一、选择题1.(2019山东泰安,11题,4分)如图,将O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若O的半径为3,则的长为A.B.C.2D.3第11
题图【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交于点E,由题可知OD＝DE＝OE＝OA,在Rt△AOD中,sinA＝＝,
∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,＝＝,故选C.第11题答图【知识点】折叠,三角函数,弧长公式2.(201
9山东枣庄,8,3分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积
是(结果保留)A.8－B.16－2C.8－2D.8－第8题图【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD中,BD是对角线,∴AD＝
AB＝4,∠BAD＝90°,∠ABE＝45°,∴S△ABD＝＝8,S扇形ABE＝＝8－2,故选C.【知识点】扇形的面积,不规则图形
的面积3.(2019四川巴中,9,4分)如图,圆锥的底面半径r＝6,高h＝8,则圆锥的侧面积是()A.15B.30C.4
5D.60第9题图【答案】D【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r＝6,h＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径
,底面周长为12,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝×10×12＝60,故选D.【知识点】勾股定理,圆周长公式,扇形面积公式4
.（2019四川省凉山市，11，4）如图，在△AOC中，OA=3cm，OC=lcm，将△AOC绕点D顺时针旋转90°后得到
△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为(▲)cm2A．B．2πC．D．第11题图【答案】B【思路分析】先
用三角形与扇形的面积和差表示AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积，再借助全等转化为扇环的面积，最后求出扇环的面积.【解析】AC边在
旋转过程中所扫过的图形的面积=S△OCA+S扇形OAB-S扇形OCD-S△ODB①,由旋转知：△OCA≌△ODB，∴S△OCA
=S△ODB,∴①式=S扇形OAB-S扇形OCD=-=2π，故选B.第11题答图【知识点】旋转性质；扇形面积5.（2019四
川省自贡市，11，4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似
看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A.B.C.D.【答案】C.【解析】解：由题意可
知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=,设CE=
k，则OC=CE=k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(
k)2=2πk2.∴==≈.【知识点】正多边形的有关计算，正多边形与圆6.（2019浙江湖州，5，3）已知圆锥的底面半径为5cm
，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【答
案】B．【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．【知识点】圆的有关计算；圆锥的侧面积
7.（2019浙江湖州，7，3）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（）A．60°
B．70°C．72°D．144°第7题图【答案】C．【解析】∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠AB
C＝∠C＝＝108°，CB＝CD．∴∠CBD＝∠CDB＝＝36°．∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝108°－72°＝36°．故选C
．【知识点】圆的内接正多边形有关计算；等腰三角形的性质；三角形内角和8.（2019浙江省金华市，9，3分）如图，物体由两个圆锥组
成，其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）A.2
B.C.D.（第9题图）【答案】D．【解析】∵∠A=90°，∠ABC=105°，∴∠ABD=45°，∠CBD
=60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD是等边三角形．设AB长为R，则BD长为R．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝lR，∴l＝
·∴下面圆锥的侧面积为lR＝··R＝．故选D．【知识点】圆锥的侧面积9.(2019浙江宁波,10题,4分)如图所示,矩形纸片ABC
D中,AD＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和
侧面,则AB的长为A.3.5cmB.4cmC.4.5cmD.5cm第10题图【答案】B【解析】＝,右侧圆的周长为,∵恰好能作为一个
圆锥的底面和侧面,∴,＝,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.【知识点】弧长,圆锥展开图10
.（2019浙江省衢州市，9，3分）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为（A）A.
1B.C.D.2【答案】C【解析】正多边形的相关计算，作AM⊥FC于M，由正六边形的性质得∠AFC=60°，因为sin∠AFM
=，所以AM=sin∠AFM×AF=×2=,AM的长即为纸带宽，故选C。【知识点】正六边形性质三角函数11.（2019江苏宿
迁，7，3分）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影
部分面积）是（）A．6πB．62πC．6πD．62π【答案】A【解析】解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣62）＝6π，
故选：A．【知识点】圆周角定理；正多边形和圆；扇形面积的计算12.（2019山东菏泽，11，3分）如图，⊙O中，，∠ACB＝75
°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2πB．2πC．4πD．2π【答案】A【解析】解：∵，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°
，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝
BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴ODOB，∴AD＝2，∴S△ABCBC?AD＝2，S△BO
CBC?OD，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝22，故选：A．【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算13.（201
9山东青岛，5，3分）如图，线段经过的圆心，，分别与相切于点，．若，，则的长度为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：连接、，，
分别与相切于点，．，，，，，，，，，，的长度为：，故选．【知识点】弧长的计算；切线的性质；等腰直角三角形的判定和性质，14.（2
019四川成都，9，3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重命），则∠CPD的度数为（）A．30
°B．36°C．60°D．72°【答案】B【解析】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD72°，∴∠CPD∠
COD＝36°，故选：B．【知识点】圆周角定理；正多边形和圆15.（2019四川广安，9，3分）如图，在中，，，，以为直径的半圆
交斜边于点，则图中阴影部分的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】解：在中，，，，，，为半圆的直径，，，，图中阴影部分的面积，
故选：．【知识点】扇形面积的计算；圆周角定理；含30度角的直角三角形16.（2019四川南充，7，3分）如图，在半径为6的中，点，
，都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】解：连接，四边形是平行四边形，，，是等边三
角形，，，，图中阴影部分的面积，故选：A．【知识点】扇形面积的计算；平行四边形的性质17.（2019四川资阳，8，4分）如图，直
径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π【答案】A【解析】解：圆所扫过
的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．【知识点】扇形面积的计算18.（2019浙江绍兴，8，4分）如图，内接于，，．若，则的
长为A．B．C．D．【答案】A【解析】解：连接，．，，，，的长为，故选：A．【知识点】弧长的计算；三角形的外接圆与外心；圆周角定
理19.（2019浙江温州，7，4分）若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为A．B．C．D．【答案】C【解析】解：该扇形的
弧长．故选：C．【知识点】弧长的计算二、填空题1.（2019江苏省无锡市，15，2）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15π，则
这个圆锥的底面圆半径为cm.【答案】3【解析】本题考查了圆锥的计算，∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，∴圆锥的侧面展
开扇形的弧长为：l6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r3cm，故答案为3．【知识点】圆锥计算2.（2019山东
滨州，17，5分）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为____________．【答案】【思路分析】根据题意画出图形，作一
条内切圆半径和一条外接圆半径，在组成的直角三角形中，利用勾股定理或锐角三角函数求值．【解题过程】如图，连接OE，作OM⊥EF于M，
则OE=EF，EM=FM，OM=2，∠EOM=30°，在Rt△OEM中，cos∠EOM=，∴=，解得OE=，即外接圆半径为．【知识
点】正六边形的性质；勾股定理；锐角三角函数3.(2019山东聊城,14,3分)如图是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位：
cm),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为________.第14题图【答案】120°【解析】由图可知,圆锥的底面周长为2,圆锥
的母线AC＝3,∴设圆锥侧面展开图圆心角的度数为n°,根据弧长公式可得2＝,n＝120.∴圆心角的度数为120.【知识点】勾股定理
,弧长公式4.(2019山东泰安,15题,4分)如图,∠AOB＝90°,∠B＝30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A,
点C,交OB于点D,若OA＝3,则阴影部分的面积为________.第15题图【答案】【解析】连接OC,过点C作CN⊥AO于点N,
CM⊥OB于点M,∠AOB＝90°,∠B＝30°,∴∠A＝60°,∵OA＝OC,∴△AOC为等边三角形,∵OA＝3,∴CN＝,CM
＝CN＝,∴S扇形AOC＝,S△AOC＝,在Rt△AOB中,OB＝OA＝3,S△OCB＝,∠COD＝30°,S扇形COD＝,S阴影
＝S扇形AOC－S△AOC+S△OCB－S扇形COD＝.第15题答图【知识点】扇形面积,三角形面积5.（2019山东省潍坊市，1
8，3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增
；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于
点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内相交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为．（n为正
整数）【答案】（n，）【思路分析】横坐标依次为1，2，3，4，…可以确定点Pn的横坐标，再根据勾股定理可确定点Pn的纵坐标．【解
题过程】由图可知点Pn的横坐标与它所在圆的半径相同，故点Pn的横坐标为n，点P1的纵坐标为，点P2的纵坐标为，……点Pn的纵坐标为
，∴点Pn的坐标为（n，）．【知识点】规律探索，图形与坐标6.（2019重庆市B卷，16，4）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4
，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是【答案】8-8【解题过程】
连结AE.∵在矩形ABCD中，AB=4,AD=2，∴AB=AD，∴∠EAD=∠EAB=45°，∴AE=AD=2,∴==×（8-
2）×2-×2×2=8-8【知识点】扇形面积的计算7.（2019重庆A卷，16，4）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于
点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果
保留）第16题图【答案】．【解析】∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，且∠BAD＝∠BCD＝120°．∴S
阴影＝2S正三角形ABC－2S阴影AEF＝2××22－2×＝．如下图：第16题答图【知识点】菱形；等边三角形的面积；扇形的面积．
8.（2019甘肃天水，16，4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0
，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为．【答案】2π﹣2【解析】解：连接AB，∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，∵OB＝2，∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝22，AB
＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO2×22π﹣2．故答案为：2π﹣2．【知识点】坐标与图形性质
；圆周角定理；扇形面积的计算9.（2019甘肃武威，16，4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示
的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．【答案】．【解析】解：如图：新的正方形的边长为，∴恒星的面积．故答案为．【知识点】扇形面
积10.（2019甘肃省，16，3分）如图，在中，，，点是的中点，以、为圆心，、长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面
积为．【答案】【解析】解：在中，，，，，是的中点，，，故答案为：【知识点】扇形面积11.（2019广东广州，15，3分）如图放
置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为．（结果保留π）【答案】【解析】解：∵某圆锥
的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，∴斜边长为2，则底面圆的周长为2π，∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，故答案为2π．【知识
点】等腰直角三角形；弧长的计算；圆锥的计算12.（2019湖北鄂州，13，3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥
的侧面积是．【答案】【解析】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，∴圆锥的母线长为5，∴圆锥的侧面积为π×55，故答案为：．【
知识点】圆锥的计算13.（2019湖北荆门，16，3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，A
C边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为．【答案】【解析】解：过A作AM
⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴AMBC2，∵AD＝AE＝1，∴AD
＝BD，AE＝CE，∴ENAM，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）2（），故
答案为：．【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算14.（2019江苏连云港，12，3分）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该
圆锥的侧面积为．【答案】【解析】该圆锥的侧面积．【知识点】圆锥的计算15.（2019江苏泰州，15，3分）如图，分别以正三角形
的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．．【答案
】6π.【解析】解：该莱洛三角形的周长＝36π（cm）．故答案为6π．【知识点】等边三角形的性质；弧长公式：l（弧长为l，圆心角
度数为n，圆的半径为R）．16.（2019江苏扬州，15，3分）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若
是的内接正边形的一边，则．【答案】15【解析】解：连接，是内接正六边形的一边，，是内接正十边形的一边，，，；故答案为：15．
【知识点】正多边形和圆17.（2019山东青岛，12，3分）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是．【答案】54【
解析】解：连接，是的直径，，五边形是的内接正五边形，，，，，，，故答案为：54．【知识点】正多边形和圆；圆周角定理18.（201
9江苏扬州，17，6分）如图，将四边形绕顶点顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为．【答案】【解析】解：由旋转
的性质得：，四边形四边形，则图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积；故答案为：．【知识点】旋转的性质；扇形
面积的计算三、解答题1.（2019浙江省衢州市，21，8分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC.以AC为直径作⊙O交BC于点D，
过点D作DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：DE是⊙O的切线。（2）若DE=，∠C=30°，求的长。【思路分析】（1）连结OD,根据
等腰三角形的性质及垂直的定义证明∠ODE=90°；（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，∠AOD=60°，利用三角函数求得B
D,CD，OC，利用弧长公式求得的长。【解题过程】（1）证明：如图，连结OD，∵OC=0D.AB-AC，∴∠1=∠C.∠C=∠B.
……1分∴∠1=∠B.…2分∵DE⊥AB，∴∠2+∠B=90°.∴∠2+∠1=90°，…3分∴∠ODE=90°，…4分∴DE为⊙O
的切线。（2）连结AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°.…5分∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，BD=CD.∴∠AOD
=60°.…6分∵DE=，∴BD=CD=2，∴0C=2…7分∴==π。…8分【知识点】切线判定三角函数弧长计算等腰
三角形的性质2.(2019四川巴中,19,8分)△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.①以点C为位似中心,作出△ABC的位似
图形△A1B1C,使其位似比为1:2,且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标;②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图
形△A2B2C;③在②的条件下,求出点B经过的路径长.第19题图【思路分析】①以点C为位似中心,延长AC,BC至A1,B1,使A1
C＝2AC,B1C＝2BC;②过点C作AC,BC的垂线,截取A2C＝AC,B2C＝BC,连接A2B2;③点B的路径为圆弧,半径为B
C的长,圆心角为90°,根据弧长公式可求.【解题过程】①如图所示即为所求的△A1B1C,点A1的坐标为(3,－3);②如图所示即为
所求的△A2B2C;③点B绕点C顺时针旋转90°,半径为BC＝,所以路径长为＝.第19题图【知识点】位似图形,旋转,弧长公式3.
(2019四川巴中,25,10分)如图,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心,OH为半
径的半圆交AC于点M.①求证:DC是O的切线;②若AC＝4MC且AC＝8,求图中阴影部分的面积;③在②的条件下,P是线段BD上的一
动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.第25题图【思路分析】①过点O作CD的垂线,通过证明其与半径相等,得到CD
是切线;②通过三角函数计算边长和圆心角度数,得到三角形和扇形的面积,可得阴影部分面积③根据轴对称的性质找到点P的位置,进而计算最小
值,利用三角函数求PD的长度.【解题过程】①过点O作OG⊥CD于点G,菱形ABCD中,AC是对角线,所以AC平分∠BCD,因为OH
⊥BC,所以OH＝OG,因为OH是O的半径,所以OG等于O的半径,所以CD是O的切线;第25题答图(1)②因为AC＝4MC且AC＝
8,所以OC＝2MC＝4,MC＝OM＝2,∴OH＝OM＝2,在Rt△OHC中,OH＝2,OC＝4,所以HC＝＝,tan∠HOC＝,
∴∠HOC＝60°,所以S阴影＝S△OCH－S扇形OHM＝＝－;③作点M关于BD的对称点N,连接HN交BD于点P,此时PH+PM的
值最小.因为ON＝OM＝OH,∠MOH＝60°,所以∠MNH＝30°,∠MNH＝∠HCM,所以HN＝HC＝,即PH+PM的最小值为
.在Rt△NPO中,OP＝ONtan30°＝,在Rt△COD中,OD＝OCtan30°＝,所以PD＝OP+OD＝.第25题答图(2
)【知识点】菱形性质,角平分线性质,切线判定,勾股定理,三角函数,扇形面积,轴对称性质4.（2019山东省淄博市，22，8分）如
图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．(1)求证：①BC是⊙O的切线；②CD
2＝CECA；(2)若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积。【思路分析】(1)①BC是⊙O的切线，需连接DO，再证
DO⊥BC；②由CD2＝CECA，需证＝,从而证△CDE∽△CAD；(2)由F为弧AD的中点可得△DFO、△AOF是等边三角形，由
此求出⊙O的半径.【解题过程】(1)①连接DO，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵DO＝AO，∴∠EAD＝∠ADO，∴∠
BAD＝∠ADO，∴BA∥DO，∴∠CDO＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠CDO＝90°，∴BC是⊙O的切线；②连DE，∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°，又∵∠ADB＋∠BAD＝90°，∠BAD＝∠DAE，∴∠CDE＝∠DAE，又∵∠
C＝∠C,∴△CDE∽△CAD，∴＝，∴CD2＝CECA；(2)连接OD、FO、DF，∵点F是劣弧AD的中点，∴＝，∴∠AOF＝∠
DOF，∠BAD＝∠ADF，∵∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD＝∠ADF，∴DF∥AC，∴∠AOF＝∠DFO，又∵∠DFO＝∠FDO
，∴∠DFO＝∠FDO＝∠DOF＝60°，又∴DF∥AC，∴S△DFA＝S△DFO,连DE，∴△DEO是等边三角形，∴∠CDE＝3
0°＝∠C，∴CE＝DE＝DO＝3，∴S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝π.【知识点】切线判定方法，相似三角形的判定，等边三角形判
定，等底等高的三角形面积相等，扇形面积计算.5.（2019山东滨州，25，13分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的
⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF?A
C；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．【思路分析】（1）如图所示，连接OD，证明∠CDF+∠ODB＝90
°，即可求解；（2）证明△CFD∽△CDA，则CD2＝CF?AC，即BC2＝4CF?AC；（3）S阴影部分＝S扇形OAE－S△OA
E即可求解．【解题过程】解：（1）如图所示，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵
DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线．………………………
………………………………………………4分（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，则DB＝DC＝．………………………………………
………………………………………6分∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠DFC＝∠ADC＝9
0°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF?AC，即BC2＝4CF?AC．…………………………………………………………8分（3）连
接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OEsin∠OEA
＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，…………12分S阴影部分＝S扇形OAE－S△OAE＝×π×42－4＝－4．…
……………………13分【知识点】圆周角定理及推论；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数6.（2019江苏省无锡市，24
，8）一次函数的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3.（1）求一次函数
的解析式；（2）求图中阴影部分的面积.第24题图【思路分析】本题考查一次函数与圆的综合题.（1）作MN⊥BO，先用由垂径定理求
OA得A的坐标，再利用解直角三角形求OB以及B的坐标，最求用待定系数法求一次函数的解析式；（2）转化为扇形面积与三角形面积的差即可
.【解题过程】解：（1）作MN⊥BO，由垂径定理得N为OB中点，MN=OA，∵MN=3，∴OA=6，即A（-6，0）.
∵sin∠ABO=，OA=6，∴OB=2，B（0，2），设y=kx+b，将A、B坐标代入得，解得，∴y=
x+2；（2）∵第一问解得∠ABO=60°，∴∠AMO=120°，所以阴影部分面积为S=.第24题答图【知识点】一次函数；垂径
定理；扇形面积7.（2019广东省，22，7分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的
三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、
BC、CF及所围成的阴影部分的面积．【思路分析】（1）根据勾股定理即可求得；（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2
＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF即可求得．【解题过程】解：（1）AB2，AC2，BC4；（2）由（
1）得，AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，连接AD，AD2，∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEFAB?ACπ?AD2＝20﹣
5π．【知识点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算8.（2019湖北宜昌，21，8分）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以
点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，B
C为边作?ABCD．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OHAH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；（3）若NHAH，BN，
连接MN，求OH和MN的长．【思路分析】（1）根据平行四边形的性质可知AD∥BC，证明OA⊥AD，又因为OA为半径，即可证明结论；
（2）利用锐角三角函数先求出∠OCH＝30°，再求出扇形OAC的面积，最后求出△OHC的面积，两部分面积相加即为重叠部分面积；（3
）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，在Rt△OHC中，利用勾股定理求出半径r，推出OH，再在Rt△ABH和Rt△ACH中利用
勾股定理分别求出AB，AC的长，最后证△BMN∽△BCA，利用相似三角形对应边的比相等即可求出MN的长．【解题过程】解：（1）证明
：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠AHC＝90°，∴∠HAD＝90°，即OA⊥AD，又∵OA为半径，∴AD是⊙O的
切线；（2）解：如右图，连接OC，∵OHOA，AH＝3，∴OH＝1，OA＝2，∵在Rt△OHC中，∠OHC＝90°，OHOC，∴∠
OCH＝30°，∴∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°，∴S扇形OAC，∵CH，∴S△OHC1，∴四边形ABCD与⊙O重叠部分的
面积＝S扇形OAC+S△OHC；（3）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，在Rt△OHC中，OH2+HC2＝OC2，∴（3﹣r
）2+12＝r2，∴r，则OH，在Rt△ABH中，AH＝3，BH1，则AB，在Rt△ACH中，AH＝3，CH＝NH＝1，得AC，在
△BMN和△BCA中，∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA，∴△BMN∽△BCA，∴即，∴MN，∴OH，MN．【知识点】切线的判定定理；
解直角三角形；扇形的面积与三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质9.（2019江苏宿迁，27，12分）如图①，在钝角△A
BC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1
）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AG
C的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点
G的运动路程．【思路分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出DE∥AC，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相
似即可．（2）利用相似三角形的性质证明即可．（3）点G的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可
．【解题过程】解：（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠D
BA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△D
BA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠C
OB，∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．以O
为圆心，OA为半径作⊙O，∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠AGC∠AOC，∴点G在⊙O上运动，以B为圆心，BD为半径作⊙
B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK，∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK，∴△BDK是等边三角形，∴∠DBK＝60°，∴∠DAB＝30°，∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，∴的长，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍．【知识点】相似三角形的判定和性质；弧长公式；等边三角形的判定和性质；圆周角定理10.（2019江苏扬州，25，10分）如图，是的弦，过点作，交于，．（1）求证：是的切线；（2）已知，点是上的一点．①求的度数；②若，求的长．【思路分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，根据三角形的内角和得到，于是得到结论；（2）①根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论；②根据弧长公式即可得到结论．【解题过程】解：（1）证明：连接，，，，，，，，，，，，是的切线；（2）解：①，，，，；②，，的长．【知识点】圆周角定理；弧长的计算；切线的判定与性质11.（2019山东德州，22，12分）如图，，点、分别在射线、上，，．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积．【思路分析】（1）过、分别作、的垂线，它们相交于，然后以为半径作即可；（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接，先证明，然后根据切线的判定方法判断、为的切线；（3）先证明为等边三角形得到，，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧与线段、围成的封闭图形的面积进行计算．【解题过程】解：（1）如图，（2）已知：如图，，点、分别在射线、上，，，过、分别作、的垂线，它们相交于，以为半径作，，求证：、为的切线；证明：，，，，连接，，，，，，、为的切线；（3），为等边三角形，，，平分，，，劣弧与线段、围成的封闭图形的面积．【知识点】扇形面积的计算；圆周角定理；切线的判定与性质；作图时代博雅解析时代博雅解析 |
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