ2)-(B`E1)=(EE1)
代入上式，得
2222
(Htgβ1)-(A`E1)=(Htgβ2)-(B`E1)
2222
(Htgβ1)-(Htgβ2)=(A`E1)-(B`E1)
22
(Htgβ1)-(Htgβ2)=(A`E1+B`E1)(A`E1-B`E1)(11)
在直角三角形A`F1F中,
222
(B`F)=(B`F1)+(FF1)
222
(Htgγ1)=(A`F1)+(FF1)
222
(Htgγ1)-(A`F1)=(FF1)
在直角三角形B`F1F中,
222
(B`F)=(B`F1)+(FF1)
222
(Htgγ2)=(B`F1)+(FF1)
222
(Htgγ2)-(B`F1)=(FF1)
代入上式，得,
2222
(Htgγ1)-(A`F1)=(Htgγ2)-(B`F1)
2222
(Htgγ1)-(Htgγ2)=(A`F1)-(B`F1)
22
(Htgγ1)-(Htgγ2)=(A`F1+B`F1)(A`F1-B`F1)(12)
因为A`,D1,E1,F1,B`在一条直线上,所以,
A`D1+B`D1=A`B`,A`E1+B`E1=A`B`,A`F1+B`F1=A`B`,
如上图6所示，作DD2⊥AB,作EE2⊥AB,作FF2⊥AB,则有,在直角三角形AD2D中,
222
(AD)=(AD2)+(DD2)
222
(H/cosα1)=(AD2)+(DD2)
222
(H/cosα1)-(AD2)=(DD2)
在直角三角形BD2D中,
222
(BD)=(BD2)+(DD2)
222
(H/cosα2)=(BD2)+(DD2)
222
(H/cosα2)-(BD2)=(DD2)
代入上式，得,
2222
(H/cosα1)-(AD2)=(H/cosα2)-(BD2)
2222
(H/cosα1)-(H/cosα2)=(AD2)-(BD2)
22
(H/cosα1)-(H/cosα2)=(AD2+BD2)(AD2-BD2)(13)
在直角三角形AE2E中,
222
(AE)=(AE2)+(EE2)
222
(H/cosβ1)=(AE2)+(EE2)
222
(H/cosβ1)-(AE2)=(EE2)
在直角三角形BE2E中,
222
(BE)=(BE2)+(EE2)
222
(H/cosβ2)=(BE2)+(EE2)
222
(H/cosβ2)-(BE2)=(EE2)
代入上式，得,
2222
(H/cosβ1)-(AE2)=(H/cosβ2)-(BE2)
2222
(H/cosβ1)-(H/cosβ2)=(AE2)-(BE2)
22
(H/cosβ1)-(H/cosβ2)=(AE2+BE2)(AE2-BE2)(14)
在直角三角形AF2F中,
222
(AF)=(AF2)+(FF2)
222
(H/cosγ1)=(AF2)+(FF2)
222
(H/cosγ1)-(AF2)=(FF2)
在直角三角形BF2F中,
222
(BF)=(BF2)+(FF2)
222
(H/cosγ2)=(BF2)+(FF2)
222
(H/cosγ2)-(BF2)=(FF2)
代入上式，得,
2222
(H/cosγ1)-(AF2)=(H/cosγ2)-(BF2)
2222
(H/cosγ1)-(H/cosγ2)=(AF2)-(BF2)
22
(H/cosγ1)-(H/cosγ2)=(AF2+BF2)(AF2-BF2)(15)
因为A,D2,E2,F2,B在一条直线上,所以,
AD2+BD2=AB,AE2+BE2=AB,AF2+BF2=AB
因为平面ABC平行于平面A`B`C`，A`A垂直于A`B`C`,B`B垂直于A`B`C`,C`C垂直于A`B`C`,所以,
AB=A`B`,BC=B`C`,AC=A`C`,平面EE1E2垂直于平面AA`B`B,因为,
A`D1+B`D1=A`B`,A`E1+B`E1=A`B`,A`F1+B`F1=A`B`,AD2+BD2=AB,AE2+BE2=AB,AF2+BF2=AB,
所以,A`D1+B`D1=AD2+BD2,A`E1+B`E1=AE2+BE2,A`F1+B`F1=AF2+BF2,A`D1-B`D1=AD2-BD2,A`E1-B`E1=AE2-BE2,A`F1-B`F1=AF2-BF2,因为,
22
(Htgα1)-(Htgα2)=(A`D1+B`D1)(A`D1-B`D1)(10)
22
(H/cosα1)-(H/cosα2)=(AD2+BD2)(AD2-BD2)(13)
所以,
A`D1=Htgα1,B`D1=Htgα2,AD2=H/cosα1,BD2=H/cosα2,
A`B`=Htgα1+Htgα2,AB=H/cosα1+H/cosα2,(30)
Htgα1+Htgα2=H/cosα1+H/cosα2,
因为,
22
(Htgβ1)-(Htgβ2)=(A`E1+B`E1)(A`E1-B`E1)(11)
22
(H/cosβ1)-(H/cosβ2)=(AE2+BE2)(AE2-BE2)(14)
所以,
A`E1=Htgβ1,B`E1=Htgβ2,AE2=H/cosβ1,BE2=H/cosβ2,
A`B`=Htgβ1+Htgβ2,AB=H/cosβ1+H/cosβ2,(31)
Htgβ1+Htgβ2=H/cosβ1+H/cosβ2,
因为,
22
(Htgγ1)-(Htgγ2)=(A`F1+B`F1)(A`F1-B`F1)(12)
22
(H/cosγ1)-(H/cosγ2)=(AF2+BF2)(AF2-BF2)(15)
所以,
A`F1=Htgγ1,B`F1=Htgγ2,AF2=H/cosγ1,BF2=H/cosγ2,
A`B`=Htgγ1+Htgγ2,AB=H/cosγ1+H/cosγ2,(32)
Htgγ1+Htgγ2=H/cosγ1+H/cosγ2,
如上图7所示，作DD3⊥A`C`,作EE3⊥A`C`,作FF3⊥A`C`,则有,在直角三角形A`D3D中,
222
(A`D)=(A`D3)+(DD3)
222
(Htgα1)=(A`D3)+(DD3)
222
(Htgα1)-(A`D3)=(DD3)
在直角三角形C`D3D中,
222
(C`D)=(C`D3)+(DD3)
222
(Htgα3)=(C`D3)+(DD3)
222
(Htgα3)-(C`D3)=(DD3)
代入上式，得,
222
(Htgα1)-(A`D3)=(Htgα3)-(C`D3)
222
(Htgα1)-(Htgα3)=(A`D3)-(C`D3)
22
(Htgα1)-(Htgα3)=(A`D3+C`D3)(A`D3-C`D3)(16)
在直角三角形A`E3E中,
222
(A`E)=(A`E3)+(EE3)
222
(Htgβ1)=(A`E3)+(EE3)
222
(Htgβ1)-(A`E3)=(EE3)
在直角三角形C`E3E中,
222
(C`E)=(C`E3)+(EE3)
222
(Htgβ3)=(C`E3)+(EE3)
222
(Htgβ3)-(C`E3)=(EE3)
代入上式，得
2222
(Htgβ1)-(A`E3)=(Htgβ3)-(C`E3)
2222
(Htgβ1)-(Htgβ3)=(A`E3)-(C`E3)
22
(Htgβ1)-(Htgβ3)=(A`E3+C`E3)(A`E3-C`E3)(17)
在直角三角形A`F3F中,
222
(A`F)=(A`F3)+(FF3)
222
(Htgγ1)=(A`F3)+(FF3)
222
(Htgγ1)-(A`F3)=(FF3)
在直角三角形C`F3F中,
222
(C`F)=(C`F3)+(FF3)
222
(Htgγ3)=(C`F3)+(FF3)
222
(Htgγ3)-(C`F3)=(FF3)
代入上式，得,
2222
(Htgγ1)-(A`F3)=(Htgγ3)-(C`F3)
2222
(Htgγ1)-(Htgγ3)=(A`F3)-(C`F3)
22
(Htgγ1)-(Htgγ3)=(A`F3+C`F3)(A`F1-C`F3)(18)
因为A`,D3,E3,F3,C`在一条直线上,所以,
A`D3+C`D3=A`C`,A`E3+C`E3=A`C`,A`F3+C`F3=A`C`,
如上图8所示，作DD4⊥AC,作EE4⊥AC,作FF4⊥AC,则有,在直角三角形AD4D中,
222
(AD)=(AD4)+(DD4)
222
(H/cosα1)=(AD4)+(DD4)
222
(H/cosα1)-(AD4)=(DD4)
在直角三角形CD4D中,
222
(CD)=(CD4)+(DD4)
222
(H/cosα3)=(CD4)+(DD4)
222
(H/cosα3)-(CD4)=(DD4)
代入上式，得
2222
(H/cosα1)-(AD4)=(H/cosα3)-(CD4)
2222
(H/cosα1)-(H/cosα3)=(AD4)-(CD4)
22
(H/cosα1)-(H/cosα3)=(AD4+BD4)(AD4-BD4)(19)
在直角三角形AE4E中,
222
(AE)=(AE4)+(EE4)
222
(H/cosβ1)=(AE4)+(EE4)
222
(H/cosβ1)-(AE4)=(EE4)
在直角三角形CE4E中,
222
(CE)=(CE4)+(EE4)
222
(H/cosβ3)=(CE4)+(EE4)
222
(H/cosβ3)-(CE4)=(EE4)
代入上式，得
2222
(H/cosβ1)-(AE4)=(H/cosβ3)-(CE4)
2222
(H/cosβ1)-(H/cosβ3)=(AE4)-(CE4)
22
(H/cosβ1)-(H/cosβ3)=(AE4+CE4)(AE4-CE4)(20)
在直角三角形AF4F中,
222
(AF)=(AF4)+(FF4)
222
(H/cosγ1)=(AF4)+(FF4)
222
(H/cosγ1)-(AF4)=(FF4)
在直角三角形CF4F中,
222
(CF)=(CF4)+(FF4)
222
(H/cosγ3)=(CF4)+(FF4)
222
(H/cosγ3)-(CF4)=(FF4)
代入上式，得,
2222
(H/cosγ1)-(AF4)=(H/cosγ3)-(CF4)
2222
(H/cosγ1)-(H/cosγ3)=(AF4)-(CF4)
22
(H/cosγ1)-(H/cosγ3)=(AF4+CF4)(AF4-CF4)(21)
因为A,D4,E4,F4,C在一条直线上,所以,
AD4+CD4=AC,AE4+CE4=AC,AF4+CF4=AC,
因为平面ABC平行于平面A`B`C`，A`A垂直于A`B`C`,B`B垂直于A`B`C`,C`C垂直于A`B`C`,所以,
AB=A`B`,BC=B`C`,AC=A`C`,平面EE1E2垂直于平面AA`B`B,因为,
A`D1+B`D1=A`B`,A`E1+B`E1=A`B`,A`F1+B`F1=A`B`,AD2+BD2=AB,AE2+BE2=AB,AF2+BF2=AB,
所以,A`D1+B`D1=AD2+BD2,A`E1+B`E1=AE2+BE2,A`F1+B`F1=AF2+BF2,A`D1-B`D1=AD2-BD2,A`E1-B`E1=AE2-BE2,A`F1-B`F1=AF2-BF2,
因为,
22
(Htgα1)-(Htgα3)=(A`D3+C`D3)(A`D3-C`D3)(16)
22
(H/cosα1)-(H/cosα3)=(AD4+BD4)(AD4-BD4)(19)
所以,A`D3=Htgα1,C`D3=Htgα3,AD4=H/cosα1,BD4=H/cosα3,
A`C`=Htgα1+Htgα3,AC=H/cosα1+H/cosα3,(33)
Htgα1+Htgα3=H/cosα1+H/cosα3
因为,
22
(Htgβ1)-(Htgβ3)=(A`E3+C`E3)(A`E3-C`E3)(17)
22
(H/cosβ1)-(H/cosβ3)=(AE4+CE4)(AE4-CE4)(20)
所以,
A`E3=Htgβ1,C`E3=Htgβ3,AE4=H/cosβ1,CE4=H/cosβ3,
A`C`=Htgβ1+Htgβ3,AC=H/cosβ1+H/cosβ3,(34)
Htgβ1+Htgβ3=H/cosβ1+H/cosβ3,
因为,
22
(Htgγ1)-(Htgγ3)=(A`F3+C`F3)(A`F1-C`F3)(18)
22
(H/cosγ1)-(H/cosγ3)=(AF4+CF4)(AF4-CF4)(21)
所以,A`F3=Htgγ1,C`F3=Htgγ3,AF4=H/cosγ1,CF4=H/cosγ3,
A`C`=Htgγ1+Htgγ3,AC=H/cosγ1+H/cosγ3,(35)
Htgγ1+Htgγ3=H/cosγ1+H/cosγ3,
如上图9所示，作DD5⊥B`C`,作EE5⊥B`C`,作FF5⊥B`C`,则有,在直角三角形B`D5D中,
222
(B`D)=(B`D5)+(DD5)
222
(Htgα2)=(B`D5)+(DD5)
222
(Htgα2)-(B`D5)=(DD5)
在直角三角形C`D5D中,
222
(C`D)=(C`D5)+(DD5)
222
(Htgα3)=(C`D5)+(DD5)
222
(Htgα3)-(C`D5)=(DD5)
代入上式，得
2222
(Htgα2)-(B`D5)=(Htgα3)-(C`D5)
2222
(Htgα2)-(Htgα3)=(B`D5)-(C`D5)
22
(Htgα2)-(Htgα3)=(B`D5+C`D5)(B`D5-C`D5)(22)
在直角三角形B`E5E中,
222
(B`E)=(B`E5)+(EE5)
222
(Htgβ2)=(B`E5)+(EE5)
222
(Htgβ2)-(B`E5)=(EE5)
在直角三角形C`E5E中,
222
(C`E)=(C`E5)+(EE5)
222
(Htgβ3)=(C`E5)+(EE5)
222
(Htgβ3)-(C`E5)=(EE5)
代入上式，得
2222
(Htgβ2)-(B`E5)=(Htgβ3)-(C`E5)
2222
(Htgβ2)-(Htgβ3)=(B`E5)-(C`E5)
22
(Htgβ2)-(Htgβ3)=(B`E5+C`E5)(B`E5-C`E5)(23)
在直角三角形B`F5F中,
222
(B`F)=(B`F5)+(FF5)
222
(Htgγ2)=(B`F5)+(FF5)
222
(Htgγ2)-(B`F5)=(FF5)
在直角三角形C`F5F中,
222
(C`F)=(C`F5)+(FF5)
222
(Htgγ3)=(C`F5)+(FF5)
222
(Htgγ3)-(C`F5)=(FF5)
代入上式，得
2222
(Htgγ2)-(B`F5)=(Htgγ3)-(C`F5)
2222
(Htgγ2)-(Htgγ3)=(B`F5)-(C`F5)
22
(Htgγ2)-(Htgγ3)=(B`F5+C`F5)(B`F5-C`F5)(24)
因为B`,D5,E5,F5,C`在一条直线上,所以,
B`D5+C`D5=B`C`,B`E5+C`E5=B`C`,B`F5+C`F5=B`C`,
作DD6⊥BC,作EE6⊥BC,作FF6⊥BC,则有,在直角三角形BD6D中,
222
(BD)=(BD6)+(DD6)
222
(H/cosα2)=(BD6)+(DD6)
222
(H/cosα2)-(BD6)=(DD6)
在直角三角形CD6D中,
222
(CD)=(CD6)+(DD6)
222
(H/cosα3)=(CD6)+(DD6)
222
(H/cosα3)-(CD6)=(DD6)
代入上式，得
2222
(H/cosα2)-(BD6)=(H/cosα3)-(CD6)
2222
(H/cosα2)-(H/cosα3)=(BD6)-(CD6)
22
(H/cosα2)-(H/cosα3)=(AD6+BD6)(AD6-BD6)(25)
在直角三角形BE6E中,
222
(BE)=(BE6)+(EE6)
222
(H/cosβ2)=(BE6)+(EE6)
222
(H/cosβ2)-(BE6)=(EE6)
在直角三角形CE6E中,
222
(CE)=(CE6)+(CE6)
222
(H/cosβ3)=(CE6)+(EE6)
222
(H/cosβ3)-(CE6)=(EE6)
代入上式，得
2222
(H/cosβ2)-(BE6)=(H/cosβ3)-(CE6)
2222
(H/cosβ2)-(H/cosβ3)=(BE6)-(CE6)
22
(H/cosβ2)-(H/cosβ3)=(BE6+CE6)(BE6-CE6)(26)
在直角三角形BF6F中,
222
(BF)=(BF6)+(FF6)
222
(H/cosγ2)=(BF6)+(FF6)
222
(H/cosγ2)-(BF6)=(FF6)
在直角三角形CF6F中,
222
(CF)=(CF6)+(FF6)
222
(H/cosγ3)=(CF6)+(FF6)
222
(H/cosγ3)-(CF6)=(FF6)
代入上式，得
2222
(H/cosγ2)-(BF6)=(H/cosγ3)-(CF6)
2222
(H/cosγ2)-(H/cosγ3)=(BF6)-(CF6)
22
(H/cosγ2)-(H/cosγ3)=(BF6+CF6)(BF6-CF6)(27)
因为B,D6,E6,F6,C在一条直线上,所以,
BD6+CD6=BC,BE6+CE6=BC,BF6+CF6=BC,
因为平面ABC平行于平面A`B`C`，A`A垂直于A`B`C`,B`B垂直于A`B`C`,C`C垂直于A`B`C`,所以,
AB=A`B`,BC=B`C`,AC=A`C`,
平面EE1E2垂直于平面AA`B`B,因为,
A`D1+B`D1=A`B`,A`E1+B`E1=A`B`,A`F1+B`F1=A`B`,AD2+BD2=AB,AE2+BE2=AB,AF2+BF2=AB,
所以,A`D1+B`D1=AD2+BD2,A`E1+B`E1=AE2+BE2,A`F1+B`F1=AF2+BF2,A`D1-B`D1=AD2-BD2,A`E1-B`E1=AE2-BE2,A`F1-B`F1=AF2-BF2,
因为,
22
(Htgα2)-(Htgα3)=(B`D5+C`D5)(B`D5-C`D5)(22)
22
(H/cosα2)-(H/cosα3)=(AD6+BD6)(AD6-BD6)(25)
所以,B`D5=Htgα2,C`D5=Htgα3,AD6=H/cosα2,BD6=H/cosα3,
B`C`=Htgα2+Htgα3,BC=H/cosα2+H/cosα3,(36)
Htgα2+Htgα3=H/cosα2+H/cosα3,
因为,
22
(Htgβ2)-(Htgβ3)=(B`E5+C`E5)(B`E5-C`E5)(23)
22
(H/cosβ2)-(H/cosβ3)=(BE6+CE6)(BE6-CE6)(26)
所以,B`E5=Htgβ2,C`E5=Htgβ3,BE6=H/cosβ2,CE6=H/cosβ3,
B`C`=Htgβ2+Htgβ3,BC=H/cosβ2+H/cosβ3,(37)
Htgβ2+Htgβ3=H/cosβ2+H/cosβ3,
因为,
22
(Htgγ2)-(Htgγ3)=(B`F5+C`F5)(B`F5-C`F5)(24)
22
(H/cosγ2)-(H/cosγ3)=(BF6+CF6)(BF6-CF6)(27)
所以,
B`F5=Htgγ2,C`F5=Htgγ3,BF6=H/cosγ2,CF6=H/cosγ3,
B`C`=Htgγ2+Htgγ3,BC=H/cosγ2+H/cosγ3,(38)
Htgγ2+Htgγ3=H/cosγ2+H/cosγ3,
因为平面ABC平行于平面A`B`C`，A`A垂直于A`B`C`,B`B垂直于A`B`C`,C`C垂直于A`B`C`,所以,
AB=A`B`,BC=B`C`,AC=A`C`,
因为三角形ABC是直角三角形，角ACB是直角,
222
AB=AC+BC
因为三角形A`B`C是直角三角形，角A`C`B`是直角,
222
A`B`=A`C`+B`C`
设AB=x,AC=y,BC=z,AB=A`B`=x,AC=A`C`=y,BC=B`C`=z,
222
x=y+z
因为,
A`B`=Htgα1+Htgα2,AB=H/cosα1+H/cosα2,(30)
x=Htgα1+Htgα2,x=H/cosα1+H/cosα2,
A`B`=Htgβ1+Htgβ2,AB=H/cosβ1+H/cosβ2,(31)
x=Htgβ1+Htgβ2,x=H/cosβ1+H/cosβ2,
A`B`=Htgγ1+Htgγ2,AB=H/cosγ1+H/cosγ2,(32)
x=Htgγ1+Htgγ2,x=H/cosγ1+H/cosγ2,
A`C`=Htgα1+Htgα3,AC=H/cosα1+H/cosα3,(33)
y=Htgα1+Htgα3,y=H/cosα1+H/cosα3,
A`C`=Htgβ1+Htgβ3,AC=H/cosβ1+H/cosβ3,(34)
y=Htgβ1+Htgβ3,y=H/cosβ1+H/cosβ3,
A`C`=Htgγ1+Htgγ3,AC=H/cosγ1+H/cosγ3,(35)
y=Htgγ1+Htgγ3,y=H/cosγ1+H/cosγ3,
B`C`=Htgα2+Htgα3,BC=H/cosα2+H/cosα3,(36)
z=Htgα2+Htgα3,z=H/cosα2+H/cosα3,
B`C`=Htgβ2+Htgβ3,BC=H/cosβ2+H/cosβ3,(37)
z=Htgβ2+Htgβ3,z=H/cosβ2+H/cosβ3,
B`C`=Htgγ2+Htgγ3,BC=H/cosγ2+H/cosγ3,(38)
z=Htgγ2+Htgγ3,z=H/cosγ2+H/cosγ3,
因为,x=Htgα1+Htgα2,y=Htgα1+Htgα3,z=Htgα2+Htgα3,
所以,
222
(Htgα1+Htgα2)=(Htgα1+Htgα3)+(Htgα2+Htgα3)
222
(tgα1+tgα2)=(tgα1+tgα3)+(tgα2+tgα3)
222222
tgα1+2tgα1tgα2+tgα2=tgα1+2tgα1tgα3+tgα3+tgα2+2tgα2tgα3+tgα3
2
tgα1tgα2=tgα1tgα3+tgα3+tgα2tgα3
2
tgα3+(tgα1+tgα2)tgα3-tgα1tgα2=0
根据一元二次方程的求根公式可知,
一元二次方程的求根公式是
2
-b±b-4ac
2a
所以,
2
-(tgα1+tgα2)±(tgα1+tgα2)+4tgα1tgα2
tgα3=
2
因为,x=H/cosα1+H/cosα2,y=H/cosα1+H/cosα3,z=H/cosα2+H/cosα3,
222
(H/cosα1+H/cosα2)=(H/cosα1+H/cosα3)+(H/cosα2+H/cosα3)
222
(1/cosα1+1/cosα2)=(1/cosα1+1/cosα3)+(1/cosα2+1/cosα3)
22
(1/cosα1)+2(1/cosα1)(1/cosα2)+(1/cosα2)
222 2
=(1/cosα1)+2(1/cosα1)(1/cosα3)+(1/cosα3)+(1/cosα2)+2(1/cosα2)(1/cosα3)+(1/cosα3)
2
(1/cosα1)(1/cosα2)=(1/cosα1)(1/cosα3)+(1/cosα3)+(1/cosα2)(1/cosα3)
2
(1/cosα3)+[(1/cosα1)+(1/cosα2)](1/cosα3)-(1/cosα1)(1/cosα2)=0
根据一元二次方程的求根公式可知,
2
-[(1/cosα1)+(1/cosα2)]±[(1/cosα1)+(1/cosα2)]+4(1/cosα1)(1/cosα2)
1/cosα3=
2
2
cosα3=
2
-[(1/cosα1)+(1/cosα2)]±[(1/cosα1)+(1/cosα2)]+4(1/cosα1)(1/cosα2)
同理可证：
2
-(tgβ1+tgβ2)±(tgβ1+tgβ2)+4tgβ1tgβ2
tgβ3=
2
2
cosβ3=
2
-[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]±[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]+4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
2
-(tgγ1+tgγ2)±(tgγ1+tgγ2)+4tgγ1tgγ2
tgγ3=
2
2
cosγ3=
2
-[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]±[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]+4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
因为A点经纬度已知，星星的角度已知，B点经纬度未知，与星星的高度角已知,C点经纬度未知，和星星的高度角，可有上面的公式求得,ABC三点在同一时间观察星星，它们都在地球表面,设地球的半径是r,因为,
x=Htgα1+Htgα2,x=H/cosα1+H/cosα2,x=Htgβ1+Htgβ2,x=H/cosβ1+H/cosβ2,x=Htgγ1+Htgγ2,x=H/cosγ1+H/cosγ2,所以,
x≈rtgα1+rtgα2,x≈r/cosα1+r/cosα2,x≈rtgβ1+rtgβ2,x≈r/cosβ1+r/cosβ2,,x≈rtgγ1+rtgγ2,x≈r/cosγ1+r/cosγ2,
因为,y=Htgα1+Htgα3,y=H/cosα1+H/cosα3,y=Htgβ1+Htgβ3,y=H/cosβ1+H/cosβ3,y=Htgγ1+Htgγ3,y=H/cosγ1+H/cosγ3,所以,
y≈rtgα1+rtgα3,
2
-(tgα1+tgα2)±(tgα1+tgα2)+4tgα1tgα2]
y≈rtgα1+r[
2
y≈r/cosα1+r/cosα3,
2
-[(1/cosα1)+(1/cosα2)]±[(1/cosα1)+(1/cosα2)]+4(1/cosα1)(1/cosα2)
y≈r/cosα1+r[]
2
y≈rtgβ1+rtgβ3,
2
-(tgβ1+tgβ2)±(tgβ1+tgβ2)+4tgβ1tgβ2]
y≈rtgβ1+r[
2
y≈r/cosβ1+r/cosβ3,
2
-[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]±[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]+4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
y≈r/cosβ1+r[]
2
y≈rtgγ1+rtgγ3,
2
-(tgγ1+tgγ2)±(tgγ1+tgγ2)+4tgγ1tgγ2
y≈rtgγ1+r[]
2
y≈r/cosγ1+r/cosγ3,
2
-[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]±[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]+4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
y≈r/cosγ1+r[]
2
上面的公式通过测量A,B两点和星星的高度角，就会得到AC两点的距离,
因为,z=Htgα2+Htgα3,z=H/cosα2+H/cosα3,z=Htgβ2+Htgβ3,z=H/cosβ2+H/cosβ3,z=Htgγ2+Htgγ3,z=H/cosγ2+H/cosγ3,
所以,z≈rtgα2+rtgα3,
2
-(tgα1+tgα2)±(tgα1+tgα2)+4tgα1tgα2
z≈rtgα2+r[]
2
z≈r/cosα2+r/cosα3,
2
-[(1/cosα1)+(1/cosα2)]±[(1/cosα1)+(1/cosα2)]+4(1/cosα1)(1/cosα2)
z≈r/cosα2+r[]
2
z≈rtgβ2+rtgβ3,
2
-(tgβ1+tgβ2)±(tgβ1+tgβ2)+4tgβ1tgβ2
z≈rtgβ2+r[]
2
z≈r/cosβ2+r/cosβ3,
2
-[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]±[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]+4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
z≈r/cosβ2+r[]
2
z≈rtgγ2+rtgγ3,
2
-(tgγ1+tgγ2)±(tgγ1+tgγ2)+4tgγ1tgγ2
z≈rtgγ2+r[]
2
z≈r/cosγ2+r/cosγ3,
2
-[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]±[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]+4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
z≈r/cosγ2+r[]
2
上面的公式通过测量A,B两点和星星的高度角，就会得到BC两点的距离,在得到x,y,z的值，就想当得到直角三角形ACB三个边的值,
如上图11所示，在球面上三点A,B,C是直角三角形时，A点经纬度已知，三角形三边边长已知，B点的纬度等于A点的纬度加上一个直角边对应的圆心角度,B点的经度等于A点的经度加上另一个直角边对应的圆心角度,
如上图12所示，设圆心角∠AOC=a,它对应的边长是AC,圆的半径就是地球的半径r,作OP⊥AC,在直角三角形APO中,sin(a/2)=AP/r,sin(a/2)=AC/2r,a/2=arcsin(AC/2r),a=2arcsin(AC/2r),因为,AC=y,
2
-(tgα1+tgα2)±(tgα1+tgα2)+4tgα1tgα2
y≈rtgα1+r[]
2
a=2arcsin(AC/2r),
2
-(tgα1+tgα2)±(tgα1+tgα2)+4tgα1tgα2
a≈2arcsin[tgα1/2+]
4
同理可证,因为,
2
-[(1/cosα1)+(1/cosα2)]±[(1/cosα1)+(1/cosα2)]+4(1/cosα1)(1/cosα2)
y≈r/cosα1+r[]
2
所以,
2
-[(1/cosα1)+(1/cosα2)]±[(1/cosα1)+(1/cosα2)]+4(1/cosα1)(1/cosα2)
a≈2arcsin[1/2cosα1+]
4
因为,
2
-(tgβ1+tgβ2)±(tgβ1+tgβ2)+4tgβ1tgβ2
y≈rtgβ1+r[]
2
所以,
2
-(tgβ1+tgβ2)±(tgβ1+tgβ2)+4tgβ1tgβ2
a≈2arcsin[tgβ1/2+]
4
因为,
2
-[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]±[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]+4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
y≈r/cosβ1+r[]
4
所以,
2
-[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]±[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]+4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
a≈2arcsin[1/2cosβ1+]
4
因为,
2
-(tgγ1+tgγ2)±(tgγ1+tgγ2)+4tgγ1tgγ2
y≈rtgγ1+r[]
2
所以,
2
-(tgγ1+tgγ2)±(tgγ1+tgγ2)+4tgγ1tgγ2
a≈2arcsin[tgγ1/2+]
2
因为,
2
-[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]±[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]+4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
y≈r/cosγ1+r[]
4
所以,
2
-[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]±[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]+4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
a≈2arcsin[1/2cosγ1+]
4
如上图13所示，设圆心角∠BOC=b,它对应的边长是BC,圆的半径就是地球的半径r,作OQ⊥BC,在直角三角形BPO中,sin(b/2)=BQ/r,sin(b/2)=BC/2r,b/2=arcsin(BC/2r),b=2arcsin(BC/2r),
因为,BC=z,因为,
2
-(tgα1+tgα2)±(tgα1+tgα2)+4tgα1tgα2
z≈rtgα2+r[]
2
所以,
2
-(tgα1+tgα2)±(tgα1+tgα2)+4tgα1tgα2
b=2arcsin[tgα2/2+]
4
因为,
2
-[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]±[(1/cosα1)+(1/cosα2)]+4(1/cosα1)(1/cosα2)
z≈r/cosα2+r[]
4
所以,
2
-[(1/cosα1)+(1/cosα2)]±[(1/cosα1)+(1/cosα2)]+4(1/cosα1)(1/cosα2)
b≈2arcsin[1/2cosα2+]
4
因为,
2
-(tgβ1+tgβ2)±(tgβ1+tgβ2)+4tgβ1tgβ2
z≈rtgβ2+r[]
2
所以,
2
-(tgβ1+tgβ2)±(tgβ1+tgβ2)+4tgβ1tgβ2
b≈2arcsin[tgβ2/2+]
4
因为,
2
-[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]±[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]+4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
z≈r/cosβ2+r[]
2
所以,
2
-[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]±[(1/cosβ1)+(1/cosβ2)]+4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
b≈2arcsin[1/2cosβ2+]
4
因为,
2
-(tgγ1+tgγ2)±(tgγ1+tgγ2)+4tgγ1tgγ2
z≈rtgγ2+r[]
2
所以,
2
-(tgγ1+tgγ2)±(tgγ1+tgγ2)+4tgγ1tgγ2
b=2arcsin[tgγ2/2+]
4
因为,
2
-[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]±[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]+4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
z≈r/cosγ2+r[]
2
所以,
2
-[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]±[(1/cosγ1)+(1/cosγ2)]+4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
b≈2arcsin[1/2cosγ2+]
4
假设测量得到A点的经纬度是(w,s)，通过计算得到，B点的经度是w+a,B点的纬度是s+b,也可以将上面的3个星星，换成3个电视信号源,把信号源放在地球表面A`,B`,C`，在高空中飞机上的A,B两点用3台电视机接收信号,
测量3台电视接收3个信号的最佳角度，就是高度角α1，α2，α3，β1，β2，β3，和上面一样假设一个C点，使得三角形ACB是直角三角形，∠ACB=90°,同时平面ACB∥平面A`C`B`,C点和信号源的高度角为γ1,γ2,γ3,利用上面的公式通过A点的经纬度就可以计算出B点的经纬度,
三.弧度计算三角函数公式
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
推导过程可见《三角学专门教程上册》C.И诺屋塞洛夫著1956年版,
推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著代数与初等函数，1954年版
用弧度计算三角函数值，利用下面的公式计算三角函数值，
1n-133n-355n-5
sinnα=Csinαcosα-Csinαcosα+Csinαcosα-...
nnn
n22n-244n-466n-6
cosnα=cosα-Csinαcosα+Csinαcosα-Csinαcosα-...
nnn
1n-133n-355n-5
Csinαcosα-Csinαcosα+Csinαcosα-...
nnn
tgnα=
n22n-244n-466n-6
cosα-Csinαcosα+Csinαcosα-Csinαcosα-...
nnn
n22n-244n-466n-6
cosα-Csinαcosα+Csinαcosα-Csinαcosα-...
nnn
ctgnα=
1n-133n-355n-5
Csinαcosα-Csinαcosα+Csinαcosα-...
nnn
例如计算sin57°,因为because,
π
sin3°=sin=sin18°cos15°-cos18°sin15°=
60
√5-1√6+√210+2√5√6-√2
=(-()
4444
1
=[(√5-1)(√6+√2)-10+2√5(√6+√2)
16
≈0.05234
同样，Again,
1
cos3°=[10+2√5(√6+√2)+(√5-1)(√6-√2)]
16
≈0.99863
tg3°≈0.05234/0.99863≈0.524118,
ctg3°≈0.99863/0.05234≈19.0796,
因为because,57/3=19,
所以so,n=19,
11833165514
sin57°=sin193=Csin3cos3-Csin3cos3+Csin3cos3-...
191919
因为becuase
π
sin3°=sin=sin18°cos15°-cos18°sin15°=
60
√5-1√6+√210+2√5√6-√2
=(-()
4444
1
=[(√5-1)(√6+√2)-10+2√5(√6+√2)
16
≈0.05234
同样，Again,
1
cos3°=[10+2√5(√6+√2)+(√5-1)(√6-√2)]
16
≈0.99863
tg3°≈0.05234/0.99863≈0.524118,
ctg3°≈0.99863/0.05234≈19.0796,
因为because,57/3=19,
所以so,n=19,
11833165514
sin57°=sin193=Csin3°cos3°-Csin3°cos3°+Csin3°cos3°-...
191919
1922174441566
cos57°=cos193=cos3°-Csin3°cos3°+Csin3°cos3°-Csin3°cos3°-...
191919
11833165514
Csin3°cos3°-Csin3°cos3°+Csin3°cos3°-...
191919
tg57°=
1922174441566
cos3°-Csin3°cos3°+Csin3°cos3°-Csin3°cos3°-...
191919
1922174441566
cos3°-Csin3°cos3°+Csin3°cos3°-Csin3°cos3°-...
191919
ctg57°=
11833165514
Csin3°cos3°-Csin3°cos3°+Csin3°cos3°-...
191919
排列组合计算公式
mn
C=C
nm
mmm-1
C=C+C
n+1nn
m
Pn(n-1)(n-2)...(n-m+1)n!
mn
C===
n+1m
Pm!m!(n-m)!
m四.计算三角函数的公式
1.计算sinx
如果B>3,
那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°),
如果B≤3,
那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°),
例如,
sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°,
sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°,
sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°,
如果B>3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°),
如果B≤3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°),
例如,
cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°,
cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°,
cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°,
详细内容可见《中学数学用表》，
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数,
假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V,假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V,归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等,
计算sinx的电路
2.用电压比较器计算sinx的电路。
计算三角函数的公式，详细内容可见中学数学用表
下面这些公式可以从正弦三角函数表，余弦三角函数表，通过数学归纳法推测出来
如果B>3,
那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°),
如果B≤3,
那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°),
例如,
sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°,
sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°,
sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°,
如果B>3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°),
如果B≤3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°),
例如,
cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°,
cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°,
cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°,
sinAB可以近似等于是sinA0和sin(B-3)的和，
cosAB可以近似等于是cosA0和cos(90-B+3)的和，
这一点可以从正弦表，余正弦表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》，
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数，假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V，假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V，其它弧度值和上面类似，假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V，假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V，归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等，下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值。
上面电路的原理如下
例如，计算sin57°,首先计算50°,然后计算sin4°，最后再将sin50°和sin4°相加就得到sin57°的值，下面举例说明计算57°的正弦值的电路结构，例如计算sin57°，首先用电压比较器电路和57相互比较，得到50，然后用57减去50，得到7，再用大小判别电路判别7是不是比3大，如果比3大，那么就用sin50加上7和3的差sin4，即namely，sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°，如果比3小，例如61，就用sin60减去1和3的差sin2，即namely，sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°，下面的电路是计算sin50°值，上面各选择电路和基准电压为40°的电路相同,介绍略，基准电压40的选择电路，
例如40°<57°，第一个电压比较器输出57°，它的两个输入端，一个是基准电压40°，一个是待测参数57°，因为40<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第二个电压比较器输出57，它的两个输入端，一个是基准电压40，一个是刚才输出的电压57，因为40<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第三个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的57°，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压57°，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第一个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，第二个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，
基准电压50的选择电路，
.例如50°<57°
第一个电压比较器输出57°，它的两个输入端，一个是基准电压50，一个是待测参数57，因为50<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第二个电压比较器输出57°，第二个电压比较器输出57°，它的两个输入端，一个是基准电压50，一个是刚才输出的电压57，因为50<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第三个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的57°，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压57°，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第一个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，第二个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，基准电压60°的选择电路，
例如57°<60°
第一个电压比较器输出60°，它的两个输入端，一个是基准电压60，一个是待测参数57，因为60>57，所以电压比较器输出较大的电压输出60，第二个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压60，一个是刚才输出的电压60，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个电压比较器输出60，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的0，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压60，因为60>0，所以电压比较器输出较大的电压输出60，第一个开关电路器输出50，因为第三个电压比较器输出60，是高电平，开关管导通，所以开关电路输出基准电压50，第二个开关电路器输出50°的正弦值0.7660，因为第三个电压比较器输出50，是高电平，开关管导通，所以开关电路输出50°的正弦值0.7660，
基准电压70°的选择电路，
例如57°<70°
第一个电压比较器输出70°，它的两个输入端，一个是基准电压70，一个是待测参数57，，因为70>57，所以电压比较器输出较大的电压输出70，第二个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压70，一个是刚才输出的电压70，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个电压比较器出0，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的0，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压0，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第一个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，第二个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，下面各选择电路和基准电压为70°的电路相同，
上面电路的原理如下
下面的电路是选择判断电路，判断是否需要给待测三角函数的尾数7减去3
，
首先用57°减去50°，得到7°，再用判别电路判别7°是不是比3°大，如果大于3°，那么就用7°-3°，得4°，再用电路计算sin4°的值，最后再用加法电路将sin50°加上sin7°，即namely，sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°，
例如sin61°，
如果小于3°，那么就用3°-1°，得2°，再用电路计算sin2°的值，最后再用减法电路将sin60减去sin2°，即namely，sin61°≈sin60°-sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°，
例如，计算sin57°，
首先，在减法器A中用57°减去50°得到7°，然后，在减法器B中用7°减去3°得到4°，在电压比较器A中，用0°和4°相互比较，输出它们中的较大者4°，然后，在开关电路A中,因为4是高电平，所以开关管导通，电路输出7°，然后，在开关电路C中,，开关电路C的输入端接上面的高电平1和sin50计算电路输出的sin50，因为4是高电平，所以开关管导通，电路输出sin50°，然后，在反相器A中，将4°V变成0V，然后，在开关电路B中,，因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在开关电路D中,，因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在减法器C中用7°减去3°得到4°，然后，在减法器C中用7°减去3°得到4°，经过sin4计算电路得到sin4的值，加法器A的输入端接上面的sin50和sin4，然后，在加法器A中用sin50°加上sin4°得到sin57°，即namely，sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°，
例如，计算sin61°，
首先，在减法器A中用61°减去60°得到1°，然后，在减法器B中用1°减去3°得到-2°，在电压比较器A中，用0°和-2°相互比较，输出它们中的较大者0°，然后，在开关电路A中,因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在开关电路B中,，因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在反相器A中，将0V变成1V，然后，在开关电路B中,，因为1是高电平，所以开关管导通，电路输出1°，然后，在减法器C中用3°减去1°得到2°，最后将2°接到sin2°计算电路中，经过sin2计算电路得到sin2的值，然后，在开关电路D中,，开关电路D的输入端接上面的高电平1和sin2计算电路输出的sin2，因为1是高电平，所以开关管导通，电路输出sin2°，然后，在减法器D中用sin60°减去2°得到sin61°，即namely，sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°，
上面的电路是计算sin4°值，上面各选择电路和基准电压为4°的电路相同，
基准电压3°的选择电路，
例如3°<4°，
第四个电压比较器输出4°，它的两个输入端，一个是基准电压3，一个是待测参数4，因为3°<4°，所以电压比较器输出较大的电压输出4°，第五个电压比较器输出4，它的两个输入端，一个是基准电压3，一个是刚才输出的电压4，
因为3<4，所以电压比较器输出较大的电压输出4，第六个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第五个电压比较器输出的4°，一个是现在这路第五个电压比较器输出的电压4°，
因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个开关电路器输出0，因为第六个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，
基准电压4°的选择电路，
例如4°=4°，第四个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压4，一个是待测参数4，因为4=4，所以电压比较器输出电压0，第五个电压比较器输出4，它的两个输入端，一个是基准电压4，一个是刚才输出的电压4，因为4=4，所以电压比较器输出电压0，第六个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第五个电压比较器输出的4，一个是现在这路第五个电压比较器输出的电压4，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个开关电路器输出0，因为第六个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，基准电压5°的选择电路，例如4°<5°，第四个电压比较器输出5°，它的两个输入端，一个是基准电压5，一个是待测参数4，因为5>4，所以电压比较器输出较大的电压输出5，第五个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压5，一个是刚才输出的电压5，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第六个电压比较器输出4，它的两个输入端，一个是上面那路第六个电压比较器输出的4，一个是现在这路第六个电压比较器输出的电压0，因为4>0，所以电压比较器输出较大的电压输出4，第三个开关电路器输出sin4°，因为第六个电压比较器输出4，是高电平，开关管导通，所以开关电路输出判断电路测量出来的函数值sin4，下面各选择电路和基准电压为6°的电路相同，
用电压比较器计算cosx,
计算三角函数的公式，详细内容可见中学数学用表
下面这些公式可以从正弦三角函数表，余弦三角函数表，通过数学归纳法推测出来
如果B>3,
那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°),
如果B≤3,
那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°),
例如,
sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°,
sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°,
sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°,
如果B>3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°),
如果B≤3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°),
例如,
cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°,
cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°,
cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°,
sinAB可以近似等于是sinA0和sin(B-3)的和，
cosAB可以近似等于是cosA0和cos(90-B+3)的和，
这一点可以从正弦表，余正弦表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》，
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数，假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V，假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V，其它弧度值和上面类似，假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V，假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V，归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等，下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值。
测量线圈转动38°产生DC0.663225V的感应电压，38°是角度值化成弧度值就是0.663225,10°化为弧度值就是0.174533V,用电压DC0.174533V就代表10°的角度,
用电压比较器计算tanx的电路
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数
假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V,假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V,其它弧度值和上面类似,假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V,假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V,归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等,
下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值,
下面这些公式可以从正切三角函数表，余切三角函数表，通过数学归纳法推测出来,
如果0°≤AB°<40°
那么，tgAB°≈tgA0°+1.3tgB°
如果40°≤AB°C`<73°
那么，tgAB°≈tgA0°+1.2tg(2B°)
如果73°≤AB°C`<79°
那么，tgAB°C`≈tg73°+1.1(B-3)tg12°+tg6°C`/10
如果79°≤AB°C`<83°
那么，tgAB°C`≈tg79°+(AB-78)tg33°+tg10°C`/10
如果83°≤AB<86°
那么，tgAB°C`≈tg83°+1.1(AB-83)tg57°+tg17°C`/10
如果86°≤AB<87°
那么，tgAB°C`≈tg86+tg36C`/10
如果87°≤AB<88°
那么，tgAB°C`≈tg87+tg55C`/10
如果88°≤AB<89°
那么，tgAB°C`≈tg88°+1.3tg74°C`/10
如果AB=89°
那么，tgAB°C`≈57.29
如果AB=89°10`
那么，tgAB°C`≈68.75
如果AB=89°20`
那么，tgAB°C`≈85.94
如果AB=89°30`
那么，tgAB°C`≈114.6
如果AB=89°40`
那么，tgAB°C`≈171.9
如果AB=89°50`
那么，tgAB°C`≈343.8
例如,
tg24°≈tg20°+1.3tg4°≈0.3640+1.30.0699≈0.45487
tg34°≈tg30°+1.3tg4°≈0.5744+1.30.0699≈0.66527
tg48°≈tg40°+1.2tg(28°)≈tg40°+1.2tg16°≈0.8391+1.20.2867≈1.18314
tg56°≈tg50°+1.2tg(26°)≈tg50°+1.2tg12°≈1.19818+1.20.2126≈1.4533
tg63°≈tg60°+1.2tg(23°)≈tg60°+1.2tg6°≈1.732+1.20.1051≈1.85812
tg76°10`≈tg73°+1.1(6-3)tg12°+tg6C`/10≈tg73°+1.13tg12°+tg6°≈3.271+1.130.2126+0.1051≈4.07768
tg76°20`≈tg73°+1.1(6-3)tg12°+tg6C`/10≈tg73°+1.13tg12°+2tg6°≈3.271+1.130.2126+0.10512≈4.18278
tg77°10`≈tg73°+1.1(7-3)tg12°+tg6°C`/10≈tg73°+1.14tg12°+tg6°≈3.271+1.140.2126+0.10512≈4.41664
tg78°30`≈tg73°+1.1(8-3)tg12°+tg6°C`/10≈tg73°+1.15tg12°+3tg6°≈3.271+1.150.2126+0.10513≈4.7556
tg82°10`≈tg79°+(82-79)tg33°+tg10°≈tg79°+3tg33°+tg10°≈5.145+30.6494+0.1763≈7.2695
tg82°40`≈tg79°+(82-79)tg33°+4tg10°≈tg79°+3tg33°+4tg10°≈5.145+30.6494+40.1763≈7.7984
tg84°50`≈tg83°+1.1(84-83)tg57°+5tg17°≈tg83°+1.1tg57°+5tg17°≈8.144+1.11.5399+50.3057≈11.36639
tg85°30`≈tg83°+1.1(85-83)tg57°+3tg17°≈tg83°+1.12tg57°+3tg17°≈8.144+1.121.5399+30.3057≈12.4488
tg86°40`≈tg86°+4tg36°≈14.30+40.7265≈17.206
tg87°20`≈tg87°+2tg55≈19.08+21.4281≈21.9362
tg88°40`≈tg88°+1.34tg74≈28.64+1.343.487≈46.7724
tg89°20`≈85.94
tg89°30`≈114.6
三角函数表可以查《中学数学用表》
角度值和弧度值的换算可以查《中学数学用表》,tgAB可以近似等于是tgA0和tgB的和,由于tgAB的图像不是直线，是曲线，,tgAB在tg40°,tg73°,tg79°,tg83°,tg87°,tg88°,tg89°存在拐点，这一点可以从正切表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》,tgAB在两个拐点之间的曲线可以近似看成一条直线，可以用tgAB°C`=tbA0+1.3tgB+tgC`来表示,
cotx计算电路
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数
假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V,假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V,其它弧度值和上面类似,假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V,假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V,归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等,
下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值,
下面这些公式可以从正切三角函数表，余切三角函数表，通过数学归纳法推测出来,
例如,
如果50°≤AB°<90°
那么，ctgAB°≈ctgA0°-1.3ctg(90°-B°)
如果17°≤AB°<50°
那么，ctgAB°≈ctgA0°-1.4ctg(90°-2B°)
如果11°≤AB°C`<17°
那么，ctgAB°C`≈ctg11°-1.6(B-1)ctg78°-ctg84°C`/10
如果7°≤AB°C`<11°
那么，ctgAB°C`≈ctg7°-1.5(AB-7)ctg57°-ctg80°C`/10
如果4°≤AB<7°
那么，ctgAB°C`≈ctg4°-1.5(AB-7)ctg33°-ctg63°C`/10
如果3°≤AB<4°
那么，ctgAB°C`≈ctg3°-ctg48°C`/10
如果2°≤AB<3°
那么，ctgAB°C`≈ctg2°-ctg28°C`/10
如果1°≤AB<2°
那么，ctgAB°C`≈ctg1°-1.5ctg14°C`/10
如果AB=1°
那么，ctgAB°C`≈57.29
如果AB=0°10`
那么，ctgAB°C`≈68.75
如果AB=0°20`
那么，ctgAB°C`≈85.94
如果AB=0°30`
那么，ctgAB°C`≈114.6
如果AB=0°40`
那么，ctgAB°C`≈171.9
如果AB=0°50`
那么，ctgAB°C`≈343.8
例如,
ctg66°≈ctg60°-1.3tg(90°-6°)≈0.5774-1.30.1051≈0.440237
ctg55°≈ctg50°-1.3tg(90°-5°)≈0.8391-1.30.0875≈0.72535
ctg43°≈ctg40°-1.4ctg(90°-23°)≈ctg40°-1.4ctg84°≈1.1918-1.40.1051≈1.04466
ctg36°≈ctg30°-1.4ctg(90°-26°)≈ctg30°-1.4ctg78°≈1.7321-0.21261.4≈1.43446
ctg13°30`≈ctg11°-1.6(3-1)ctg78°-ctg84C`/10≈ctg11°-1.62ctg78°-3ctg84°≈5.145-1.620.2126-30.1051≈4.14815
ctg12°40`≈ctg11°-1.6(2-1)ctg78°-ctg84C`/10≈ctg11°-1.6ctg78°-4ctg84°≈5.145-1.60.2126-40.1051≈4.38444
ctg8°30`≈ctg7°-1.5(8-7)ctg57°-ctg80C`/10≈ctg7°-1.5ctg57°-3ctg80°≈8.144-1.50.6494-30.1763≈6.6641
ctg9°20`≈ctg7°-1.5(9-7)ctg57°-ctg80C`/10≈ctg7°-1.52ctg57°-2ctg80°≈8.144-1.520.6494-20.1763≈5.8396
ctg5°40`≈ctg4°-1.5(5-4)ctg33°-ctg63C`/10≈ctg4°-1.5ctg33°-4ctg63°≈14.30-1.51.5399-40.5095≈9.95215
ctg4°30`≈ctg4°-1.5(4-4)ctg33°-ctg63C`/10≈ctg4°-0ctg33°-3ctg63°≈14.30-01.5399-30.5095≈12.7715
ctg3°40`≈ctg3°-ctg48C`/10≈ctg3°-4ctg48°≈19.08-40.9004≈15.4784
ctg2°40`≈ctg2°-ctg28C`/10≈ctg2°-4ctg28°≈28.64-41.881≈21.116
ctg1°40`≈ctg1°-1.5ctg14C`/10≈ctg1°-1.54ctg14°≈57.29-1.544.011≈33.224
ctg20`≈85.94
ctg30`≈114.6
三角函数表可以查《中学数学用表》,角度值和弧度值的换算可以查《中学数学用表》,tgAB可以近似等于是tgA0和tgB的和,由于tgAB的图像不是直线，是曲线，,tgAB在tg40°,tg73°,tg79°,tg83°,tg87°,tg88°,tg89°存在拐点，这一点可以从正切表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》,tgAB在两个拐点之间的曲线可以近似看成一条直线，可以用tgAB°C`=tbA0+1.3tgB+tgC`来表示,
lgx计算电路
如果1.0≤A.BC<1.5，
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
.如果1.5≤A.BC<2.0，
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5，
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C，
如果2.5≤A.BC<3.0，
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C，
如果3.0≤A.BC<4.0，
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C，
如果4.0≤A.BC<5.0，
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C，
如果5.0≤A.BC<6.0，
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C，
如果6.0≤A.BC<7.0，
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C，
如果7.0≤A.BC<8.0，
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C，
如果8.0≤A.BC<9.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C，
如果9.0≤A.BC<10.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C，
下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来，
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
计算lnx的电路
推导过程依据《中学数学用表》
如果1.0≤A.BC<1.3
那么，lnA.BC≈ln1.2-0.089(2-B)+0.009C
如果1.3≤A.BC<1.7
那么，lnA.BC≈ln1.6-0.069(6-B)+0.0071C
如果1.7≤A.BC<2.1
那么，lnA.BC≈ln2.0-0.055(10-B)+0.0057C
如果2.1≤A.BC<2.5
那么，lnA.BC≈ln2.4-0.045(4-B)+0.0049C
如果2.5≤A.BC<2.8
那么，lnA.BC≈ln2.7-0.040(7-B)+0.0041C
如果2.8≤A.BC<3.1
那么，lnA.BC≈ln3.0-0.034(10-B)+0.0035C
如果3.1≤A.BC<4.0
那么，lnA.BC≈ln3.9-0.027(9-B)+0.0027C
如果4.0≤A.BC<4.5
那么，lnA.BC≈ln4.4-0.023(4-B)+0.0023C
如果4.5≤A.BC<5.2
那么，lnA.BC≈ln5.1-0.019(11-B)+0.0019C
如果5.2≤A.BC<6.0
那么，lnA.BC≈ln5.9-0.018(9-B)+0.0018C
如果6.0≤A.BC<6.8
那么，lnA.BC≈ln6.7-0.016(7-B)+0.0016C
如果6.8≤A.BC<7.7
那么，lnA.BC≈ln7.6-0.014(16-B)+0.0014C
如果7.7≤A.BC<8.6
那么，lnA.BC≈ln8.5-0.012(15-B)+0.0012C
如果8.6≤A.BC<9.6
那么，lnA.BC≈ln9.5-0.011(15-B)+0.0011C
如果9.6≤A.BC<10.0
那么，lnA.BC≈ln9.9-0.010(15-B)+0.0010C
ln10.0≈2.3026
下面这些公式可以从自然对数表，通过数学归纳法推测出来
例如,
ln1.13≈ln1.2-0.089(2-1)+30.009≈0.1823-0.089+0.027≈0.1203
ln1.19≈ln1.2-0.089(2-1)+90.009≈0.1823-0.089+0.081≈0.1743
ln1.07≈ln1.2-0.089(2-0)+70.009≈0.1823-0.0892+0.063≈0.0673
ln1.32≈ln1.6-0.069(6-3)+20.0065≈0.4700-0.0693+20.0071≈0.2772
ln1.45≈ln1.6-0.069(6-4)+50.0065≈0.4700-0.0692+50.0071≈0.3675
ln1.84≈ln2.0-0.055(10-8)+40.0057≈0.6931-0.0552+40.0057≈0.6059
ln1.92≈ln2.0-0.055(10-9)+20.0057≈0.6931-0.055+20.0057≈0.6495
ln2.26≈ln2.4-0.045(4-2)+60.0049≈0.8755-0.0452+60.0049≈0.8149
ln2.67≈ln2.7-0.040(7-6)+70.0041≈0.9933-0.040+70.0041≈0.982
ln2.78≈ln2.7-0.040(7-7)+80.0041≈0.9933+80.0041≈1.6201
ln2.84≈ln3.0-0.034(10-8)+40.0035≈1.0986-0.0342+40.0035≈1.0446
ln3.59≈ln3.9-0.027(9-5)+90.0027≈1.3610-0.0274+90.0027≈1.2557
ln4.24≈ln4.4-0.023(4-2)+40.0023≈1.4816-0.0232+40.0023≈1.4448
ln4.73≈ln5.0-0.020(10-7)+30.0020≈1.4816-0.0232+40.0023≈1.4448
ln4.94≈ln5.1-0.019(11-9)+40.0019≈1.6292-0.0192+40.0019≈1.5988
ln5.67≈ln5.9-0.018(9-6)+70.0018≈1.7750-0.0183+70.0018≈1.7336
ln6.57≈ln6.7-0.016(7-5)+70.0016≈1.9021-0.0162+70.0016≈1.8813
ln7.28≈ln7.6-0.014(16-12)+80.0014≈2.0281-0.0144+80.0014≈1.9833
ln8.19≈ln8.5-0.012(15-11)+90.0012≈2.1401-0.0124+90.0012≈2.1029
ln9.14≈ln9.5-0.011(15-11)+40.0011≈2.2513-0.0114+40.0011≈2.2117
ln9.72≈ln9.9-0.010(9-7)+20.0010≈2.2925-0.0102+20.0010≈2.2745
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到
lnABC=ln(A.BC100)=lnA.BC+ln100=lnA.BC+4.60517
lnAB.C=ln(A.BC10)=lnA.BC+ln10=lnA.BC+2.302585
ln11.3=ln(1.1310)=ln1.13+ln10≈0.1203+2.302583=2.422883
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册
398.对数的计算
由上面的推导可知
lnn
logn=
alna
例如：
当a=10时，
1
M==0.4329
ln10
log5=1.6094340.4329=0.696723
10
ln5
log5==1.609437/2.302585≈0.3989
10ln10
当a=6时，
1
M==0.55811
ln6
log5=1.6094340.55811=0.898051
6
ln5
log5==1.609437/1.7917≈0.89827
6ln6
当a=3时，
1
M==0.910241
ln3
log5=1.6094340.910241=1.46497
3
ln5
log5==1.609437/1.09861≈1.46497
3ln3
由上面的推导可知：任何一个对数都可以化为这个对数的幂的自然对数除以这个对数的底的自然对数,任何一个数的自然对数可以查自然对数表,
因为,
lnn
logn=
10ln10
所以,
logn=0.4329ln
10
用电压比较器计算logsinx的电路
推导过程依据《中学数学用表》
推导过程可参见《对数表新编》冯度编开明书店出版1935年版
S与T之值及其对数表,
1.若α为自0°-2°之角则
logsinα=logα``+S,
logtanα=logα``+T,
logcotα=-cologtanα,
logα``=logsinα-S
logα``=logtanα-T
logα``=cologtanα-T
注意：如果logcotα=n,则cologcotα=(10-n)-10
例如logcotx=1.67604,
cologcotx=8.32396-10=-1.32396
例，logtanx=1.55407,
cologtanx=8.44593-10=-1.44593
2.若α为自88°-90°之角则
logcosα=log(90°-α)``+S
logcotα=log(90°-α)``+T
logtanα=-cologcotα
log(90°-α)``=logcosα-S
log(90°-α)``=logcotα-T
log(90°-α)``=cologtanα-T
α=90°-(90°-α)
由下表取得S与T之值应各附记-10于其后
从下面的表中查到的S,T值，应该在后面写上-10这个记号
α``Slogsinα
0
4.68557
24098.06740
4.68556
34178.21920
4.68555
38238.26795
4.68555
41908.30776
4.68554
48408.37038
4.68553
54148.41904
4.68552
59328.45872
4.68551
64088.49233
4.68550
66338.50721
4.68550
68518.52125
4.68549
72678.54684
α``Tlogtanα
0
4.68557
2006.98660
4.68558
17267.92263
4.68559
24328.07156
4.68560
29768.15924
4.68561
34348.22142
4.68562
38388.26973
4.68563
42048.30930
4.68564
45408.34270
4.68565
46998.35766
4.68565
48538.37167
4.68566
51468.39713
4.68567
54248.41999
4.68568
56898.44072
4.68569
59418.45955
4.68570
61848.47697
4.68571
64178.49305
4.68572
66428.50802
4.68573
68598.52200
4.68574
70708.53516
4.68575
71738.54145
4.68575
72748.54753
正弦对数表1
22.求自0°-2°或自88°-90°之三角函数对数， 欲较第二表更为精密时，当用本表求之，表中S与T之定义如下：S=logsinα-logα``,T=logtanα-logα``,取S与T之值时，应各附记-10于其后，举例如下：
例1，求logsin°58`17``,logcos88°26`41.2``
0°58`17``=3497``
log3497=3.54370
相加+S=4.68555-10
logsin00°58`17``=8.22925-10=-1.77075
logsin00°58`17``=log3497+4.68555-10≈3.54370+4.68555-10≈8.22925-10≈-1.77075
90°-88°26`41.2``=1°33`18.8``
=5598.8``
log5598.8=3.74809
相加+S=4.68552-10
logcos88°26`41.2``=8.43361-10=-1.56639
logcos88°26`41.2``=log5598.8+4.68553-10≈3.74809+4.68553-10≈8.43362-10≈-1.56639
给后面标记-10的意思就是给前面的数减去10
例2，求logtan0°52`47.5``,logtan89°54`37.362``
0°52`47.5``=3167.5``
log3167.5=3.50072
相加+T=4.68561-10
logtan00°52`47.5``=8.18663-10=-1.81337
logtan00°52`47.5``=log3167.5+4.68561-10≈3.50072+4.68561-10≈8.18663-10≈-1.81337
90°-89°54`37.362``=0°5`22.638``
=322.638``
log322.638=2.50871
相加+T=4.68558-10
logcot89°54`37.362``=7.19429-10=-2.80571
logcot89°54`37.362``=log322.638+4.68558-10≈2.50871+4.68558-10≈7.19429-10≈-2.80571
logtan89°54`37.362``=-logcot89°54`37.362``=2.80571
例3，logsinx=6.72306-10,求x
6.72306-10
相减-S=4.68557-10
2.03749=lg109.015
109.015``=0°1`48.015``
例4，logcotx=1.67604,求x
cologcotx=8.32396-10=-1.67604
相减-T=4.68564–10
3.63832=lg4348.3
5757.6``=1°35`57.6``
90°-1°35`57.6``=88°24`2.4``
∴x=88°22`2.4``
20.此表列三角函数之对数，第21页以每秒计，凡在0`-3`之角，由上而下检之，左边(``)行即为秒数。自89°57`-90°，则由下而上检之，秒数列于右边(``)行，第22页至第27页，以每10秒计，由上而下为3`-2`,(`),(``)列于左边，由下而上，为88°-89°57`,(`),(``)列于右边，第28页至第70页以每分计，由上而下，为2°-45°，(`)在左边，由下而上，为45°-88°,(`)列在右边，其cd及d行为相邻两定值部分之差数，其PP行为计分之小数之比例分，第21页至第27页检得之对数。因定位部分系负数，应各附记-10于其后，自第28页至第70页之对数，除在第三直行外，其在第一，四直行者应各附记-10于其后,
例1,第47页,logsin21°37`=9.56631-10=-0.56631,
第70页,logtan45°59`=10.01491-10=-0.01491,
例2,第67页,logcosx=9.87468-10=-0.87468,x=41°28`,
第39页,logcotx=9.39353-10=-0.39353,x=76°6`,
例3求logtan70°46`8``,
因8``-8`/60=0.13``,检第45页，logtan70°46`之定值部分为45731，其为47`之定值部分之差为41,检PP行，41之0.1比例分为4.1；0.03之比例分为1.23；则41之0.13比例分约为5,故所求之定值部分为4571+5=45736,故logtan70°46`8``=0.45736,
例4，求logcos47°35`4``,
因4``=4`/60=0.07`,检第68页，logcos47°35`之定值部分为82899，其与36`之定值部分之差为14,检PP行，14之0.07比例分为0.98,故所求之定值部分为82899-1=82898,故logcos47°35`4``=9.82898–10,注意：凡角增大时，则logsin及logtan亦增大，而logcos及logcot则减小,
计算logsinx的公式：
logsinα计算公式，当0°<α<2°时，
如果if0°≤α<2°，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断正弦对数值，logsinα=logα``+S，logtanα=logα``+T，上式中，α=MN°WS`T``，α``=3600MN+60WS+T，logα``/1000=lgA.BC，
如果0≤α``<7267，那么，logsinα=logα``/1000+3+4.68553=lgA.BC+3+4.68553，计算logsinα时，首先计算logα``/1000,再加上3，最后加上4.68553，这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是logsinα的值，例如:
logsin0°58`17``=log3497+4.68555≈3.54370+4.68555-10≈8.22925-10≈-1.77075，
logsin0°58`17``=log3492+4.68553≈3.5408+4.68553-10≈8.22633-10≈-1.77376，
0.0169531000020.6=169.5320.6=3492.318，
00°58`17``≈0.016953，
计算logα``/1000的公式如下：
如果1.0≤A.BC<1.5，
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
.如果1.5≤A.BC<2.0，
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5，
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C，
如果2.5≤A.BC<3.0，
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C，
如果3.0≤A.BC<4.0，
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C，
如果4.0≤A.BC<5.0，
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C，
如果5.0≤A.BC<6.0，
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C，
如果6.0≤A.BC<7.0，
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C，
如果7.0≤A.BC<8.0，
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C，
如果8.0≤A.BC<9.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C，
如果9.0≤A.BC<10.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C，
下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来，
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
下面这些公式可以从正弦对数表，通过数学归纳法推测出来，
α=MN°WS`T``
logsinα计算公式，当2°≤α<8°时
如果2°≤MN°WS`<3°
那么，logsinN°WS`≈logsin2°+0.033W+0.0030S
如果3°≤MN°WS`<4°
那么，logsinN°WS`≈logsin3°+0.022W+0.0022S
如果4°≤MN°WS`<5°
那么，logsinN°WS`≈logsin4°+0.016W+0.0016S
如果5°≤MN°WS`<6°
那么，logsinN°WS`≈logsin5°+0.014W+0.0013S
如果6°≤MN°WS`<7°
那么，logsinN°WS`≈logsin6°+0.011W+0.0011S
如果7°≤MN°WS`<8°
那么，logsinN°WS`≈logsin7°+0.010W+0.0009S
logsinα计算公式，当8°≤α<14°时
如果8°≤MN°WS`<11°
那么，logsinN°WS`≈logsin8°+0.05(N-8)+0.008W+0.0007S
如果11°≤MN°WS`<14°
那么，logsinN°WS`≈logsin11°+0.035(MN-11)+0.005W+0.0005S
logsinα计算公式，当14°≤α<85°时
如果14°≤MN°WS`<20°
那么，logsinN°WS`≈logsin14°+0.03(MN-14)+0.0025WS/6`
如果20°≤MN°WS`<30°
那么，logsinN°WS`≈logsin20°+0.02(MN-20)+0.0015WS/6`
如果30°≤MN°WS`<50°
那么，logsinN°WS`≈logsin30°+0.01(MN-30)+0.0009WS/6`
如果50°≤MN°WS`<60°
那么，logsinN°WS`≈logsin50°+0.006(MN-50)+0.0005WS/6`
如果60°≤MN°WS`<70°
那么，logsinN°WS`≈logsin60°+0.004(MN-60)+0.0004WS/6`
如果70°≤MN°WS`<80°
那么，logsinN°WS`≈logsin70°+0.002(MN-70)+0.0003WS/6`
如果80°≤MN°WS`<85°
那么，logsinN°WS`≈logsin80°+0.001(MN-80)+0.0001WS/6`
如果85°≤MN°WS`<90°
那么，logsinN°WS`≈-0.0001
例如，
logsin2°38`≈logsin2°+0.0333+0.0038≈-2+0.5428+0.0333+0.0038≈-1.3342
logsin3°34`≈logsin3°+0.0223+0.00224≈-2+0.7188+0.0223+0.00224≈-1.2064
logsin4°32`≈logsin4°+0.0163+0.00162≈-2+0.8436+0.0163+0.00162≈-1.1053
logsin5°37`≈logsin5°+0.0143+0.00137≈-2+0.9403+0.0143+0.00137≈-1.0086
logsin6°38`≈logsin6°+0.0113+0.00118≈-1+0.0192+0.0113+0.00118≈-0.939
logsin7°33`≈logsin7°+0.0103+0.00093≈-1+0.0859+0.0103+0.00093≈-0.8814
logsin9°34`≈logsin8°+0.05(9-8)+0.0083+0.00074≈-1+0.1436+0.05+0.0083+0.00074≈-0.7796
logsin12°36`≈logsin11°+0.035(12-11)+0.0053+0.00056≈-1+0.2806+0.035+0.0053+0.00056≈-0.6664
logsin15°40`≈logsin14°+0.03(15-14)+0.0025(40/6)≈-1+0.3827+0.03+0.000256≈-0.5858
logsin25°51`≈logsin20°+0.02(25-20)+0.0015(51/6)≈-1+0.5341+0.025+0.00158≈-0.3539
logsin41°32`≈logsin30°+0.01(41-30)+0.0009(32/6)≈-1+0.6990+0.0111+0.00095≈-0.1865
logsin55°43`≈logsin50°+0.006(55-50)+0.0005(43/6)≈-1+0.8843+0.0065+0.00057≈-0.0842
logsin65°22`≈logsin60°+0.004(65-60)+0.0004(22/6)≈-1+0.9375+0.0045+0.00043≈-0.0413
logsin75°56`≈logsin70°+0.002(75-70)+0.0003(56/6)≈-1+0.9730+0.0025+0.00039≈-0.0143
logsin82°41`≈logsin80°+0.001(82-80)+0.0001(41/6)≈-1+0.9934+0.0015+0.00016≈-0.001
logsin82°41`≈logsin80°+0.001(82-80)+0.0001(41/6)≈-1+0.9934+0.0015+0.00016≈-0.001
logsin85°≈-1+0.9983≈-0.0017
logcosx计算电路
logcosα计算公式，当88°<α<90°时,如果if88°≤α<90°,根据《对数表新编》中的S,T公式，判断余弦对数值,logcosα=log(90°-α)``+S,logcotα=log(90°-α)``+T,上式中,90°-α=MN°WS`T``,(90°-α)``=3600MN+60WS+T,log(90°-α``)/1000=lgA.BC,
如果0≤(90°-α``)<7267,
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68553=lgA.BC+3+4.68553,
计算logcosα时，首先计算log(90°-α``)/1000,再加上3，最后加上4.68553,这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是logsinα的值,例如:
logcos88°26`41.2``=log5598.8+4.68553≈3.74809+4.68553-10≈8.43362-10≈-1.56639,
logcos88°26`41.2``=log5591.87+4.68553≈3.7462+4.68553-10≈8.43173-10≈-1.56827,
0.02714510000=271.4520.6=5591.87,
90°-88°26`41.2``=1°33`18.8``=0.027145,
计算logα``/1000的公式如下：
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C
下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来,
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
如果0≤α``<2409
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68557
如果2409≤α``<3417
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68556
如果3417≤α``<4190
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68555
如果4190≤α``<4840
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68554
如果4840≤α``<5414
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68553
如果5414≤α``<5932
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68552
如果5932≤α``<6408
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68551
如果6408≤α``<6851
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68550
如果6851≤α``<7267
那么，logcosα=log(90°-α``)/1000+3+4.68549
logsinx=logcos(90°-x)
sinx=cos(90°-x)
logcosx=;ogcos(90°-x)
cosx=sin(90°-x)
logtanx=logcot(90°-x)
tanx=cot(90°-x)
logcotx=logtan(90°-x)
cotx=tan(90°-x)
下面这些公式可以从余弦对数表，通过数学归纳法推测出来
α=MN°WS`T``
logcosα计算公式，当0°≤α<88°时
如果0°≤MN°WS`<5°
那么，logcosN°WS`≈-0.0001
logcosα计算公式，当5°≤α<76°时
如果5°≤MN°WS`<10°
那么，logcosN°WS`≈logcos5°-(N-5)0.0010-0.0001WS/6
如果10°≤MN°WS`<15°
那么，logcosN°WS`≈logcos10°-(MN-10)0.0015-0.0002WS/6
如果15°≤MN°WS`<20°
那么，logcosN°WS`≈logcos15°-(MN-15)0.0023-0.0002WS/6
如果20°≤MN°WS`<25°
那么，logcosN°WS`≈logcos20°-(MN-20)0.0029-0.0003WS/6
如果25°≤MN°WS`<30°
那么，logcosN°WS`≈logcos25°-(MN-25)0.0039-0.0004WS/6
如果30°≤MN°WS`<35°
那么，logcosN°WS`≈logcos30°-(MN-30)0.0048-0.0005WS/6
如果35°≤MN°WS`<40°
那么，logcosN°WS`≈logcos35°-(MN-35)0.0056-0.0006WS/6
如果40°≤MN°WS`<45°
那么，logcosN°WS`≈logcos40°-(MN-40)0.0070-0.0007WS/6
如果45°≤MN°WS`<50°
那么，logcosN°WS`≈logcos45°-(MN-45)0.0083-0.0008WS/6
如果50°≤MN°WS`<55°
那么，logcosN°WS`≈logcos50°-(MN-50)0.0098-0.001WS/6
如果55°≤MN°WS`<60°
那么，logcosN°WS`≈logcos55°-(MN-55)0.0119-0.0012WS/6
如果60°≤MN°WS`<65°
那么，logcosN°WS`≈logcos60°-(MN-60)0.0146-0.0016WS/6
如果65°≤MN°WS`<70°
那么，logcosN°WS`≈logcos65°-(MN-65)0.0183-0.0018WS/6
如果70°≤MN°WS`<73°
那么，logcosN°WS`≈logcos70°-(MN-70)0.0215-0.0022WS/6
如果73°≤MN°WS`<76°
那么，logcosN°WS`≈logcos73°-(MN-73)0.0265-0.0026WS/6
logsinα计算公式，当76°≤α<88°时
如果76°≤MN°WS`<77°
那么，logcosN°WS`≈logcos76°-0.0052W-0.0005S
如果77°≤MN°WS`<78°
那么，logcosN°WS`≈logcos77°-0.0058W-0.0006S
如果78°≤MN°WS`<79°
那么，logcosN°WS`≈logcos78°-0.0061W-0.0006S
如果79°≤MN°WS`<80°
那么，logcosN°WS`≈logcos79°-0.0068W-0.0007S
如果80°≤MN°WS`<81°
那么，logcosN°WS`≈logcos80°-0.0075W-0.0008S
如果81°≤MN°WS`<82°
那么，logcosN°WS`≈logcos81°-0.0084W-0.0009S
如果82°≤MN°WS`<83°
那么，logcosN°WS`≈logcos82°-0.0095W-0.0010S
如果83°≤MN°WS`<84°
那么，logcosN°WS`≈logcos83°-0.0109W-0.0011S
如果84°≤MN°WS`<85°
那么，logcosN°WS`≈logcos84°-0.0134W-0.0013S
如果85°≤MN°WS`<86°
那么，logcosN°WS`≈logcos85°-0.0158W-0.0015S
如果86°≤MN°WS`<87°
那么，logcosN°WS`≈logcos86°-0.0212W-0.0021S
如果87°≤MN°WS`<88°
那么，logcosN°WS`≈logcos87°-0.0280W-0.0029S
例如，
logcos7°33`≈logcos5°-0.001(7-5)-0.0001(33/6)≈-1+0.9983-0.0012-0.00015≈-0.0072
logcos12°25`≈logcos10°-0.0015(12-10)-0.0002(25/6)≈-1+0.9934-0.00152-0.00024≈-0.0104
logcos17°46`≈logcos15°-0.0023(17-15)-0.0002(46/6)≈-1+0.9849-0.00232-0.00027≈-0.0212
logcos22°55`≈logcos20°-0.0029(22-20)-0.0003(46/6)≈-1+0.9730-0.00292-0.00037≈-0.0342
logcos27°31`≈logcos25°-0.0039(27-25)-0.0004(46/6)≈-1+0.9573-0.00392-0.00047≈-0.0533
logcos32°43`≈logcos30°-0.0048(32-30)-0.0005(43/6)≈-1+0.9375-0.00482-0.00057≈-0.0756
logcos37°23`≈logcos35°-0.0056(37-35)-0.0006(23/6)≈-1+0.9134-0.00562-0.00063≈-0.0996
logcos42°56`≈logcos40°-0.0070(42-40)-0.0007(56/6)≈-1+0.8843-0.00702-0.00079≈-0.136
logcos47°37`≈logcos45°-0.0083(47-45)-0.0008(37/6)≈-1+0.8495-0.00832-0.00086≈-0.1719
logcos52°51`≈logcos50°-0.0098(52-50)-0.001(51/6)≈-1+0.8081-0.00982-0.0018≈-0.2195
logcos57°41`≈logcos55°-0.0119(57-55)-0.0012(41/6)≈-1+0.7586-0.01192-0.00126≈-0.2724
logcos62°32`≈logcos60°-0.0146(62-60)-0.0016(32/6)≈-1+0.6990-0.01462-0.00165≈-0.3383
logcos67°52`≈logcos65°-0.0183(67-65)-0.0018(52/6)≈-1+0.6259-0.01832-0.00188≈-0.4251
logcos72°47`≈logcos70°-0.0215(72-70)-0.0022(47/6)≈-1+0.5341-0.02152-0.00227≈-0.5243
logcos75°33`≈logcos73°-0.0265(75-73)-0.0026(33/6)≈-1+0.4659-0.02652-0.00265≈-0.6001
logcos76°25`≈logcos76°-0.00522-0.00055≈-1+0.3837-0.00522-0.00055≈-0.6292
logcos77°34`≈logcos77°-0.00583-0.00064≈-1+0.3521-0.00583-0.00064≈-0.6677
logcos78°26`≈logcos78°-0.00612-0.00066≈-1+0.3179-0.00612-0.00066≈-0.6979
logcos79°33`≈logcos79°-0.00683-0.00073≈-1+0.2806-0.00683-0.00073≈-0.7419
logcos80°34`≈logcos80°-0.00753-0.00084≈-1+0.2397-0.00753-0.00084≈-0.786
logcos81°27`≈logcos81°-0.00842-0.00097≈-1+0.1943-0.00842-0.00097≈-0.8288
logcos82°36`≈logcos82°-0.00953-0.00106≈-1+0.1436-0.00953-0.00106≈-0.8909
logcos83°35`≈logcos83°-0.01093-0.00115≈-1+0.0859-0.01093-0.00115≈-0.9523
logcos84°32`≈logcos84°-0.01343-0.00132≈-1+0.0192-0.01343-0.00132≈-1.0236
logcos85°37`≈logcos85°-0.01583-0.00157≈-2+0.9403-0.01583-0.00157≈-1.1176
logcos86°33`≈logcos86°-0.02123-0.00213≈-2+0.8436-0.02123-0.00213≈-1.2263
logcos87°27`≈logcos87°-0.02802-0.00297≈-2+0.7188-0.02802-0.00297≈-1.3575
logtanx计算电路
logtanα计算公式，当0°<α<2°时，
如果if0°≤α<2°，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断正弦对数值，logsinα=logα``+S，logtanα=logα``+T，上式中，α=MN°WS`T``，α``=3600MN+60WS+T，logα``/1000=lgA.BC，如果0≤α``<7267，那么，logtanα=logα``/1000+3+4.68562=lgA.BC+3+4.68562，计算logtanα时，首先计算logα``/1000,再加上3，最后加上4.68562，这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是logtanα的值，
例如：
logtan00°52`47.5``=log3167.5+4.68561-10≈3.50075+4.68561-10≈8.18663-10≈-1.81337，
0.0153541000020.6=169.5320.6=3162.924，
00°52`47.2``≈0.015354，
计算logα``/1000的公式如下：
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
下面这些公式可以从正切对数表，通过数学归纳法推测出来
α=MN°WS`T``
logtanα计算公式，当2°≤α<8°时
如果2°≤MN°WS`<3°
那么，logtanN°WS`≈logtan2°+0.032W+0.0028S
如果3°≤MN°WS`<4°
那么，logtanN°WS`≈logtan3°+0.021W+0.0021S
如果4°≤MN°WS`<5°
那么，logtanN°WS`≈logtan4°+0.015W+0.0016S
如果5°≤MN°WS`<6°
那么，logtanN°WS`≈logtan5°+0.013W+0.0014S
如果6°≤MN°WS`<7°
那么，logtanN°WS`≈logtan6°+0.011W+0.0011S
如果7°≤MN°WS`<8°
那么，logtanN°WS`≈logtan7°+0.010W+0.0009S
logtanα计算公式，当8°≤α<14°时
如果8°≤MN°WS`<11°
那么，logtanN°WS`≈logtan8°+0.05(MN-8)+0.008W+0.0007S
如果11°≤MN°WS`<14°
那么，logtanN°WS`≈logtan11°+0.04(MN-11)+0.006W+0.0007S
logtanα计算公式，当14°≤α<76°时
如果14°≤MN°WS`<20°
那么，logtanN°WS`≈logtan14°+0.03(MN-14)+0.0028WS/6`
如果20°≤MN°WS`<30°
那么，logtanN°WS`≈logtan20°+0.02(MN-20)+0.0021WS/6`
如果30°≤MN°WS`<45°
那么，logtanN°WS`≈logtan30°+0.016(MN-30)+0.0019WS/6`
如果45°≤MN°WS`<55°
那么，logtanN°WS`≈logtan45°+0.015(MN-45)+0.0016WS/6`
如果55°≤MN°WS`<65°
那么，logtanN°WS`≈logtan55°+0.018(MN-55)+0.0019WS/6`
如果65°≤MN°WS`<70°
那么，logtanN°WS`≈logtan65°+0.020(MN-65)+0.0021WS/6`
如果70°≤MN°WS`<76°
那么，logtanN°WS`≈logtan70°+0.027(MN-70)+0.0027WS/6`
logtanα计算公式，当76°≤α<87°时
如果76°≤MN°WS`<79°
那么，logtanN°WS`≈logtan76°+0.035(MN-76)+0.006W+0.0006S
如果79°≤MN°WS`<82°
那么，logtanN°WS`≈logtan79°+0.045(MN-79)+0.007W+0.0007S
如果82°≤MN°WS`<85°
那么，logtanN°WS`≈logtan79°+0.045(MN-79)+0.007W+0.0007S
如果85°≤MN°WS`<87°
那么，logtanN°WS`≈logtan85°+0.1(MN-85)+0.018W+0.0018S
logtanα计算公式，当87°≤α<90°时
如果87°≤MN°WS`<88°
那么，logtanN°WS`≈logtan87°+0.030W+0.0028S
如果88°≤MN°WS`<89°
那么，logtanN°WS`≈logtan88°+0.048W+0.0036S
如果89°≤MN°WS`<89°26`
那么，logtanN°WS`≈logtan89°+0.085W+0.0081S
如果89°26`≤MN°WS`<90°
那么，logtanN°WS`≈logtan89°26`+0.15(W-2)+0.021S
例如，
logtan2°35`≈logtan2°+0.0323+0.00285≈-2+0.5431+0.0323+0.00285≈-1.3468
logtan3°36`≈logtan3°+0.0213+0.00216≈-2+0.7194+0.0213+0.00216≈-1.205
logtan4°36`≈logtan4°+0.0153+0.00166≈-2+0.8446+0.0153+0.00166≈-1.1008
logtan5°34`≈logtan5°+0.0133+0.00144≈-2+0.9420+0.0133+0.00144≈-1.0134
logtan6°37`≈logtan6°+0.0113+0.00117≈-1+0.0216+0.0113+0.00117≈-0.9377
logtan7°35`≈logtan7°+0.0103+0.00095≈-1+0.0891+0.0103+0.00095≈-0.8764
logtan9°36`≈logtan8°+0.05(9-8)+0.0083+0.00074≈-1+0.1478+0.05+0.0083+0.00074≈-0.7754
logtan12°34`≈logtan11°+0.04(12-11)+0.0043+0.00074≈-1+0.2887+0.04+0.0063+0.00074≈-0.6505
logtan15°31`≈logtan14°+0.03(15-14)+0.0028(31/6)≈-1+0.3968+0.03+0.000285≈-0.5592
logtan25°43`≈logtan20°+0.02(25-20)+0.0021(42/6)≈-1+0.5611+0.025+0.00217≈-0.3242
logtan41°43`≈logtan30°+0.016(41-30)+0.0019(43/6)≈-1+0.7614+0.01611+0.00177≈-0.0507
logtan50°23`≈logtan45°+0.015(50-45)+0.0016(23/6)≈0+0.0155+0.00163≈0.0798
logtan60°37`≈logtan55°+0.018(60-55)+0.0019(37/6)≈0.1548+0.0185+0.00196≈0.2562
logtan67°41`≈logtan65°+0.021(67-65)+0.0021(41/6)≈0.3313+0.0212+0.00216≈-0.0143
logtan72°32`≈logtan80°+0.027(72-70)+0.0027(32/6)≈0.4389+0.0272+0.00275≈0.5064
logtan77°33`≈logtan76°+0.035(77-76)+0.0063+0.00063≈0.6032+0.035+0.0063+0.00063≈0.658
logtan80°46`≈logtan79°+0.045(80-79)+0.0074+0.00076≈0.7113+0.045+0.0074+0.00076≈0.7885
logtan83°46`≈logtan82°+0.06(83-82)+0.0124+0.00126≈0.8522+0.06+0.0124+0.00126≈0.9674
logtan86°35`≈logtan85°+0.1(86-85)+0.0183+0.00185≈1.0580+0.1+0.0183+0.00185≈1.221
logtan87°33`≈logtan87°+0.0303+0.00283≈1.2808+0.0303+0.00283≈1.3792
logtan88°37`≈logtan88°+0.0483+0.00367≈1.4569+0.0483+0.00367≈1.6261
logtan89°19`≈logtan89°+0.0851+0.00819≈1.7581+0.0851+0.00819≈1.916
logtan89°46`≈logtan89°26`+0.152+0.0216≈1.0048+0.152+0.0216≈1.4308
logcotx计算电路
logcotα计算公式，当88°<α<90°时
如果if88°≤α<90°,根据《对数表新编》中的S,T公式，判断余弦对数值,logcosα=log(90°-α)``+S,logcotα=log(90°-α)``+T,上式中,90°-α=MN°WS`T``,(90°-α)``=3600MN+60WS+T,log(90°-α``)/1000=lgA.BC,如果0≤(90°-α``)<7267,
那么，logcotα=log(90°-α``)/1000+3+4.68567=lgA.BC+3+4.68567,
计算logcost时，首先计算log(90°-α``)/1000,再加上3，最后加上4.68567,这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是logsinα的值,
例如:
logcot89°54`37.362``=log322.638+4.68558-10≈2.50871+4.68558-10≈7.19429-10≈-2.80571,
logcot89°54`37.362``=log321.978+4.68558-10≈2.5064+4.68567-10≈7.19429-10≈-2.80793,
0.00156310000=15.6320.6=321.978,
90°-89°54`37.362``=0°5`22.638``=0.001563,
计算logα``/1000的公式如下：
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C
下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C
例如，
lg1.26≈lg1.0+0.039(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026，
lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385，
lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351，
lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427，
lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536，
lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981，
lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726，
lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844，
lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775，
lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296，
lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766，
其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到，
lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2，
lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1，
lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
下面这些公式可以从余弦对数表，通过数学归纳法推测出来
α=MN°WS`T``
logcotα计算公式，当0°1`≤α<90°时
那么，logcotN°WS`≈logcot0°1`≈3.5363,
logcotα计算公式，当0°1`≤α<3°时,
logcot0°1`≈3.5363,
logcot0°2`≈3.2352,
logcot0°3`≈3.05292,
如果0°4`≤MN°WS`<0°10`
那么，logcotN°WS`≈logcot0°4`-0.07(WS-4)
如果0°10`≤MN°WS`<0°34`
那么，logcotN°WS`≈logcot0°10`-0.25(W-3)-0.030S
如果0°34`≤MN°WS`<1°
那么，logcotN°WS`≈logcot0°34`-0.1W-0.0081S
如果1°≤MN°WS`<2°
那么，logcotN°WS`≈logcot1°-0.055W-0.0065S
如果2°≤MN°WS`<3°
那么，logcotN°WS`≈logcot2°-0.03W-0.003S
logcotα计算公式，当3°≤α<14°时
如果3°≤MN°WS`<5°
那么，logcotN°WS`≈logcot3°-0.13(MN-3)-0.019W-0.0018S
如果5°≤MN°WS`<8°
那么，logcotN°WS`≈logcot5°-0.08(MN-5)-0.011W-0.0012S
如果8°≤MN°WS`<11°
那么，logcotN°WS`≈logcot8°-0.05(MN-8)-0.008W-0.0008S
如果11°≤MN°WS`<14°
那么，logcotN°WS`≈logcot11°-0.04(MN-11)-0.006W-0.0006S
logcotα计算公式，当14°≤α<76°时
如果14°≤MN°WS`<20°
那么，logcotN°WS`≈logcot14°-0.028(MN-14)-0.0028WS/6`
如果20°≤MN°WS`<25°
那么，logcotN°WS`≈logcot20°-0.022(MN-20)-0.0023WS/6`
如果25°≤MN°WS`<35°
那么，logcotN°WS`≈logcot25°-0.019(MN-25)-0.0019WS/6`
如果35°≤MN°WS`<45°
那么，logcotN°WS`≈logcot35°-0.015(MN-35)-0.0016WS/6`
如果45°≤MN°WS`<60°
那么，logcotN°WS`≈logcot45°-0.016(MN-45)-0.0017WS/6`
如果60°≤MN°WS`<70°
那么，logcotN°WS`≈logcot60°-0.018(MN-60)-0.0019WS/6`
如果70°≤MN°WS`<76°
那么，logcotN°WS`≈logcot70°-0.026(MN-70)-0.0026WS/6`
logcotα计算公式，当76°≤α<82°时
如果76°≤MN°WS`<79°
那么，logcotN°WS`≈logcot76°-0.035(MN-76)-0.006W-0.0006S
如果79°≤MN°WS`<82°
那么，logcotN°WS`≈logcot79°-0.045(MN-79)-0.009W-0.0009S
logcotα计算公式，当82°≤α<88°时
如果82°≤MN°WS`<83°
那么，logcotN°WS`≈logcot82°-0.010W-0.001S
如果83°≤MN°WS`<84°
那么，logcotN°WS`≈logcot83°-0.011W-0.0011S
如果84°≤MN°WS`<85°
那么，logcotN°WS`≈logcot84°-0.013W-0.0013S
如果85°≤MN°WS`<86°
那么，logcotN°WS`≈logcot85°-0.015W-0.0015S
如果86°≤MN°WS`<87°
那么，logcotN°WS`≈logcot86°-0.020W-0.0022S
如果87°≤MN°WS`<88°
那么，logcotN°WS`≈logcot87°-0.028W-0.0028S
例如,
logcot0°0`20``≈logcot0°1`≈3.5363
logcot0°8`≈logcot0°4`-0.07(8-4)≈2.9342-0.074≈2.6542
logcot0°25`≈logcot0°10`-0.251-0.0305≈2.5363-0.251-0.0305≈2.1363
logcot0°48`≈logcot0°34`-0.11-0.0819≈2.0048-0.13-0.00799≈1.8337
logcot1°36`≈logcot1°-0.0553-0.00656≈1.7581-0.0553-0.00656≈1.5541
logcot2°34`≈logcot2°-0.033-0.0034≈1.4569-0.033-0.0034≈1.3549
logcot4°13`≈logcot3°-0.13(4-3)-0.0191-0.00183≈1.2806-0.13-0.0191-0.00183≈1.1262
logcot6°56`≈logcot5°-0.08(6-5)-0.0115-0.00126≈1.0580-0.08-0.0115-0.00126≈0.9158
logcot9°36`≈logcot8°-0.05(9-8)-0.0083-0.00086≈0.8522-0.05-0.0083-0.00086≈0.7734
logcot12°34`≈logcot11°-0.04(12-11)-0.0063-0.00064≈0.7113-0.04-0.0063-0.00064≈0.6509
logcot16°37`≈logcot14°-0.028(16-14)-0.0028(37/6)≈0.6032-0.0282-0.00286≈0.5304
logcot22°41`≈logcot20°-0.022(22-20)-0.0023(41/6)≈0.4389-0.0222-0.00236≈0.3811
logcot27°35`≈logcot25°-0.019(27-25)-0.0019(35/6)≈0.3313-0.0192-0.00195≈0.2838
logcot40°21`≈logcot35°-0.015(40-35)-0.0016(21/6)≈0.1548-0.0155-0.00163≈0.075
logcot55°51`≈logcot45°-0.016(55-45)-0.0017(51/6)≈0-0.01610-0.00178≈-0.1736
logcot65°32`≈logcot60°-0.018(65-60)-0.0019(32/6)≈-0.2386-0.0185-0.00195≈-0.3381
logcot73°41`≈logcot70°-0.026(73-70)-0.0026(41/6)≈-0.4389-0.0263-0.00266≈-0.4675
logcot78°15`≈logcot76°-0.035(78-76)-0.0061-0.00065≈-0.6032-0.0352-0.0061-0.00065≈-0.6822
logcot81°13`≈logcot79°-0.045(81-79)-0.0091-0.00093≈-0.7113-0.0452-0.0091-0.00093≈-0.813
logcot82°34`≈logcot82°-0.013-0.0014≈-0.8525-0.013-0.0014≈-0.8865
logcot83°36`≈logcot83°-0.0113-0.00116≈-0.9109-0.0113-0.00116≈-0.9505
logcot84°34`≈logcot84°-0.0133-0.00134≈-0.9784-0.0133-0.00134≈-1.0226
logcot85°33`≈logcot85°-0.0153-0.00153≈-1.058-0.0153-0.00153≈-1.1075
logcot86°37`≈logcot86°-0.0203-0.00227≈-1.1554-0.0203-0.00227≈-1.2308
logcot87°36`≈logcot87°-0.0283-0.00286≈-1.2806-0.0283-0.00286≈-1.3814
反对数计算电路
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10[8.913+0.215(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
M≈94.27
反正弦对数计算电路
logsinα=x计算公式，当-4+0.4637
如果if-4+0.4637
，logsinα=logα``+S=x，logtanα=logα``+T=x，上式中，S=4.68533，α=MN°WS`T``，α``=3600MN+60WS+T，logα``=x-S+10，logα``/1000=lgA.BC，logα``/1000=x-4.68533-3+10，
如果0≤α``<7267，那么，logsinα=logα``/1000+3+4.68553-10=lgA.BC+3+4.68553-10，
计算α时，首先计算x-S-3+10,再用反对数计算得到α``/1000,因为logα``/1000=x-4.68533-3+10，再用下面的公式将弧度化为度，α=MN°WS`T``，α``=3600MN+60WS+T，
例如:
logsin00°58`17``=log3497+4.68555-10≈3.54370+4.68555-10≈8.22925-10≈-1.77075
logsin0°58`17``=log3492+4.68553-10≈3.5408+4.68553-10≈8.22633-10≈-1.77376
0.0169531000020.6=169.5320.6=3492.318，00°58`17``≈0.016953，x=-1.77376，-1.77376+10-4.68553-3=0.5408，logα``/1000=0.5408，α``/1000=3.492，α=0.016953
计算α``/1000的公式如下：
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10[8.913+0.215(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
M≈94.27
α计算公式，其中logsinα=x，当-1.4≤x<-0.6时
-1.4≤x<-0.6,-1.3997≤x<-0.5985,-2+0.6003≤x<-1+0.4015,
x=-A.BC,
如果-1.4≤-A.BCD<-1.2，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈2°17`+(3-B)27`+5`(10-C)+0.5`(10-D)
如果-1.2≤-A.BCD<-1.0，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈3°38`+(1-B)59`+7`(10-C)+0.5`(10-D)
如果-1.0≤-A.BCD<-0.8，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈5°45`+(9-B)1°32`+10`(10-C)+1`(10-D)
如果-0.8≤-A.BCD<-0.6，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈9°8`+(7-B)2°23`+16`(10-C)+2`(10-D)
如果-0.6≤-A.BCD<-0.4，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈14°36`+(5-B)3°24`+25`(10-C)+2.5`(10-D)
如果-0.4≤-A.BCD<-0.3，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈23°30`+30`(10-C)+3`(10-D)
如果-0.3≤-A.BCD<-0.2，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈30°6`+50`(10-C)+5`(10-D)
如果-0.2≤-A.BCD<-0.1，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈39°12`+1°16`(10-C)+10`(10-D)
如果-0.1≤-A.BCD<-0.04，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈52°36`+2°10`(10-C)+13`(10-D)
如果-0.04≤-A.BCD<-0.02，logsinα≈-A.BCD
那么，α≈65°48`+3°30`(4-C)+21`(10-D)
如果-0.02≤-A.BCDE<-0.007，logsinα≈-A.BCDE
那么，α≈72°48`+26`(10-D)+1`(10-E)
如果-0.007≤-A.BCDE<0.001，logsinα≈-A.BCDE
那么，α≈79°48`+50`(7-D)+4`(10-E)
如果-0.001≤-A.BCDE<0，logsinα≈-A.BCDE
那么，α≈86°6`
下面这些公式可以从反正弦对数表，通过数学归纳法推测出来
例如,
logsinα≈-1.375
α≈2°17`+(3-3)27`+5`(10-7)+0.5`(10-5)≈2°17`+15`+2.5`≈2°34.5`
logsinα≈-1.284
α≈2°17`+(3-2)27`+5`(10-8)+0.5`4≈2°17`+27`+10`+2`≈2°56`
logsinα≈-1.164
α≈3°38`+(1-1)59`+7`(10-6)+0.5`4≈3°38`+28`+2`≈4°8`
logsinα≈-1.055
α≈3°38`+(1-0)59`+7`(10-5)+0.5`5≈3°38`+59`+35`+2.5`≈5°14.5`
logsinα≈-0.967
α≈5°45`+(9-9)1°32`+10`(10-6)+1`7≈5°45`+40`+7`≈6°32`
logsinα≈-0.833
α≈5°45`+(9-8)1°32`+10`(10-3)+1`3≈5°45`+1°32`+70`+3`≈8°30`
logsinα≈-0.749
α≈9°8`+(7-7)2°26`+16`(10-4)+2`9≈9°8`+96`+18`≈11°2`
logsinα≈-0.664
α≈9°8`+(7-6)2°23`+16`(10-6)+2`4≈9°8`+2°23`+64`+8`≈12°43`
logsinα≈-0.547
α≈14°36`+(5-5)3°24`+25`(10-4)+2.5`(10-7)≈14°36`+140`+7.5`≈16°48.5`
logsinα≈-0.468
α≈14°36`+(5-4)3°24`+25`(10-6)+2.5`(10-8)≈14°36`+3°54`+100`+2.5`2≈20°15`
logsinα≈-0.354
α≈23°30`+36`(10-5)+3.5`(10-4)≈23°30`+180`+21`≈26°51`
logsinα≈-0.256
α≈30°6`+50`(10-5)+5`(10-6)≈30°6`+250`+20`≈34°36`
logsinα≈-0.157
α≈39°12`+1°16`(10-5)+8`(10-7)≈39°12`+5°80`+24`≈44°32`
logsinα≈-0.058
α≈52°36`+2°10`(10-5)+13`(10-8)≈52°36`+10°50`+23`≈63°49`
logsinα≈-0.026
α≈65°48`+3°30`(4-2)+21`(10-6)≈65°48`+7°+48`≈73°43`
logsinα≈-0.0154
α≈72°48`+26`(10-5)+1`(10-4)≈72°48`+150`+6`≈75°24`
logsinα≈-0.0036
α≈79°48`+50`(7-3)+4`(10-6)≈79°48`+200`+16`≈83°24`
logsinα≈-0.0004
α≈86°6`
查《中学数学用表》，可知
logsin0°1`=4.4637=-4+0.4638=-3.5362
4上面的横线表示4是-4，最终数值是-4加上4后面的小数
logsin1°49`=2.5011=-2+0.5011=-1.4989
2上面的横线表示2是-2，最终数值是-2加上2后面的小数
logsin2°=2.5428=-2+0.5428=-1.4572
2上面的横线表示2是-2，最终数值是-2加上2后面的小数
例如查《中学数学用表》可知
logtan6°=1.0216=-1+0.0216=-0.9784
logcot6°=0.9784,logtan6°=-logcot6°,
度，分，秒换算公式,60`=1°,60``=1`,
反余弦计算电路
logcosα=x计算公式，当-4+0.4637
如果if-4+0.4637
log(90°-α)``=x-S+10，log(90°-α)``/1000=x-S-3+10，log(90°-α)``/1000=x-4.68533-3+10，
如果0≤(90°-α``)<7267，
那么，logcosα=log(90°-α)``/1000+3+4.68553-10=lgA.BC+3+4.68553-10
计算α时，首先计算x-S-3+10,再用反对数计算得到(90°-α)``/1000,因为log(90°-α)``/1000=x-4.68533-3，再用下面的公式将弧度化为度，90°-α=MN°WS`T``，(90°-α)``=3600MN+60WS+T，
例如:
logcos88°26`41.2``=log5598.8+4.68553-10≈3.74809+4.68553-10≈8.43362-10≈-1.56639
logcos88°26`41.2``=log5591.87+4.68553-10≈3.7462+4.68553-10≈8.43173-10≈-1.56827
0.02714510000=271.4520.6=5591.87
90°-88°26`41.2``=1°33`18.8``=0.027145
x=-1.56827
-1.56827+10-4.68553-3=0.54071
log(90°-α)``/1000=0.54071
90°-α=90°-88°26`41.2``=0.027145
α=88°26`41.2``=1.543651
log(90°-α)``/1000=0.54071
(90°-α)``/1000=5.591
(90°-α)``=5591
例如:
logsin00°58`17``=log3497+4.68555-10≈3.54370+4.68555-10≈8.22925-10≈-1.77075
logsin0°58`17``=log3492+4.68553-10≈3.5408+4.68553-10≈8.22633-10≈-1.77376
0.0169531000020.6=169.5320.6=3492.318，00°58`17``≈0.016953，x=-1.77376，-1.77376+10-4.68553-3=0.5408，logα``/1000=0.5408，α``/1000=3.492，α=0.016953
计算α``/1000的公式如下：
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10[8.913+0.215(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
M≈94.27
α计算公式，其中logcosα=x，当-1.4≤x<-0.6时，-1.3997≤x<-0.5985，-2+0.6003≤x<-1+0.4015，
x=-A.BC
如果-1.4≤-A.BCD<-1.2，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈87°43`-(3-B)27`-5`(10-C)-0.5`(10-D)
如果-1.2≤-A.BCD<-1.0，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈86°22`-(1-B)59`-7`(10-C)-0.5`(10-D)
如果-1.0≤-A.BCD<-0.8，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈84°15`-(9-B)1°32`-10`(10-C)-1`(10-D)
如果-0.8≤-A.BCD<-0.6，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈80°52`-(7-B)2°23`-16`(10-C)-2`(10-D)
如果-0.6≤-A.BCD<-0.4，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈75°24`+(5-B)3°24`+25`(10-C)-2.5`(10-D)
如果-0.4≤-A.BCD<-0.3，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈66°30`+30`(10-C)-3`(10-D)
如果-0.3≤-A.BCD<-0.2，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈59°54`-50`(10-C)-5`(10-D)
如果-0.2≤-A.BCD<-0.1，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈50°48`-1°16`(10-C)-10`(10-D)
如果-0.1≤-A.BCD<-0.04，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈37°24`-2°10`(10-C)-13`(10-D)
如果-0.04≤-A.BCD<-0.02，logcosα≈-A.BCD
那么，α≈24°12`-3°30`(4-C)-21`(10-D)
如果-0.02≤-A.BCDE<-0.007，logcosα≈-A.BCDE
那么，α≈17°12`-26`(10-D)-1`(10-E)
如果-0.007≤-A.BCDE<0.001，logcosα≈-A.BCDE
那么，α≈10°12`-50`(7-D)-4`(10-E)
如果-0.001≤-A.BCDE<0，logcosα≈-A.BCDE
那么，α≈3°54`
下面这些公式可以从反余弦对数表，通过数学归纳法推测出来
例如，
logcosα≈-1.364
α≈87°43`-(3-3)27`-5`(10-6)-0.5`(10-4)≈87°43`-20`-3`≈87°20`
logcosα≈-1.273
α≈87°43`-(3-2)27`-5`(10-7)-0.5`3≈87°43`-27`-15`-1.5`≈87°0.5`
logcosα≈-1.156
α≈86°22`-(1-1)59`-7`(10-5)-0.5`6≈86°22`-35`-3`≈85°44`
logcosα≈-1.047
α≈86°22`-(1-0)59`-7`(10-4)-0.5`7≈86°22`-59`-42`-3.5`≈85°22.5`
logcosα≈-0.953
α≈84°15`-(9-9)1°32`-10`(10-5)-1`3≈84°15`-50`-3`≈83°22`
logcosα≈-0.847
α≈84°15`-(9-8)1°32`-10`(10-4)-1`3≈84°15`-1°32`-60`-3`≈82°20`
logcosα≈-0.756
α≈80°52`-(7-7)2°26`-16`(10-5)-2`6≈80°52`-80`-12`≈79°40`
logcosα≈-0.657
α≈80°52`-(7-6)2°23`-16`(10-5)-2`7≈80°52`-2°23`-80`-14`≈76°55`
logcosα≈-0.558
α≈75°24`-(5-5)3°24`-25`(10-5)-2.5`(10-8)≈75°24`-125`-5`≈73°46`
logcosα≈-0.446
α≈75°24`-(5-4)3°24`-25`(10-4)-2.5`6≈75°24`-3°54`-150`-15`≈70°18.5`
logcosα≈-0.367
α≈66°30`-36`(10-6)-3.5`(10-7)≈66°30`-144`-10.5`≈64°4.5`
logcosα≈-0.264
α≈59°54`-50`(10-6)-5`(10-4)≈59°54`-200`-30`≈57°4`
logcosα≈-0.146
α≈50°48`-1°16`(10-4)-8`(10-6)≈50°48`-6°96`-32`≈44°
logcosα≈-0.064
α≈37°24`-2°10`(10-6)-13`(10-4)≈37°24`-8°40`-78`≈27°26`
logcosα≈-0.035
α≈24°12`-3°30`(4-3)-21`(10-5)≈24°12`-3°30`-105`≈19°57`
logcosα≈-0.0167
α≈17°12`-26`(10-6)-1`(10-7)≈17°12`-104`-3`≈15°25`
logcosα≈-0.0045
α≈10°12`-50`(7-4)-4`(10-5)≈10°12`-150`-20`≈7°22`
logcosα≈-0.0004
α≈3°54`
logtanα=x计算公式，当-4+0.4637
如果if-4+0.4637
T=4.68567，α=MN°WS`T``，α``=3600MN+60WS+T，logα``/1000=lgA.BC，logα``=x-T+10，logα``/1000=x-T-3+10，logα``/1000=x-4.68567-3+10，
如果0≤α``<7267，
那么，logtanα=logα``/1000+3+4.68567-10=lgA.BC+3+4.68567-10
计算α时，首先计算x-T-3+10,再用反对数计算得到α``/1000,因为logα``/1000=x-4.68567-3+10，再用下面的公式将弧度化为度，
α=MN°WS`T``，α``=3600MN+60WS+T，
例如：
logtan00°52`47.5``=log3167.5+4.68561-10≈3.50072+4.68561-10≈8.18663-10≈-1.81337
logtan00°52`47.5``=log3162.924+4.68567-10≈3.50096+4.68567-10≈8.18663-10≈-1.81337
0.0153541000020.6=169.5320.6=3162.924
00°52`47.2``≈0.015354
x=-1.81337，-1.81337+10-4.68567-3=0.50096，logα``/1000=0.50096，
lgN≈0.50096，N≈3.162+0.075(0-0)+00.008≈3.162+0.0750+60≈3.162，
α``/1000=3.162，α=3.162/206=0.015349，
例如：
测量得到的电压DC0.016953V就表示0.016953弧度，
因为,0.0001=20.6``，0.0169531000020.6=169.5320.6=3492.318，00°58`17``≈0.016953，
所以，0.016953弧度就近似等于3492.318``，0.01695310000=169.5320.6=3492.318``，
计算α``/1000的公式如下：
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10[8.913+0.215(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
M≈94.27
下面这些公式可以从反正切对数表，通过数学归纳法推测出来，
α计算公式，其中logtanα=x，当-1.4987≤x<3.5363时，-1.4987≤x<3.5363，-2+0.5013≤x<3.5363，
x=-A.BCD，
如果-1.4987≤-A.BCD<-1.3，logtanα≈-A.BCD
那么，α≈1°49`+(4-B)22`+4`(10-C)+0.4`(10-D)
如果-1.3≤-A.BCD<-1.1，logtanα≈-A.BCD
那么，α≈2°53`+(2-B)55`+5`(10-C)+0.5`(10-D)
如果-1.1≤-A.BCD<-0.9，logtanα≈-A.BCD
那么，α≈4°33`+(10-B)1°10`+7`(10-C)+1`(10-D)
如果-0.9≤-A.BCD<-0.7，logtanα≈-A.BCD
那么，α≈7°11`+(8-B)2°+11`(10-C)+1`(10-D)
如果-0.7≤-A.BCD<-0.6，logtanα≈-A.BCD
那么，α≈11°17`+(7-7)0+18`(10-C)+1.5`(10-D)
如果-0.6≤-A.BCD<-0.4，logtanα≈-A.BCD
那么，α≈14°6`+(5-B)3°+24`(10-C)+2`(10-D)
如果-0.4≤-A.BCD<-0.2，logtanα≈-A.BCD
那么，α≈21°48`+(3-B)4°48`+35`(10-C)+3`(10-D)
如果-0.2≤-A.BCD<0，logtanα≈-A.BCD
那么，α≈32°18`+(1-B)5°36`+36`(10-C)+5`(10-D)
如果0≤A.BCD<0.2，logtanα≈A.BCD
那么，α≈45°+6°24`(B-1)+C36`+5`D
如果0.2≤A.BCD<0.4，logtanα≈A.BCD
那么，α≈57°48`+5°12`(B-2)+30`C+5`D
如果0.4≤A.BCD<0.6，logtanα≈A.BCD
那么，α≈68°18`+4°40`(B-3)+18`C+2`D
如果0.6≤A.BCDE<0.7，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈75°54`+17`D+2`E
如果0.7≤A.BCDE<0.8，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈78°43`+14`D+2`E
如果0.8≤A.BCDE<0.9，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈81°+12`D+1.5`E
如果0.9≤-A.BCDE<1.0，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈82°50`+10`D+1`E
如果1.0≤A.BCDE<1.2，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈84°18`+1°(B-0)+6`C+1`D
如果1.2≤A.BCDE<1.3，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈86°24`+5`C+0.5`D
如果1.3≤A.BCDE<1.4，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈87°8`+3.5`C+0.3`D
如果1.4≤A.BCDE<1.5，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈87°44`+3`C+0.2`D
如果1.5≤A.BCDE<1.6，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈88°12`+2`C+0.15`D
如果1.6≤A.BCDE<1.7，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈88°34`+1.8`C+0.15`D
如果1.7≤A.BCDE<1.8，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈88°52`+1.5`C+0.15`D
如果1.8≤A.BCDE<1.9，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°6`+1.2`C+0.1`D
如果1.9≤A.BCDE<2.0，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°17`+1`C+0.1`D
如果2.0≤A.BCDE<2.1，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°26`+0.7`C+0.1`D
如果2.1≤A.BCDE<2.2，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°33`+0.5`C+0.1`D
如果2.2≤A.BCDE<2.3，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°39`+0.3`C+0.08`D
如果2.3≤A.BCDE<2.4，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°43`+0.3`C+0.07`D
如果2.4≤A.BCDE<2.5，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°47`+0.25`C+0.07`D
如果2.5≤A.BCDE<2.6，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°50`+0.2`C+0.06`D
如果A.BCDE=2.6332，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°52`
如果A.BCDE=2.6912，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°53`
如果A.BCDE=2.7581，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°54`
如果A.BCDE=2.8373，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°55`
如果A.BCDE=2.9342，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°56`
如果A.BCDE=3.0592，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°57`
如果A.BCDE=3.2352，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°58`
如果A.BCDE=3.5363，logtanα≈A.BCDE
那么，α≈89°59`
例如：
logtanα≈-1.354
α≈1°49`+(4-3)22`+4`(10-5)+0.4`(10-4)≈1°49`+22`1+4`5+0.4`6≈2°33.4`
logtanα≈-1.125
α≈2°53`+(2-1)55`+5`(10-2)+0.5`(10-5)≈2°53`+45`+85`+0.5`5≈4°20.5`
logtanα≈-0.994
α≈4°33`+(10-9)1°10`+7`(10-9)+1`(10-4)≈4°33`+1°10`+7`9+1`(10-4)≈5°52`
logtanα≈-0.742
α≈7°11`+(8-7)2°+11`(10-4)+1`(10-2)≈7°11`+2°+11`6+1`(10-2)≈10°25`
logtanα≈-0.643
α≈11°17`+18`(10-4)+1.5`(10-3)≈11°17`+18`6+1.5(10-3)≈13°15.5`
logtanα≈-0.435
α≈14°6`+(5-4)3°+24`(10-3)+2`(10-5)≈14°6`+3°+24`7+2`(10-5)≈20°4`
logtanα≈-0.246
α≈21°48`+(3-2)4°48`+35`(10-4)+3`(10-6)≈21°48`+4°48`+35`6+3`(10-6)≈30°18`
logtanα≈-0.036
α≈32°18`+(1-0)5°36`+36`(10-3)+5`(10-6)≈32°18`+5°36`+36`7+5`(10-6)≈42°8`
logtanα≈0.157
α≈45°+16°24`+36`5+5`7≈45°+6°24`+36`5+5`7≈54°59`
logtanα≈0.374
α≈57°48`+(3-2)5°12`+30`7+5`4≈57°48`+5°12`+210`+20`≈66°50`
logtanα≈0.564
α≈68°18`+4°40`+18`6+2`4≈68°18`+4°40`+90`+8`≈74°36`
logtanα≈0.685
α≈75°54`+17`8+2`5≈75°54`+136`+10`≈78°20`
logtanα≈0.783
α≈78°43`+14`8+2`3≈78°43`+112`+6`≈80°41`
logtanα≈0.887
α≈81°+11`8+1.5`7≈81°+88`+10.5`≈82°38.5`
logtanα≈0.985
α≈82°50`+9`8+1`5≈82°50`+72`+5`≈84°7`
logtanα≈1.187
α≈84°18`+1°(1-0)+6`8+1`7≈84°18`+1°+48`+7`≈86°13`
logtanα≈1.285
α≈86°24`+5`8+0.5`5≈86°24`+40`+2.5`≈87°6.5`
logtanα≈1.384
α≈87°8`+3.5`8+0.3`4≈87°8`+28`+1.2`≈87°37.2`
logtanα≈1.486
α≈87°44`+3`8+0.2`6≈87°44`+24`+1.2`≈88°9.2`
logtanα≈1.587
α≈88°12`+2`8+0.15`7≈88°12`+16`+1.05`≈88°29.05`
logtanα≈1.685
α≈88°34`+1.8`8+0.15`5≈88°34`+14.4`+0.75`≈88°49.15`
logtanα≈1.783
α≈88°52`+1.5`8+0.15`3≈88°52`+12`+0.45`≈89°4.45`
logtanα≈1.883
α≈89°6`+1.2`8+0.1`3≈89°6`+9.6`+0.3`≈89°15.9`
logtanα≈1.987
α≈89°17`+1`8+0.1`7≈89°17`+8`+0.7`≈89°25.7`
logtanα≈2.086
α≈89°26`+0.7`8+0.1`6≈89°26`+5.6`+0.6`≈89°32.2`
logtanα≈2.184
α≈89°33`+0.5`8+0.1`4≈89°33`+4`+0.4`≈89°37.4`
logtanα≈2.287
α≈89°39`+0.3`8+0.08`7≈89°39`+2.4`+0.56`≈89°41.96`
logtanα≈2.383
α≈89°43`+0.3`8+0.07`3≈89°43`+2.4`+0.21`≈89°45.21`
logtanα≈2.485
α≈89°47`+0.25`8+0.07`3≈89°47`+2`+0.21`≈89°49.21`
logtanα≈2.586
α≈89°50`+0.2`8+0.06`3≈89°50`+1.6`+0.18`≈89°51.78`
反余切对数计算电路
logcotα=x计算公式，当-4+0.4637
如果if-3.5363
logcosα=log(90°-α)``+S，logcotα=log(90°-α)``+T，
上式中，T=4.68567，
90°-α=MN°WS`T``，(90°-α)``=3600MN+60WS+T，log(90°-α``)/1000=lgA.BC，
log(90°-α)``=x-T+10，log(90°-α)``/1000=x-T-3+10，log(90°-α)``/1000=x-4.68567-3+10，
那么，logcotα=log(90°-α)``/1000+3+4.68567-10=lgA.BC+3+4.68567-10
计算α时，首先计算x-T-3+10,
再用反对数计算得到(90°-α)``/1000,因为log(90°-α)``/1000=x-4.68567-3，
再用下面的公式将弧度化为度，90°-α=MN°WS`T``，(90°-α)``=3600MN+60WS+T，
例如:
logcot89°54`37.362``=log322.638+4.68558-10≈2.50871+4.68558-10≈7.19429-10≈-2.80571，
logcot89°54`37.362``=log322.6+4.68567-10≈2.50871+4.68567-10≈7.19429-10≈-2.80571
x=-2.80571，-2.80571+10-4.68567-2=0.50871，log(90°-α)``/1000=0.50871，
(90°-α)``/100=3.162+0.0750+0.0088=3.226，(90°-α)``=322.6``，322.6``=0°5`22.6``，
α=90°-0°5`22.6``=89°54`37.3``，α=0.3226/206=0.001566，
lgN≈0.50871，N≈3.162+0.075(0-0)+00.08≈3.162+0.0750+00.08≈3.226，
计算(90°-α)``/1000的公式如下：
下面这些公式可以从反对数表，通过数学归纳法推测出来
lgN=0.ABC
如果0.00≤0.ABC<0.05
那么，N≈1.0+0.024(B-0)+0.003C
如果0.05≤0.ABC<0.10
那么，N≈1.122+0.027(B-5)+0.003C
如果0.10≤0.ABC<0.15
那么，N≈1.259+0.032(B-0)+0.003C
如果0.15≤0.ABC<0.20
那么，N≈1.413+0.035(B-5)+0.004C
如果0.20≤0.ABC<0.25
那么，N≈1.585+0.038(B-0)+0.004C
如果0.25≤0.ABC<0.30
那么，N≈1.778+0.042(B-5)+0.004C
如果0.30≤0.ABC<0.35
那么，N≈1.995+0.048(B-0)+0.005C
如果0.35≤0.ABC<0.40
那么，N≈2.239+0.054(B-5)+0.005C
如果0.40≤0.ABC<0.45
那么，N≈2.512+0.062(B-0)+0.006C
如果0.45≤0.ABC<0.50
那么，N≈2.818+0.068(B-5)+0.007C
如果0.50≤0.ABC<0.55
那么，N≈3.162+0.075(B-0)+0.008C
如果0.55≤0.ABC<0.60
那么，N≈3.548+0.086(B-5)+0.009C
如果0.60≤0.ABC<0.65
那么，N≈3.981+0.097(B-0)+0.010C
如果0.65≤0.ABC<0.70
那么，N≈4.467+0.109(B-5)+0.011C
如果0.70≤0.ABC<0.75
那么，N≈5.012+0.120(B-0)+0.012C
如果0.75≤0.ABC<0.80
那么，N≈5.623+0.138(B-5)+0.014C
如果0.80≤0.ABC<0.85
那么，N≈6.310+0.152(B-0)+0.016C
如果0.85≤0.ABC<0.90
那么，N≈7.079+0.172(B-5)+0.018C
如果0.90≤0.ABC<0.95
那么，N≈7.943+0.194(B-5)+0.019C
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
因为
lgN≈0.ABC
如果0.95≤0.ABC<1.00
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
所以
lgM≈1.ABC
lgN10≈1.ABC
M=N10
那么，N≈8.913+0.215(B-5)+0.021C
M≈10N≈10[8.913+0.215(B-5)+0.021C]
例如,
lgN≈0.028
N≈1.0+0.024(2-0)+80.003≈1.0+0.0242+80.003≈1.072
lgN≈0.074
N≈1.122+0.027(7-5)+40.003≈1.122+0.0272+40.003≈1.188
lgN≈0.125
N≈1.259+0.032(2-0)+50.003≈1.259+0.0272+50.003≈1.328
lgN≈0.174
N≈1.413+0.035(7-5)+40.004≈1.413+0.0352+40.004≈1.4993
lgN≈0.226
N≈1.585+0.038(2-0)+60.004≈1.585+0.0382+60.004≈1.679
lgN≈0.272
N≈1.778+0.042(7-5)+80.004≈1.778+0.0412+80.004≈1.892
lgN≈0.326
N≈1.995+0.048(2-0)+60.005≈1.995+0.0482+60.005≈2.121
lgN≈0.373
N≈2.239+0.055(2-0)+30.005≈2.239+0.0542+30.005≈2.362
lgN≈0.425
N≈2.512+0.062(2-0)+50.006≈2.512+0.0622+50.006≈2.666
lgN≈0.474
N≈2.818+0.068(7-5)+40.007≈2.818+0.0682+40.007≈2.982
lgN≈0.526
N≈3.162+0.075(2-0)+60.008≈3.162+0.0752+60.008≈3.36
lgN≈0.578
N≈3.548+0.086(7-5)+80.009≈3.548+0.0862+80.009≈3.792
lgN≈0.624
N≈3.981+0.097(2-0)+40.010≈3.981+0.0972+40.010≈4.215
lgN≈0.678
N≈4.467+0.109(7-5)+80.011≈4.467+0.1092+80.011≈4.773
lgN≈0.726
N≈5.012+0.120(2-0)+60.012≈5.012+0.1202+60.012≈5.324
lgN≈0.778
N≈5.623+0.138(7-5)+80.014≈5.623+0.1382+80.014≈6.011
lgN≈0.825
N≈6.310+0.152(2-0)+50.016≈6.310+0.1522+50.016≈6.694
lgN≈0.874
N≈7.079+0.172(2-0)+40.018≈7.079+0.1722+40.018≈7.495
lgN≈0.926
N≈7.943+0.194(2-0)+60.019≈7.943+0.1942+60.019≈8.445
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
其它大于10的反对数可以通过下面的公式计算得到
因为,
lgN≈0.974
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
所以
lgM≈1.974
lgN10≈1.974
M=N10
N≈8.913+0.215(2-0)+40.021≈8.913+0.2152+40.021≈9.427
M≈94.27
下面这些公式可以从反余切对数表，通过数学归纳法推测出来
α计算公式，其中logcotα=x，当-2+0.5013≤x<3.5363时，
-1.4987≤x<3.5363，-2+0.5013≤x<3.5363，
x=-A.BCD，
如果A.BCDE=3.5363，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°1`
如果A.BCDE=3.2352，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°2`
如果A.BCDE=3.0592，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°3`
如果A.BCDE=2.9342，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°4`
如果A.BCDE=2.8373，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°5`
如果A.BCDE=2.7581，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°6`
如果A.BCDE=2.6912，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°7`
如果A.BCDE=2.6332，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°8`
如果2.5≤A.BCDE<2.6，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°8`+0.2`(10-C)+0.06`(10-D)
如果2.4≤A.BCDE<2.5，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°10`+0.25`(10-C)+0.07`(10-D)
如果2.3≤A.BCDE<2.4，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°13`+0.3`(10-C)+0.07`(10-D)
如果2.2≤A.BCDE<2.3，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°13`+0.3`(10-C)+0.07`(10-D)
如果2.1≤A.BCDE<2.2，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°21`+0.5`(10-C)+0.1`(10-D)
如果2.0≤A.BCDE<2.1，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°27`+0.7`(10-C)+0.1`(10-D)
如果1.9≤A.BCDE<2.0，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°34`+1`(10-C)+0.1`(10-D)
如果1.8≤A.BCDE<1.9，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°43`+1.2`(10-C)+0.1`(10-D)
如果1.7≤A.BCDE<1.8，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈0°54`+1.5`(10-C)+0.15`(10-D)
如果1.6≤A.BCDE<1.7，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈1°8`+1.8`(10-C)+0.15`(10-D)
如果1.5≤A.BCDE<1.6，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈1°26`+2`(10-C)+0.15`(10-D)
如果1.4≤A.BCDE<1.5，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈1°48`+3`(10-C)+0.2`(10-D)
如果1.3≤A.BCDE<1.4，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈2°16`+3.5`(10-C)+0.3`(10-D)
如果1.2≤A.BCDE<1.3，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈2°52`+5`(10-C)+0.5`(10-D)
如果1.0≤A.BCDE<1.2，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈3°36`+50`(1-B)+6`(10-C)+1`(10-D)
如果0.9≤-A.BCDE<1.0，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈5°42`+9`(10-D)+1`(10-E)
如果0.8≤A.BCDE<0.9，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈7°10`+10`(10-D)+1.5`(10-E)
如果0.7≤A.BCDE<0.8，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈9°+11`(10-D)+1.5`(10-E)
如果0.6≤A.BCDE<0.7，logcotα≈A.BCDE
那么，α≈11°17`+12`(10-D)+2`(10-E)
例如，
logcotα≈2.586
α≈0°8`+0.2`(10-8)+0.06`(10-6)≈0°8`+0.4+0.24`≈0°8.64`
logcotα≈2.485
α≈0°10`+0.25`(10-8)+0.07`(10-5)≈0°10`+0.25`2+0.35`≈0°10.87`
logcotα≈2.383
α≈0°13`+0.3`(10-8)+0.07`(10-3)≈0°13`+0.3`2+0.07`7≈0°14.09`
logcotα≈2.287
α≈0°17`+0.3`(10-8)+0.08`(10-7)≈0°17`+0.3`2+0.08`3≈17.84`
logcotα≈2.184
α≈0°21`+0.5`(10-8)+0.1`(10-4)≈0°21`+0.5`2+0.1`6≈0°22.6`
logcotα≈2.086
α≈0°27`+0.7`(10-8)+0.1`(10-6)≈0°27`+0.7`2+0.1`4≈0°28.8`
logcotα≈1.987
α≈0°34`+1`(10-8)+0.1`(10-7)≈0°34`+2`+0.3`≈0°36.3`
logcotα≈1.883
α≈0°43`+1.2`(10-8)+0.1`(10-3)≈0°43`+1.2`2+0.1`7≈0°46.1`
logcotα≈1.783
α≈0°54`+1.5`(10-8)+0.15`(10-3)≈0°54`+1.5`2+0.15`7≈0°58.05`
logcotα≈1.685
α≈1°8`+1.8`(10-8)+0.15`(10-5)≈1°8`+1.8`2+0.15`5≈1°12.35`
logcotα≈1.587
α≈1°26`+2`(10-8)+0.15`(10-7)≈1°26`+2`2+0.15`3≈1°30.45`
logcotα≈1.486
α≈1°48`+3`(10-8)+0.2`(10-6)≈0°48`+3`2+0.2`4≈0°54.8`
logcotα≈1.384
α≈2°16`+3.5`(10-8)+0.3`(10-4)≈2°16`+3.5`2+0.3`6≈2°23.2`
logcotα≈1.285
α≈2°52`+5`(10-8)+0.5`(10-5)≈2°52`+5`2+0.5`5≈3°4.5`
logcotα≈1.065
α≈3°36`+1°(1-0)+6`(10-6)+50`(10-5)≈3°36`+1°+24`+5`≈4°55`
logcotα≈0.985
α≈5°42`+9`(10-8)+1`(10-5)≈5°42`+18`+5`≈6°5`
logcotα≈0.887
α≈7°10`+10`(10-8)+1.5`(10-7)≈7°10`+20`+4.5`≈7°34.5`
logcotα≈0.783
α≈9°+11`(10-8)+1.5`(10-3)≈9°+22`+10.5`≈9°32.5`
logcotα≈0.685
α≈11°17`+12`(10-8)+1.5`(10-5)≈11°17`+24`+7.5`≈11°48.5`
logcotα≈0.464
α≈14°6`+4°30`+15`(10-6)+2`(10-4)≈14°6`+4°40`+72`+12`≈19°48`
logcotα≈0.274
α≈21°42`+(3-2)5°12`+25`(10-7)+5`(10-4)≈21°42`+5°12`+75`+30`≈28°39`
logcotα≈0.057
α≈32°12`+16°24`+34`(10-5)+5`(10-7)≈32°12`+6°24`+34`5+5`3≈41°41`
logcotα≈-0.136
α≈45°+(1-0)5°36`+36`3+5`6≈45°+5°36`+36`3+5`6≈47°54`
logcotα≈-0.358
α≈57°42`+(3-2)4°48`+33`5+3`8≈57°42`+4°48`+33`5+3`8≈66°39`
logcotα≈-0.567
α≈68°12`+(5-4)4°+24`6+2`7≈68°12`+4°+24`6+2`7≈74°50`
logcotα≈-0.643
α≈75°54`+18`4+1.5`3≈75°54`+18`4+1.53≈77°10.5`
logcotα≈-0.837
α≈78°43`+(8-7)2°+14`3+1`7≈78°43`+2°+14`3+1`7≈81°32`
logcotα≈-1.085
α≈82°49`+(10-9)1°10`+7`8+1`5≈82°49`+1°10`+7`8+1`5≈85°
logcotα≈-1.269
α≈85°27`+(2-1)55`+5`6+0.5`9≈85°27`+55`+65`+0.5`9≈86°56.5`
logcotα≈-1.445
α≈87°7`+(4-3)32`+4`4+0.4`5≈87°7`+32`1+4`4+0.4`5≈87°57`
sinα计算公式，当0°<α<90°时
sinα计算公式，当0°<α≤1°时
那么，sinα≈sin1°≈0.0175
sinα计算公式，当1°<α≤2°时
那么，sinα≈sin2°≈0.0349
sinα计算公式，当2°<α≤3°时
那么，sinα≈sin3°≈0.0523
sinα计算公式，当3°<α≤4°时
那么，sinα≈sin4°≈0.0698
sinα计算公式，当4°<α≤5°时
那么，sinα≈sin5°≈0.0872
sinα计算公式，当5°<α≤6°时
那么，sinα≈sin6°≈0.1045
sinα计算公式，当6°<α≤7°时
那么，sinα≈sin7°≈0.1219
sinα计算公式，当7°<α≤8°时
那么，sinα≈sin8°≈0.1392
sinα计算公式，当8°<α≤9°时
那么，sinα≈sin9°≈0.1564
sinα计算公式，当9°<α≤10°时
那么，sinα≈sin10°≈0.1736
sinα计算公式，当10°<α≤11°时
那么，sinα≈sin11°≈0.1908
sinα计算公式，当11°<α≤12°时
那么，sinα≈sin12°≈0.2079
sinα计算公式，当12°<α≤13°时
那么，sinα≈sin13°≈0.2250
sinα计算公式，当13°<α≤14°时
那么，sinα≈sin14°≈0.2419
sinα计算公式，当14°<α≤15°时
那么，sinα≈sin15°≈0.2588
sinα计算公式，当15°<α≤16°时
那么，sinα≈sin16°≈0.2756
sinα计算公式，当16°<α≤17°时
那么，sinα≈sin17°≈0.2924
sinα计算公式，当17°<α≤18°时
那么，sinα≈sin18°≈0.3090
sinα计算公式，当18°<α≤19°时
那么，sinα≈sin19°≈0.3256
sinα计算公式，当19°<α≤20°时
那么，sinα≈sin20°≈0.3420
sinα计算公式，当20°<α≤21°时
那么，sinα≈sin21°≈0.3584
sinα计算公式，当21°<α≤22°时
那么，sinα≈sin22°≈0.3746
sinα计算公式，当22°<α≤23°时
那么，sinα≈sin23°≈0.3907
sinα计算公式，当23°<α≤24°时
那么，sinα≈sin24°≈0.4067
sinα计算公式，当24°<α≤25°时
那么，sinα≈sin25°≈0.4226
sinα计算公式，当25°<α≤26°时
那么，sinα≈sin26°≈0.4384
sinα计算公式，当26°<α≤27°时
那么，sinα≈sin27°≈0.4540
sinα计算公式，当27°<α≤28°时
那么，sinα≈sin28°≈0.4695
sinα计算公式，当28°<α≤29°时
那么，sinα≈sin29°≈0.4848
sinα计算公式，当29°<α≤30°时
那么，sinα≈sin30°≈0.5000
sinα计算公式，当30°<α≤31°时
那么，sinα≈sin31°≈0.5150
sinα计算公式，当31°<α≤32°时
那么，sinα≈sin32°≈0.5299
sinα计算公式，当32°<α≤33°时
那么，sinα≈sin33°≈0.5446
sinα计算公式，当33°<α≤34°时
那么，sinα≈sin34°≈0.5592
sinα计算公式，当34°<α≤35°时
那么，sinα≈sin35°≈0.5736
sinα计算公式，当35°<α≤36°时
那么，sinα≈sin36°≈0.5878
sinα计算公式，当36°<α≤37°时
那么，sinα≈sin37°≈0.6018
sinα计算公式，当37°<α≤38°时
那么，sinα≈sin38°≈0.6157
sinα计算公式，当38°<α≤39°时
那么，sinα≈sin39°≈0.6293
sinα计算公式，当39°<α≤40°时
那么，sinα≈sin40°≈0.6428
sinα计算公式，当40°<α≤41°时
那么，sinα≈sin41°≈0.6561
sinα计算公式，当41°<α≤42°时
那么，sinα≈sin42°≈0.6691
sinα计算公式，当42°<α≤43°时
那么，sinα≈sin43°≈0.6820
sinα计算公式，当43°<α≤44°时
那么，sinα≈sin44°≈0.6947
sinα计算公式，当44°<α≤45°时
那么，sinα≈sin45°≈0.7071
sinα计算公式，当45°<α≤46°时
那么，sinα≈sin46°≈0.7193
sinα计算公式，当46°<α≤47°时
那么，sinα≈sin47°≈0.7314
sinα计算公式，当47°<α≤48°时
那么，sinα≈sin48°≈0.7431
sinα计算公式，当48°<α≤49°时
那么，sinα≈sin49°≈0.7547
sinα计算公式，当49°<α≤50°时
那么，sinα≈sin50°≈0.7660
sinα计算公式，当50°<α≤51°时
那么，sinα≈sin51°≈0.7771
sinα计算公式，当51°<α≤52°时
那么，sinα≈sin52°≈0.7880
sinα计算公式，当52°<α≤53°时
那么，sinα≈sin53°≈0.7986
sinα计算公式，当53°<α≤54°时
那么，sinα≈sin54°≈0.8090
sinα计算公式，当54°<α≤55°时
那么，sinα≈sin55°≈0.8192
sinα计算公式，当55°<α≤56°时
那么，sinα≈sin56°≈0.8290
sinα计算公式，当56°<α≤57°时
那么，sinα≈sin57°≈0.8387
sinα计算公式，当57°<α≤58°时
那么，sinα≈sin58°≈0.8480
sinα计算公式，当58°<α≤59°时
那么，sinα≈sin59°≈0.8572
sinα计算公式，当59°<α≤60°时
那么，sinα≈sin60°≈0.8660
sinα计算公式，当60°<α≤61°时
那么，sinα≈sin61°≈0.8746
sinα计算公式，当61°<α≤62°时
那么，sinα≈sin62°≈0.8829
sinα计算公式，当62°<α≤63°时
那么，sinα≈sin63°≈0.8910
sinα计算公式，当63°<α≤64°时
那么，sinα≈sin64°≈0.8988
sinα计算公式，当64°<α≤65°时
那么，sinα≈sin65°≈0.9063
sinα计算公式，当65°<α≤66°时
那么，sinα≈sin66°≈0.9135
sinα计算公式，当66°<α≤67°时
那么，sinα≈sin67°≈0.9205
sinα计算公式，当67°<α≤68°时
那么，sinα≈sin68°≈0.9272
sinα计算公式，当68°<α≤69°时
那么，sinα≈sin69°≈0.9336
sinα计算公式，当69°<α≤70°时
那么，sinα≈sin70°≈0.9397
sinα计算公式，当70°<α≤71°时
那么，sinα≈sin71°≈0.9455
sinα计算公式，当71°<α≤72°时
那么，sinα≈sin72°≈0.9511
sinα计算公式，当72°<α≤73°时
那么，sinα≈sin73°≈0.9563
sinα计算公式，当73°<α≤74°时
那么，sinα≈sin74°≈0.9613
sinα计算公式，当74°<α≤75°时
那么，sinα≈sin75°≈0.9659
sinα计算公式，当75°<α≤76°时
那么，sinα≈sin76°≈0.9703
sinα计算公式，当76°<α≤77°时
那么，sinα≈sin77°≈0.9744
sinα计算公式，当77°<α≤78°时
那么，sinα≈sin78°≈0.9781
sinα计算公式，当78°<α≤79°时
那么，sinα≈sin79°≈0.9816
sinα计算公式，当79°<α≤80°时
那么，sinα≈sin80°≈0.9848
sinα计算公式，当80°<α≤81°时
那么，sinα≈sin81°≈0.9877
sinα计算公式，当81°<α≤82°时
那么，sinα≈sin82°≈0.9903
sinα计算公式，当82°<α≤83°时
那么，sinα≈sin83°≈0.9925
sinα计算公式，当83°<α≤84°时
那么，sinα≈sin84°≈0.9945
sinα计算公式，当84°<α≤85°时
那么，sinα≈sin85°≈0.9962
sinα计算公式，当85°<α≤86°时
那么，sinα≈sin86°≈0.9976
sinα计算公式，当86°<α≤87°时
那么，sinα≈sin87°≈0.9986
sinα计算公式，当87°<α≤88°时
那么，sinα≈sin88°≈0.9994
sinα计算公式，当88°<α≤89°时
那么，sinα≈sin89°≈0.9998
sinα计算公式，当89°<α≤90°时
那么，sinα≈sin90°≈1.0000
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