一、选择题1.（2019广西北部湾，12，3分）如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个
动点，连接OD，CE，DE，已知AB=2，BC=2，当CE+DE的值最小时，则的值为A.B.C.D.【答案】A.【思路分析】
首先作出C关于OB的对称点C′，连接C′D得出使DE+CE最小时E的位置，然后连接BD，OC交与点M，根据勾股定理以及等面积法求出
DM的长，进而得出BD的长，最后过点D作DD′⊥BC，由勾股定理求出CD′，由相似三角形的判定与性质可得，进而得出答案.【解答过程
】解：作C关于OB的对称点C′，连接DC′交OB于E.∵OB垂直平分C′C，∴CE=C′E.∵CE+DE=C′E+DE≥C′D，∴
C′、E、D三点共线时，DE+CE最小，最小值为C′D，∴图中点E为所求点.连接BD，OC交于M点.在Rt△ODC中，OC2=DO
2+CD2=9，∴OC=3.∵DM为Rt△ODC斜边上的高，根据面积相等，DM==，∴BD=2DM=.过D作DD′⊥BC，交于BC
延长线于D′，设CD′=x则DD′2=4-x2在Rt△DBD′中，BD′=2+x，DD′=，BD=，∴(2+x)2+4-x2=，∴
x=.∵BE∥DD′，∴，故选A.【知识点】作图-轴对称变换；勾股定理；相似三角形的判定与性质.2.（2019黑龙江哈尔滨，5，
3分）如图,PA、PB分别与⊙0相切于A、B两点,点C为⊙O上一点,连接AC、BC,若∠P=50°,则∠ACB的度数为（）
。A．60°B．75°C．70°D．65°【答案】D【解析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再
利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．解：连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、
B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB
＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．【知识点】切线的性质;圆周角定理3.（2019湖北仙桃，10，3分）如图，AB为⊙O的
直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△ED
A∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】解：连结DO
．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD
，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90
°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥
DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90
°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED?BC＝BO?BE，故④正确；故选：A．【
知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质4.（2019广西贺州，11，3分）如图，在中，是边上的点，以为圆心
，为半径的与相切于点，平分，，，的长是A．B．2C．D．【答案】A【解析】解：与相切于点，，，，，，平分，，，，，，，，，，，；
故选：A．【知识点】切线的性质;直角三角形的性质;等腰三角形的性质;平行线的判定与性质;锐角三角函数的定义5.（2019
四川泸州，11，3分）如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的
长是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，B
C，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E
共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE4，∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，
AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r，在Rt△BOE中，OB，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分
DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE?OBOE?BE，∴HE，∴DE＝2EH．故选：D．【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；三
角形的内切圆与内心二、填空题1.（2019广西河池，T16，F3分）如图，，是的切线，，为切点，，则．【答案】76．【思路分析
】由切线的性质得出，，得出，，由已知得出，再由三角形内角和定理即可得出结果．【解题过程】解：，是的切线，，，，，，；故答案为：76
．【知识点】切线的性质2.(2019海南,14题,4分)如图,O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧所对
的圆心角∠BOD的大小为________度.第14题图【答案】144【解析】∵O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,
D,∴OB⊥AB,OD⊥DE,∵正五边形每个内角为108°,∴∠O＝∠C+∠OBC+∠ODC＝108°×3－90°×2＝144°.
【知识点】正多边形,切线的性质3.．(2019内蒙古包头市，18题，3分)如图8，BD是圆O的直径，A是圆O外一点，点C在圆O上
，AC与圆O相切于点C，∠CAB=900，若BD=6，AB=4，∠ABC=∠CBD，则弦BC的长为.【答案】.【解题过程】解：连
接OC，CD，∵AC为切线，OC为半径，∴AC⊥OC，∴∠ACB+∠OCB=900，∵BD为直径，∴∠BCD=900，∴∠CBO+
∠D=900，又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC，∴∠ACB=∠D.又∵∠A=∠BCD=900,∴△ABC∽△CBD，∴，即BC
2=AB·BD=6×4=24，∴BC=.故答案为.【知识点】切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆的性质.4.（2019·江苏常
州，17，2）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切．连接OC，则tan∠OCB＝_________
_．第17题图【答案】．【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O与BC边相切于点D，连接OB、O
D．由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，再由切线长定理易求∠OBC＝30°，而OD＝，从而由tan∠OBD＝，得BD＝＝3，于是
CD＝BC－BD＝8－3＝5．在Rt△OCD中，由正切函数定义，得tan∠OCB＝＝．因此本题答案为．第17题答图【知识点】切线长
定理；等边三角形的性质；锐角三角函数5.（2019湖北荆州，15，3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交A
C的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的
长为．【答案】4和2.56【解析】解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，∴AB⊥BD，∴AB8，当∠AEP＝90°时，∵AE＝
EC，∴EP经过圆心O，∴AP＝AO＝4；当∠APE＝90°时，则EP∥BD，∴，∵DB2＝CD?AD，∴CD3.6，∴AC＝10
﹣3.6＝6.4，∴AE＝3.2，∴，∴AP＝2.56．综上AP的长为4和2.56．故答案为4和2.56．【知识点】勾股定理；切线
的性质三、解答题1.（2019广东深圳，23，9分）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（－3，0），C（－3，8），以线
段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD.（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点,连接C
F交⊙E于点G，连接BG：①当tan∠ACF=时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值.【思路分析】（1）连接DE，证明∠
EDO=90°，依据“经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线”得证；（2）①分两种情况：一是当F位于AB上时，构造相似，用含x
的式子分别表示未知线段，再根据tan∠ACF=列出方程求出F1的坐标；二是当F位于BA的延长线上时，同样方法求出F2的坐标；②方法
1：利用相似及勾股定理得出=，再令y=CG2·（64－CG2），求出y的最大值，进而得出的最大值；方法2：作GM⊥BC于点M，先证
明△CBF∽△CGB，再由相似三角形对应高的比等于相似比，得出的最大值；方法3：利用锐角三角函数，得出=，进而得出的最大值．【解题
过程】（1）证明：连接DE，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∴∠BDA=90°．∵OA=OB，∴OD=OA=OB，∴∠OBD=∠
ODB．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∴∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB，即∠EBO=∠EDO．∵CB⊥x轴，∴∠EB
O=90°，∴∠EDO=90°，∴直线OD为⊙E的切线．（2）∵A（3，0），B（－3，0），C（－3，8），∴AB=6，BC=8
，∴AC=10．如图1，当F位于AB上时，作F1N⊥CA于N，∵△ANF1∽△ABC，∴==，∴设AN=3x，则NF1=4x，AF
1=5x，∴CN=CA－AN=10－3x．∴tan∠ACF===，解得x=，∴AF1=5x=，OF1=3－=，即F1（，0）．如图
2，当F位于BA的延长线上时，作F2M⊥CA于M，∵△AMF2∽△ABC，∴设AM=3x，则MF2=4x，AF2=5x，∴CM=A
C+AM=10+3x，∴tan∠ACF===，解得x=，∴AF2=5x=2，OF2=3+2=5，即F2（5，0）．（3）方法1：△
CBG∽△CFB，∴==，BC2=CG·CF，CF=，∵CG2+BG2=BC2，BG2=BC2－CG2，∴==，∴=．令y=CG2
·（64－CG2），∴y=－CG4+64CG2=－（CG2－32）2+322，当CG2=32时，y最大值=322，此时CG=4，∴
的最大值为=．方法2：如图，作GP⊥BC于点P，∵BC是直径，∴∠CGB=∠CBF=90°，∴△CBF∽△CGB，∴==．∵PG≤
半径=4，∴=≤=．∴的最大值为．方法3：∵BC是直径，∴∠CGB=∠CBF=90°，∴∠CBG=∠CFB（记为α，其中0°＜α＜
90°）则==sinαcosα=sin2α≤，∴的最大值为．【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；二次函数的
最值问题2.（2019广西省贵港市，题号，分值8分）如图，在矩形中，以边为直径作半圆，交边于点，对角线与半圆的另一个交点为，连接
．（1）求证：是半圆的切线；（2）若，，求的长．【思路分析】（1）根据已知条件推出，根据相似三角形的性质得到，过作于，根据全等三角
形的性质得到，于是得到是半圆的切线；（2）根据切割线定理得到，求得，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解题过
程】（1）证明：在矩形中，，，，，，，，，，，，，过作于，，在与中，，，，是半圆的切线；（2）解：是的切线，是的割线，，，，，，，
，，，．【知识点】切线的判定与性质；矩形的性质3.（2019广西河池，T25，F10分）如图，五边形内接于，与相切于点，交延长线
于点．（1）若，，求证：；（2）若，，，求的长．【思路分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出，证明，即可
得出结论；（2）连接并延长交于，作于，则，由切线的性质得出，得出、是等腰直角三角形，得出，，由等边三角形的性质得出，由直角三角形的
性质得出，，即可得出答案．【解题过程】（1）证明：，，，在和中，，，；（2）解：连接并延长交于，作于，如图所示：则，与相切于点，，
，、是等腰直角三角形，，，，是等边三角形，，，，，．【知识点】切线的性质；圆周角定理4.（2019贵州省毕节市，题号26，分值1
4分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；（2
）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．【思路分析】（1）由PC为圆O的切线，
利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BCP＝∠A，由∠A的度数求出∠BCP的度数，进而确定出∠P的度数，再由PB＝BC，AB＝2B
C，等量代换确定出PB与PA的关系即可；（2）由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的关系．【解题过程】解：（1）∵AB是直
径∴∠ACP＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC∵PC是⊙O切线∴∠BCP＝∠A＝30°，∴∠P＝30°，∴PB＝BC，BC＝
AB，∴PA＝3PB（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B，∴∠BCP＝∠A，∵∠A+∠P
+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝180°﹣∠P，∴∠BCP＝（90°﹣∠P）【知识点】切线的性质
．5.（2019贵州黔西南州，22，12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．（1）
若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．
【思路分析】（1）由PC为圆O的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BCP＝∠A，由∠A的度数求出∠BCP的度数，进而确定出
∠P的度数，再由PB＝BC，AB＝2BC，等量代换确定出PB与PA的关系即可；（2）由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的
关系．【解题过程】解：（1）∵AB是直径∴∠ACP＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC∵PC是⊙O切线∴∠BCP＝∠A＝30°
，∴∠P＝30°，∴PB＝BC，BCAB，∴PA＝3PB（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A
、B，∴∠BCP＝∠A，∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝180°﹣∠P，∴∠BCP（
90°﹣∠P）【知识点】切线的性质内角和定理；圆周角定理；以及含30度直角三角形的性质6.（2019贵州遵义，23，4分）如图，
AB是O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC=BD，连接AD,BC。求证：△ADB≌△BCA；若OD⊥AC，AB=4，求弦AC的长
；在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP=2，连接PC，求证;PC是O的切线【思路分析】（1）∵AB是直径∴∠ACB=∠ADB=
90°，∵AC=BD,AB=AB，∴根据HL可以证明△ADB≌△BCA（2)如图，∵OD⊥AC，∴设交点为F，则根据垂径定理可得A
F=CF，弧AD=弧DC，∴∠DAC=∠DBA,∵△ADB≌△BCA∴∠DBA=∠CAB，∴∠DAC=∠CAB,可以证明AD=AO
,∴△ADO是等边三角形，从而可求AF=，进而AC=2（3）如图，连接OC，由（2）可证△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°=
∠CBP，∵CB=BP=2，∴∠P=30°，∴∠OCP=90°，∴CP是切线【解题过程】证明：∵AB是直径∴∠ACB=∠ADB=9
0°，∴△ADB和△BCA是直角三角形∵AC=BD,AB=AB，∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL)（2)如图，∵OD⊥AC，∴设
交点为F，∴AF=CF，弧AD=弧DC，∴∠DAC=∠DBA,∵△ADB≌△BCA∴∠DBA=∠CAB，∴∠DAC=∠CAB,∵∠
DAC+∠ADF=90°，∠CAB+∠AOF=90°，∴∠ADF=∠AOF∴AD=AO,∵AO=OD∴△ADO是等边三角形，∵AB
=4，∴AO=2，∴AF=，∴AC=2（3）如图，连接OC，由（2）∠AOD=∠DOC=60°∴∠COB=60°，∵OB=OC∴△
OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°=∠CBP，∵CB=BP=2，∴∠P=30°，∴∠OCP=90°，∴CP是切线【知识点】圆周
角定理，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定，全等三角形，勾股定理7.(2019黑龙江绥化,23题,7分)如图,AB为O的直径
,AC平分∠BAD,交弦BD于点G,连接半径OC交BD于点E,过点C的一条直线交AB的延长线于点F,∠AFC＝∠ACD.(1)求证
:直线CF是O的切线;(2)若DE＝2CE＝2,①求AD的长;②求△ACF的周长.(结果可保留根号)第26题图【思路分析】(1)根
据垂径定理得到OC⊥BD,再由BD∥CF得到OC⊥CF,从而证明CF是切线;(2)①由勾股定理求得圆的半径,进而得到AD长度;②由
相似三角形可得OF,AF的长度,由勾股定理求得AC的长,进而求出三角形的周长.【解题过程】(1)∵AC平分∠BAD,∴∠BAC＝∠
DAC,∴C是弧BD的中点,∴OC⊥BD,∴BE＝DE,∵∠AFC＝∠ACD,∠ACD＝∠ABD,∴∠AFC＝∠ABD,∴BD∥C
F,∴OC⊥CF,∵OC是半径,∴CF是切线;(2)①设OC＝x,∵DE＝2CE＝2,∴BE＝DE＝2,CE＝1,∴OE＝x－1,
在Rt△OBE中,(x－1)2+22＝x2,∴x＝2.5,∴OE＝1.5,∴AD＝2OE＝3.②连接BC,∵BD∥CF,∴,∵BE
＝2,OE＝1.5,OB＝OC＝2.5,∴CF＝,OF＝,∴AF＝,在Rt△BCE中,CE＝1,BE＝2,∴BC＝,∵AB是直径,
∴△ACB为直角三角形,∴AC＝,∴△ACF周长＝10+.第26题答图【知识点】垂径定理,勾股定理,中位线定理,相似三角形8.（
2019湖北十堰，22，8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE∠BA
C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．【思路分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90
°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得
．【解题过程】解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD∠
BAC，∵∠CDE∠BAC．∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°，∴∠ODC+∠
CDE＝90°∴∠ODE＝90°又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝
3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴，
即∴DE＝4，x，∴AC＝3x＝14，∴⊙O的半径为7．【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质；三角形相似的判定
和性质9.（2019湖北咸宁，21，9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，
BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG
的长．【思路分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OF
C＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；（2）连接DF，根据勾股定理得到BC4，根据圆周角定理得
到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．【解题过程】解：（1）FG与⊙O相切，理由：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°
，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠
OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG与⊙O相切；（2）连接DF，∵CD＝2.5
，∴AB＝2CD＝5，∴BC4，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BFBC＝2，∵sin∠AB
C，即，∴FG．【知识点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；垂径定理；直线与圆的位置关系10.（2019湖北孝感，23，10分）
如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线
交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．【思路分析】（1）根据三角形
内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF＝∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断DG∥AC；（2）
根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI得到DA＝DI；（3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到AD＝6，则D
I＝6，然后计算BD﹣DI即可．【解题过程】解：（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1∠AD
F，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6
，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA
，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．【知识点】圆周角定理；三
角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心11.（2019湖南湘西，25，12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O
的直径，与AB相交于点C，过点D作EF∥AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接BD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求
证：BD2＝AC?BF．【思路分析】（1）根据圆的对称性即可求出答案．（2）先证明△BCD∽△BDF，利用相似三角形的性质可知：，
利用BC＝AC即可求证BD2＝AC?BF．【解题过程】解：（1）∵AC＝BC，CD是圆的直径，∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BC
D，∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°，∵OD是圆的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵∠BDF+∠CDB＝∠
CDB+∠C＝90°，∴∠BDF＝∠CDB，∴△BCD∽△BDF，∴，∴BD2＝BC?BD，∵BC＝AC，∴BD2＝AC?BF．【
知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质12.如图，在中，，以为直径作交AC于点D，连接OD．（1）求证：；
（2）过点D作的切线，交BC于点E，若，求的值．第23题图【思路分析】第（1）问中，利用等腰三角形的性质，可以求出等腰的两个底角相
等，同理等腰的两个底角相等，利用等量替换，可以得到，所以；第（2）问中，利用切线的性质可得，因为，所以，利用圆周角定理，可得，所以
，最后通过勾股定理，可以求出的值．【解题过程】（1）证明：因为，所以，因为，所以，所以,所以．（2）解：连接BD，第23题答
图设BE=x，因为OD是的切线，所以，所以，因为，所以，所以，因为AB是的直径，所以，所以，因为，，所以，在Rt△BCD中，,在
Rt△BED中，,所以,在Rt△BED中，由勾股定理得，，在Rt△CED中，因为，所以，所以．【知识点】等腰三角形的性质
定理、直线与圆的位置关系、切线的性质定理、平行线的判定定理、圆周角定理、勾股定理．13.（2019年陕西省，23，8分）（本题8
分）如图，的半径为3，C是外一点，且，过点C作的两条切线，，切点分别为B，D，连接BO并延长交切线CD与点A．（1）求AD的长；（
2）若M是上一动点，求CM长的最大值，并说明理由．第23题答图（2）第23题答图（1）第23题图【思路分析】第（1）问中，通过
切线的性质定理可以知道，，再利用勾股定理可以求出BC的长，利用切线长定理可知，最后通过证明△AOB≌△COD，从而求出AD的长；第
（2）中，根据点与圆的位置关系可知，延长CO交与点M，此时CM最大．【解题过程】（1）证明：连接OD，因为BC，CD为的两条切
线，所以，，，所以，在Rt△OBC中，由勾股定理，得,因为,所以，在Rt△OBC与Rt△ODC中，因为，所以Rt△OBC≌Rt△O
DC，所以，，所以,在△ODA与△ODC中，因为，，，所以△ODA≌△ODC，所以．（2）CM的最大值为9，理由如下：因为点
C在外，M是上的一个动点，所以当点C，M，O三点在同一条直线，并且点C，M位于点O的两侧时，CM取得最大值．即延长CO交与点M，此
时CM最大,，所以CM的最大值为9．【知识点】圆的切线长定理、点与圆的位置关系、全等三角形的性质与判定、勾股定理．14.（20
19年广西柳州市，25，10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且＝，连接FB，FD，FD交AB于点
N．（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径；（2）求证：△BNF为等腰三角形；（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D
作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON?OP＝OE?OM．【思路分析】（1）连接BC，AC，AD，通过证明△ACE∽△CE
B，可得，可求BE的长，即可求⊙O的半径；（2）通过证明△ADE≌△NDE，可得∠DAN＝∠DNA，即可证BN＝BF，可得△BNF
为等腰三角形；（3）通过证明△ODE∽△ODM，可得DO2＝OE?OM，通过证明△PCO∽△CEO，可得CO2＝PO?ON，即可得
结论．【解题过程】（1）如图1，连接BC，AC，AD，∵CD⊥AB，AB是直径∴，CE＝DE＝CD＝3∴∠ACD＝∠ABC，且∠A
EC＝∠CEB∴△ACE∽△CEB∴∴∴BE＝9∴AB＝AE+BE＝10∴⊙O的半径为5（2）∵＝∴∠ACD＝∠ADC＝∠CDF，
且DE＝DE，∠AED＝∠NED＝90°∴△ADE≌△NDE（ASA）∴∠DAN＝∠DNA，AE＝EN∵∠DAB＝∠DFB，∠AN
D＝∠FNB∴∠FNB＝∠DFB∴BN＝BF，∴△BNF是等腰三角形（3）如图2，连接AC，CE，CO，DO，∵MD是切线，∴MD
⊥DO，∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE∴△MDO∽△DEO∴∴OD2＝OE?OM∵AE＝EN，CD⊥AO∴∠AN
C＝∠CAN，∴∠CAP＝∠CNO，∵∴∠AOC＝∠ABF∵CO∥BF∴∠PCO＝∠PFB∵四边形ACFB是圆内接四边形∴∠PAC
＝∠PFB∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE∴△CNO∽△PCO∴∴CO2＝PO?NO，∴ON?OP＝
OE?OM．【知识点】圆周角定理；垂径定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定和性质15.（2019贵州省安顺市，25，1
2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）判断D
H与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：点H为CE的中点；（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．第25题图【思路分析】（
1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰三角形的性质得BD＝CD，再证明OD为△ABC的中位线得
到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的
性质得∠DEC＝∠B，再证明∠DEC＝∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH＝EH；（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出
AC＝5，在Rt△CDH中可计算出CH＝，则CE＝2CH＝2，然后计算AC﹣CE即可得到AE的长．【解题过程】（1）解：DH与⊙O
相切．理由如下：连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，第25题答图∵AB＝AC，∴BD＝CD，而A
O＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线；4分（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DH⊥CE，∴CH＝EH，即
H为CE的中点；8分（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，∵cosC＝＝，∴AC＝5，在Rt△CDH中，∵cosC＝＝，∴C
H＝，∴CE＝2CH＝2，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．12分【知识点】圆周角定理、切线的判定定理，等腰三角形的判定与性质，三角
函数，解直角三角形16.(2019黑龙江大庆,23题,9分)如图,O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与O相交
于E,F两点,P是O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA＝∠ABC.(1)求证:PA是O的切线;(2)证明
:EF2＝4OD·OP;(3)若BC＝8,tan∠AFP＝,求DE的长.第27题图【思路分析】(1)由D是中点和垂径定理可得PA＝
PC,通过倒角,得到PA⊥AB,进而证明切线;(2)通过证明相似得到比例式,进而通过等量代换证明等积式;(3)由三角函数设出未知数
,得到方程,即可求得DE的长.【解题过程】(1)因为点D是AC中点,所以OD⊥AC所以PA＝PC,所以∠PCA＝∠PAC,因为AB
是O的直径,所以∠ACB＝90°,所以∠B+∠BAC＝90°,所以∠PAC+∠BAC＝90°,所以PA⊥AB,所以PA是O的切线;
(2)因为∠PAO＝∠ADO＝90°,∠AOD＝∠POA,所以△PAO∽△ADO,所以,所以AO2＝OD·OP,所以EF2＝AB2
＝(2AO)2＝4AO2＝4OD·OP;(3)因为tan∠AFP＝,在Rt△AFD中,设AD＝2x,FD＝3x,连接AE,易证△A
DE∽△FDA,所以ED＝AD＝x,所以EF＝x,EO＝x,DO＝x,又在△ABC中,DO为中位线,所以DO＝BC＝4,所以x＝4
,x＝,所以ED＝x＝.第27题图【知识点】切线的判定,相似三角形,三角函数,中位线17.（2019·江苏镇江，22，6）如图，
在△ABC中，AB＝AC，过AC的延长线的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD的长为半径的圆过点B．（1）求证
：直线AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BOD＝________．第22题图【思路分析】本题考查了圆的
切线的证明和三角函数的计算，解题的关键是掌握切线的判定方法及构造直角三角形．（1）连接OB，利用等腰三角形和三角形内角和证明∠AB
O＝90°即可；（2）先由勾股定理，求出OA的长，然后求出OC的长，最后在Rt△OCD中，利用正切定义进行计算即可．【解题过程】解
：（1）如答图，连接OB．∵OD⊥AO，∴∠DOC＝90°．∴∠D＋∠DCO＝90°．∵OB＝OD，AB＝AC，∴∠OBD＝∠D，
∠ABC＝∠ACB．又∵∠DCO＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DCO．∴∠OBD＋∠ABC＝90°，即∠ABO＝90°．又∵点B在⊙O
上，∴AB是⊙O的切线．第22题答图（2）∵AB＝5，⊙O的半径为12，∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA＝＝13．∴OC＝
OA－AC＝13－5＝8．∴在Rt△OCD中，tan∠BDO＝．【知识点】圆的切线的证明；三角函数的计算18.（2019辽宁本溪
，24，12分）如图点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外
接圆，连接DP.（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若tan∠PDC=，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长.【思
路分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用.
连接OD，可证△CDP≌△CBP，可得∠CDP=∠CBP，由∠CBP+∠BEC=90°，∠BEC=∠OED=∠ODE，可证出∠OD
P=90°，则DP是⊙O的切线；（2）先求出CE长，在Rt△DEF中可求出EF长，证明△DPE∽△FPD，由比例线段可求出EP长，
则OP可求出．【解题过程】（1）连接OD，∵正方形ABCD中，CD=BC，CP=CP，∠DCP=∠BCP=45°，∴△CDP≌△C
BP（SAS），∴∠CDP=∠CBP，∵∠BCD=90°，∴∠CBP+∠BEC=90°，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∠OE
D=∠BEC，∴∠BEC=∠OED=∠ODE，∴∠CDP+∠ODE=90°，∴∠ODP=90°，∴DP是⊙O的切线；（2）∵∠CD
P=∠CBE，∴tan∠CBE＝tan∠CDP＝＝，∴CE=×4＝2，∴DE=2，∵∠EDF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠F+
∠DEF=90°，∴∠F=∠CDP，在Rt△DEF中，=，∴DF=4，∴EF＝==2，∴OE＝，∵∠F=∠PDE，∠DPE=∠FP
D，∴△DPE∽△FPD，∴，设PE=x，则PD=2x，∴x(x+2)＝(2x)2，解得x=，∴OP=OE+EP=+=．【知识点】
全等三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；解直角三角形．19.（2019广西桂林，
25，10分）如图，是以为直径的的切线，为切点，平分，弦交于点，．（1）求证：是等腰直角三角形；（2）求证：（3）求的值．【思路分
析】（1）由切线的性质和圆周角定理可得，由角平分线的性质可得；（2）通过证明，可得，即可得结论；（3）连接，，，作，交于点，由外角
的性质可得，可求，由直角三角形的性质可得，即可求的值．【解题过程】解：（1）是以为直径的的切线，，平分，是直径，是等腰直角三角形；
（2）如图，连接，，，，（2）如图，连接，，，作，交于点，，，，，是直径，【知识点】圆周角定理;垂径定理;相似三角形的判定与性
质;锐角三角函数20.（2019广西贺州，25，10分）如图，是的直径，弦与相交于点，与相切于点，交的延长线于点，，，．（1）
求的度数；（2）求的长度．【思路分析】（1）由切线的性质得出，由圆周角定理好已知条件得出，证出，得出，求出，由圆周角定理即可得出结
果；（2）由垂径定理得出，得出，证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质得出，，求出，即可得出．【解题过程】解：（1）与相切于点
，，是的直径，，，，，，，，，，；（2），，，，，是等边三角形，，，，，，．【知识点】切线的性质；圆周角定理;等边三角形的判定与
性质;;垂径定理;直角三角形的性质21.（2019湖北荆州，22，10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半
径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．（1）求证：F
C是⊙O的切线；（2）当点E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若
tan∠ABC，且AB＝20，求DE的长．【思路分析】（1）连接OC，证明OC⊥CF即可；（2）①四边形BOCE是菱形，可以先证明
四边形BOCE是平行四边形，再结合半径相等得证四边形BOCE是菱形，也可以直接证明四条边相等得到四边形BOCE是菱形；②由三角函数
概念得tan∠ABC，可求得AC＝12，BC＝16，由垂径定理可求出BH；利用三角形面积公式求得PE＝BH＝8，再利用勾股定理或三
角函数求得OP，BP，DP，由DE＝PE﹣PD求出DE的长．【解题过程】解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OC
B，∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∵FC＝FD∴∠FCD＝∠FDC∵∠FDC＝∠BDP∴∠OCB
+∠FCD＝90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线．（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形
．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60
°，∵OB＝OE＝OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②若tan∠ABC，且A
B＝20，求DE的长．∵tan∠ABC，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4
k）2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，∴OE×BH＝OB×PE，即1
0×8＝10PE，解得：PE＝8，由勾股定理得OP6，∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，∵tan∠ABC，即DPBP3∴DE＝PE
﹣DP＝8﹣3＝5．【知识点】圆的切线的判定定理；垂径定理；等边三角形的性质；菱形的判定定理；勾股定理；解直角三角形22.（2
019湖南邵阳，25，8分）如图1，已知外一点向作切线，点为切点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过点作，分别交于点，交于点，
连接．（1）求证：；（2）如图2，当时①求的度数；②连接，在上是否存在点使得四边形是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明
理由．【思路分析】（1）由切线性质和直径可得，由可得，即可得：；（2）①连接，由可得是等边三角形，由此可得，；②作交于，可证为菱形
，求可转化为求．【解题过程】解：（1）证明：如图1，切于点，是的直径，（2）如图2，连接，①，是等边三角形②存在．如图2，过点作交
于，连接，，，由①得：，，四边形是平行四边形四边形是菱形【知识点】切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形
性质23.（2019江苏镇江，22，6分）如图，在中，，过延长线上的点作，交的延长线于点，以为圆心，长为半径的圆过点．（1）求证
：直线与相切；（2）若，的半径为12，则．【思路分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，证出，得出，即可得出结论；（2）由勾
股定理得出，得出，再由三角函数定义即可得出结果．【解题过程】解：（1）证明：连接，如图所示：，，，，，，，，，，即，，点在圆上，直
线与相切；（2）解：，，，，；故答案为：．【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；三角函
数定义24.（2019四川泸州，24，12分）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB?PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
【思路分析】（1）连接OC，△PBC∽△PCA，得出∠PCB＝∠PAC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，证出∠PCB+∠OCB＝
90°，即OC⊥PC，即可得出结论；（2）连接OD，由相似三角形的性质得出2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定
理得出方程，得出BC＝6，证出DE∥BC，得出△DOF∽△ACB，得出，得出OFOD，即AF，再由平行线得出，即可得出结果．【解题
过程】解：（1）证明：连接OC，如图1所示：∵PC2＝PB?PA，即，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴∠PCB＝∠PAC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图2所示：∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB?PA，∴PA40，∴AB＝PA﹣PB＝30，∵△PBC∽△PCA，∴2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6，即BC＝6，∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DFO＝∠ABC，∴△DOF∽△ACB，∴，∴OFOD，即AF，∵EF∥BC，∴，∴EFBC．【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质25.（2019四川省雅安市，23，10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=30°，AB=8，求线段CF的长．【思路分析】（1）连接OC，由切线的性质得出∠OBD=90°，由等腰三角形的性质得出∠DBE=∠DCE、∠OBE=∠OCE，得出∠OCD=∠OAD=90°，得到DC是⊙O的切线；（2）在Rt△COF中，求得∠COF=60°，由OC=4，利用正切求出CF的长．【解题过程】（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，∴∠1=∠2，∵AB是⊙O的直径，∴∠1=∠2=90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠DBE=∠DCE，又∵OC=OB，∴∠OBE=∠OCE，即∠DBO=∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO=90°，∴∠OCD=∠DBO=90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴∠3=60°，又OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF=60°，在Rt△COF中，tan∠COF=，∴CF=．【知识点】切线的性质与判定；等腰三角形；解直角三角形26.（2019江苏徐州，24，8分）【思路分析】（1）连接BC，构造垂径定理的基本图形，利用直径所对圆周角是直角等知识来解决问题；（2）利用垂直于半径的外端的直线是圆的切线来进行计算.【解题过程】解：（1）连接BD，∵D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴OD∥AE，∴∠A=∠DOB.第24题图（2）DE是⊙O的切线.∵BC⊥AE，DE⊥AC，∴DE∥BC，∵OD⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线.【知识点】圆的切线时代博雅解析时代博雅解析 |
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