一、选择题1.（2019湖南湘西，18，4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若
cos∠BDC，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．2【答案】D【解析】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC，设CD＝5x，
BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝
2；故选：D．【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形2.（2019黑龙江省龙东地区，18，3）如图，矩形ABCD的对角线A
C，BD相交于点O，AB︰BC＝3︰2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE，CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝（
）A．B．C．D．【答案】A【思路分析】求一个锐角的正切值，可将这个角置于一个直角三角形中，根据这个角的对边与邻边的
长来求，基于此，构造直角三角形即可.【解题过程】如图，作EF⊥DC，交DC的延长线于点F，∵AB︰BC＝3︰2，∴设AB=6,BC
=4，∵ABCD是矩形，∴DC=AB=6,∠BCD=90°，∴BD==,∴OD=OC=,∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OCEB
是平行四边形，∵OC=OB,∴四边形OCEB是菱形，∴CE=.∵CE∥BD，∴∠ECF=∠BDC，∴sin∠ECF=sin∠BDC
，∴,∴,∴EF=2,在Rt△CEF中，由勾股定理得CF=3，∴DF=DC+CF=6+3=9，∴tan∠EDC=,故选A.【知识点
】菱形的判定和性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数二、填空题1.(2019内蒙古包头市，17题，3分)如图7，在△ABC中，
∠CAB=550，∠ABC=250，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转700得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是
.【答案】1.【解析】解：在△ABC中，∠CAB=550，∠ABC=250，∴∠ACB=1800-∠CAB-∠ABC=1000，
∵△ABC绕A逆时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∠EAC=700，AC=AE,∴∠AED=∠ACB=1000，∠AEC
==550，∴∠DEC=∠AED-∠AEC=1000-550=450.∴tan∠DEC=tan450=1.故答案为1.【知识点】旋
转的性质，三角形内角和，特殊角三角函数.2.（2019年广西柳州市，17，3分）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB
＝3，则AC的长为．【答案】【思路分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角
形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长．【解题过程】过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sinB
＝，AB＝3，∴AD＝AB?sinB＝1，在Rt△ACD中，tanC＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为：．【
知识点】解直角三角形3.（2019江苏常州，17，2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连
接OC，则tan∠OCB＝．【答案】【解析】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠
OBC＝∠OBA∠ABC＝30°，∴tan∠OBC，∴BD3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB．故答案为．【知识点
】等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形4.（2019四川省雅安市，13，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=5，BC=4，则sinA=___________．【答案】【解析】根据正弦的定义直接求解，sinA=，故答案为．【知识点】
锐角三角函数三、解答题1.（2019贵州遵义，22，12分）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC,DE
，探究：S△ABC与S△ADE的比是否为定值两块三角板是完全相同的等腰三角形时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定
值，如果不是，说明理由（图①）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，
求出此定值，如果不是，说明理由（图②）两块三角板中，∠BAE+∠CAD=180°，AB=a,AE=b,AC=m,AD=n(a,b,
m,n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a,b,m,n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不
是，说明理由（图③）【思路分析】分别过点B作BN⊥AC于点M，DN⊥AE于点N，则S△ABC=,S△ADE=,根据同角的余角（或补
角）相等，可以证明∠BAM=∠DAE,∴BM=sin∠BAM,DN=sin∠DAE,所以S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）
,都是固定值.【解题过程】解：（1）是固定值1:1过点B作BN⊥AC于点M，DN⊥AE于点N，则S△ABC=,S△ADE=,∵∠B
AM+∠EAM=90°，∠DAE+∠EAM=90°∴∠BAM=∠DAE,∵BM=AB×sin∠BAM,DN=AD×sin∠DA
E,∴S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）∵△ABC和△ACD是完全相同的等腰直角三角形，∴AB=AC=AD=AE,∴S△A
BC：S△ADE=1:1（2）是固定值1:过点B作BN⊥AC于点M，DN⊥AE于点N，则S△ABC=,S△ADE=,∵∠BAM+∠
EAM=90°，∠DAE+∠EAM=90°∴∠BAM=∠DAE,∵BM=AB×sin∠BAM,DN=AD×sin∠DAE,∴S
△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）∵△ABC是等腰直角三角板，△ACD是另一块是含有30°角的直角三角板∴AB=AC=AE，
AD=AE,∴S△ABC：S△ADE=1:(3)是固定值(am):(bn)过点B作BN⊥AC于点M，DN⊥AE于点N，则S△ABC
=,S△ADE=,∵∠BAM+∠EAM+∠DAC=180°，∠DAE+∠EAM+∠DAC=180°∴∠BAM=∠DAE,∵BM=A
B×sin∠BAM,DN=AD×sin∠DAE,∴S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）∵AB=a,AE=b,AC=m,AD=
n∴S△ABC：S△ADE=(am):(bn)【知识点】三角函数，解直角三角形，同角的余角或补角相等2.如图，已知矩形ABCD中
，点E，F分别是AD，AB上的点，，且．（1）求证：．（2）若，求．第21题图【思路分析】根据矩形的性质定理，可得，所以，因为，所
以，所以，利用AAS即可证明与全等，所以，从而解得第（1）问；第（2）中，根据锐角三角函数的定义即可求出第（2）的答案．【解题过程
】（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以，所以，因为，所以，所以，在与中，因为所以≌，所以．（2）解：因为≌，所以,所以，所
以．【知识点】矩形的性质定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、锐角三角函数．3.（2019广西梧州，23，8分）如图，
在中，，为上一点，，，．（1）求的长；（2）求的值．【思路分析】（1）根据，可设，得，再由勾股定理列出的方程求得，进而由勾股定理求；（2）过点作于点，解直角三角形求得与，进而求得结果．【解题过程】解：（1），可设，得，，，解得，（舍去），或，，，，，；（2）过点作于点，，可设，则，，，解得，（舍，或，，．【知识点】解直角三角形的应用时代博雅解析时代博雅解析 |
|
