【原】初中几何基本模型：对角互补的四边形

对角互补的四边形（共圆四边形）

模型判断：对角之和等于180°的四边形.

注意：对角互补的四边形共圆，可通过旋转、作垂线构造全等、相似三角形；作四边形的外接圆，借助隐形圆提高解题效率.

分类：按边分为邻边不等（构造相似）和邻边相等（构造全等，本节主要研究邻边相等，这也是接下来为研究半角模型作铺垫）；按角分为一般和特殊角度（60°、90°、120°）.

邻边相等基本模型

1.一组邻边相等+对角互补=角平分线

已知：∠B+∠D=180°,AB=AD.

结论：CA平分∠BCD,BE+CD=EC.

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证明：

方法一：借助对角互补的四边形共圆，很快可得出结论.

方法二：如图

作AE⊥BC于点E,AF⊥CD的延长线于点F.

∵∠B+∠ADC=180°，

  ∠ADC+∠ADF=180°，

∴∠B=∠ADF.

在△ABE和△ADF中，

∠B=∠ADF，∠AEB=∠AFD=90°,AB=AD,

∴△ABE≅△ADF.(AAS)

∴AE=AF,

∴CA平分∠BCD.

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逆命题：成立（知二求一）

(1)对角互补（共圆）+邻边相等的四边形⇒角平分线

(2)对角互补（共圆）+角平分线的四边形⇒邻边相等

(3)角平分线+邻边相等的四边形⇒对角互补（共圆）

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2.一组邻边相等+一对直角

总结：遇到此模型，常常联想到构造等腰直角三角形或正方形.

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3.一组邻边相等+一对角分别为60°、120°.

已知：∠BAD=60°，∠BCD=120°,AB=AD.

结论1：CA平分∠BCD.

证明：（常规方法）

方法1：如图②利用隐形圆（等弧所对的圆周角相等）；

方法2：过A点作CB、CD的垂线，在内外部构造直角三角形，证明全等.

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已知：∠BAD=60°，∠BCD=120°,AB=AD.

结论2：BC+CD=AC(△ACE、△ACF为等边三角形).

常规方法：利用旋转构造全等三角形.

需注意：虽然是旋转得到全等，旋转仅仅是直观演示过程.推理过程辅助线应写延长CD到E,使得DE=BC，连接AE.

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特殊方法：此模型为特殊结构含60°，也可以联想⇨链接：等边三角形手拉手旋转型全等.

构造等边△DAE、等边△DBC，利用手拉手旋转型全等.

可得：AD+AB=AC.

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构造等边△BAF、等边△BDC，利用手拉手旋转型全等.

可得：AD+AB=AC.

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总结：等边三角形手拉手旋转过程中，若A、C、E三点在同一直线时，则四边形ABCD为本节模型（一组邻边相等+一对角分别为60°、120°.）

邻边不等基本模型（构造相似）

已知：∠B+∠D=180°.

结论：△DAE∼△DCF.

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      在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。

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编辑 | 张旭