新高考数学创新好题主题一情境创新之知识综合学科知识综合1.[平面向量与三角函数综合]已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+b,则
sin=()A.B.C.D.2.[三角函数与数列综合]已知数列{an}的通项公式是an=f(),其中f(x)=s
in(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),f(x)的部分图象如图1-1所示,Sn为数列{an}的前n项和,则S2020的值为()A
.-1B.-C.1D.3.[逻辑联结词与二项式、正态分布综合]已知命题p:(x2-)n的展开式中,仅有第7项的二项式系数最大
,则展开式中的常数项为495.命题q:随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.7,则P(0<ξ<2)=0.3.现
给出四个命题:①p∧q,②p∨q,③p∧(?q),④(?p)∨q,其中真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④4.[数
列与平面向量综合]设{an}是首项为-10,公差为2的等差数列,{bn}是首项为-,公差为的等差数列.O为原点,向量=(-1,1)
,=(1,1),点Pn满足=an+bn(n∈N).若存在点Pk(k∈N)位于第一象限,则k=()A.5或6B.6C.7
D.6或75.[导数与三角函数综合]已知函数f(x)的定义域为R,f()=-,对任意的x∈R,满足f''(x)>4x.当α∈[0,2
π]时,不等式f(sinα)+cos2α>0的解集为()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)6.[函数与数列综合]
定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足:当0≤x<2时,f(x)=2x-x2;当x≥2时,f(x)=3f(x-2).若函数f(x)
的极大值点从小到大依次记为a1,a2,…,an,…,并记相应的极大值为b1,b2,…,bn,…,则a1b1+a2b2+…+a20b
20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+17.[椭圆与平面向量综合]已知椭
圆C:=1,F1,F2分别是其左、右焦点,若对椭圆C上的任意一点P,·>0恒成立,则实数m的取值范围为()A.(-3,0)∪(0
,3)B.[-3,0)∪(0,3]C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3]∪[3,+∞)8.[抛物线与平面向量综合
]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,直线PF与抛物线C交于M,N两点,若=4,则|MN|=()A.B
.3C.D.9图1-29.[立体几何与函数综合]如图1-2所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为3
的正方形,侧棱AA1=t,P为矩形CDD1C1上及内部的动点,M为BC的中点,∠APD=∠CPM,三棱锥A1-PCD的体积的最大值
记为V(t),则下列关于函数V(t)的结论正确的是()A.V(t)为奇函数B.V(t)在(0,+∞)上单调递增C.V(2)=3
D.V(3)=10.[双曲线与解三角形综合]已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,M是E上一点,且△AB
M为等腰三角形,其外接圆的半径为a,则双曲线E的离心率为()A.B.+1C.D.+111.[解三角形与平面向量、基本不等式综合]
已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a-b,sinC),n=(c-b,sinA+sinB),
m=λn(λ≠0),则tanC的最小值为()A.B.2C.D.12.[直线斜率与三角恒等变换综合]若正方形一条对角线所在直线的
斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为,.?13.[数列与双曲线综合]已知一族双曲线En:x2-y2=(n∈N,
n≤2019),设直线x=2与En在第一象限内的交点为An,点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记△AnBnCn的
面积为an,则a1+a2+a3+…+a2019=.?跨学科知识综合14.[数学与化学综合]溶液的酸碱度是通过pH来刻画的,已知
某溶液的pH等于-lg[H+],其中[H+]表示该溶液中氢离子的浓度,且该溶液中氢离子的浓度为10-6mol/L,则该溶液的pH
为()A.4B.5C.6D.715.[数学与物理综合]长江流域内某地南北两岸平行,如图1-3所示,已知游船在静水中的航行速度v1
的大小|v1|=10km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4km/h,设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π),若游船要从A航
行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cosθ等于()图1-3A.-B.-C.-D.-16.[数学与物理综合]体育锻炼是青少年
学习生活中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于图1-4所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为,每只胳膊的拉力大小均为400
N,则该学生的体重(单位:kg)约为()图1-4(参考数据:重力加速度大小取g=10m/s2,≈1.732)A.63kgB
.69kgC.75kgD.81kg17.[2020山东,4,5分][数学与地理综合]日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与
晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A
处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的
水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°图1-518.[数学与体育综合]台球运动已有五、六百年的历史,参与者
用球杆在台上击球.若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图1-5,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角
落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tanα的值为()A.B.C.或D.19.[2020
全国卷Ⅱ,12,5分][理][数学与通信技术综合]0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1
}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i
=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m
-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010…B.1
1011…C.10001…D.11001…20.[数学与化学综合]稠环芳烃类化合物中有不少致癌物质,比如学生钟爱的快餐油炸食品中会
产生苯并芘,它可看作是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳烃类化合物,长期食用会致癌.下面是一组稠环芳烃的结构简式和分子式:名称
萘蒽并四苯…并n苯结构简式……分子式C10H8C14H10C18H12……由此推断并十苯的分子式为.?答案主题一情境创新之知
识综合1.B解法一由已知知|a|=|b|=1,|c|=|a+b|==3,则cos=,因为∈(0,π),所以
sin=.解法二由题可设a=(1,0),b=(0,1),则c=(,),cos=,因为∈(0,π),
所以sin=,故选B.2.B由题图可得(T为f(x)的最小正周期),则T=π,ω==2.将(,-1)代入f(x)=si
n(2x+φ)中,可得+φ=2kπ+,k∈Z,则φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+).于是a
n=f()=sin,则{an}为周期为6的数列,因为a1=,a2=0,a3=-,a4=-,a5=0,a6=,所以S2020=33
6S6+(a1+a2+a3+a4)=0-=-.故选B.3.C对于命题p,(x2-)n的展开式中,仅有第7项的二项式系数最大,即最
大,所以n=12.展开式的通项公式为Tr+1=··=(-1)r··x24-3r,令24-3r=0,得r=8,故展开式中的常数项为(
-1)8·=495,所以p为真命题.对于命题q,根据正态分布的对称性可知P(0<ξ<2)=0.5-(1-0.7)=0.2,所以q为
假命题.所以p∧q,(?p)∨q为假命题,p∨q,p∧(?q)为真命题,即②③为真命题.故选C.4.D由已知得an=2n-12,
bn=-1.因为=an+bn=(2n-12)·(-1,1)+(-1)·(1,1)=(11-,-13),所以点Pn的坐标为(11-,
-13),可得Pk(11-,-13).若存在点Pk(k∈N)位于第一象限,则解得造函数g(x)=f(x)-2x2+1,则g''(x)=f''(x)-4x>0,所以函数g(x)在R上为增函数.因为f()=-,所以g
()=f()-2×()2+1=0.又f(sinα)+cos2α>0,所以g(sinα)=f(sinα)-2sin2α+1=
f(sinα)+cos2α>0=g(),所以sinα>.因为0≤α≤2π,所以<α<,所以不等式f(sinα)+cos2
α>0的解集为(,).故选D.6.A当0≤x<2时,f(x)=2x-x2=1-(x-1)2,可得f(x)的极大值点a1=1,极大
值b1=1,当2≤x<4,即0≤x-2<2时,可得f(x)=3f(x-2)=3[1-(x-3)2],可得a2=3,b2=3,当4≤
x<6,即0≤x-4<2时,可得f(x)=9f(x-4)=9[1-(x-5)2],可得a3=5,b3=9,…,即有a20=39,b
20=319.记S20=a1b1+a2b2+…+a20b20,则S20=1×1+3×3+5×9+…+39×319①,3S20=1
×3+3×9+5×27+…+39×320②,①-②得-2S20=1+2×(3+9+27+…+319)-39×320=1+2×-3
9×320,化简可得S20=19×320+1,故选A.7.C当点P为短轴上的顶点时,∠F1PF2最大,要使·>0恒成立,则∠F1
PF2为锐角,即∠F1PO<45°(O为坐标原点),即tan∠F1PO=<1,所以c29,所以93或m<-3,故选C.图D1-18.C解法一由题意,知l:x=-1,F(1,0).设P(-1,t)
,M(xM,yM),N(xN,yN),因为=4,所以(2,-t)=4(1-xM,-yM),所以解得因为MN为过抛物线焦点的弦,由焦
点弦的常用结论(详见主书P215【规律总结】)可得xM·xN==1,所以xN=2,所以xM+xN=.由抛物线的定义,得|MN|=x
M+xN+p=+2=,故选C.解法二设准线l与x轴交于点E,点N在第一象限,如图D1-1所示,作MM''⊥l于点M'',NN''⊥l
于点N'',则由抛物线的定义知,|MM''|=|MF|,|NN''|=|NF|.因为=4,所以|PF|∶|PM|=4∶3.因为△PFE∽
△PMM'',所以,即,解得|MF|=,所以|PF|=6.又△PFE∽△PNN'',所以,即,解得|NF|=3,所以|MN|=|MF|
+|NF|=+3=,故选C.9.D由题意知,AD⊥PD,MC⊥PC.因为∠APD=∠CPM,所以Rt△PDA∽Rt△PCM.又M
为BC的中点,所以=2,即PD=2PC,即PD2=4PC2.在平面DCC1D1中,以DC的中点为坐标原点,以DC所在直线为x轴,D
C的垂直平分线为y轴,以的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,则D(-,0),C(,0).设P(x'',y''
)(-≤x''≤,0≤y''≤t),则(x''+)2+(y'')2=4(x''-)2+4(y'')2,整理得(y'')2=-(x'')2+5x''-
,易知当x''=时,y''取得最大值.若0,则(S△PCD)max=.又A1到平面PCD的
距离为3,所以V(t)=所以V(t)为非奇非偶函数,故A错误;函数V(t)在(0,+∞)上不是单调函数,故B错误;V(2)=,故C
错误;V(3)=,故D正确.故选D.10.C解法一不妨设M在第一象限,M(x0,y0),因为△ABM是等腰三角形,所以结合图形
可知,只能|AB|=|BM|=2a.令∠MAB=θ,则∠AMB=θ,∠ABM=π-2θ,∠MBx=2θ,在△MAB中,由正弦定理可
得=2×a,所以sinθ=,则cos2θ=1-2sin2θ=,sin2θ=,则x0=a+2acos2θ=,y0=2asin
2θ=,即M(,).又点M在双曲线上,所以·=1,解得=2,则e2=1+=3,则e=,故选C.解法二不妨设M在第一象限,因为△
ABM是等腰三角形,所以结合图形可知,只能|AB|=|BM|=2a.令∠MAB=θ,则∠AMB=θ,∠ABM=π-2θ,∠MBx=
2θ,由正弦定理可得=2×a,所以sinθ=,则cosθ=,tanθ=,即kMA=,cos2θ=1-2sin2θ=,则si
n2θ=,tan2θ==2,即kMB=2,根据kMA·kMB=2=,得e2=1+=3,则e=,故选C.11.C∵m=λn(λ
≠0),∴m∥n,∴(a-b)(sinA+sinB)=sinC(c-b),由正弦定理得(a-b)(a+b)=c(c-b),整
理得a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cosA=.∵A∈(0,),∴A=,又C∈(0,),∴,∴tanC=tanC.∵△A
BC是锐角三角形,且A=,∴解得,∴tanC=tanC≥+2,当且仅当tanC,即tanC=2时等号
成立,故tanC的最小值为,选C.图D1-212.-3如图D1-2,以A为原点建系,AC的斜率为2,设AB的倾斜角为θ,
则AC的倾斜角为θ+,则tan(θ+)=2.kAB=tanθ=tan(θ+)=,则kAD=-=-3.所以正方形的两条邻边所在直线
的斜率分别为和-3.13.设An(x0,y0),可得.双曲线En:x2-y2=(n∈N,n≤2019)的渐近线方程为x-y=
0,x+y=0.已知点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,不妨设Bn在第一象限内,可得|AnBn|=,|AnCn|=,
易知双曲线En的两条渐近线互相垂直,可得AnBn⊥AnCn,则△AnBnCn的面积an=|AnBn|·|AnCn|=··,则a1+
a2+a3+…+a2019=×2019×2020=.14.C由题意可得,该溶液的pH为-lg10-6=6.故选C.15.B
设游船的实际速度为v,v1与河流南岸上游的夹角为α,v1=,v2=.以AD,AC为邻边作平行四边形如图D1-3所示,要使得游船
正好航行到B处,则|v1|cosα=|v2|,即cosα=.又θ=π-α,所以cosθ=cos(π-α)=-cosα=-,
故选B.16.B作出示意图,如图D1-4所示,设图中重力为G,两只胳膊的拉力分别为F1,F2,F1与F2的合力为F'',则|G|
=|F''|.由余弦定理得|F''|2=4002+4002-2×400×400×cos=3×4002(N2),解得|F''|=400
N.所以|G|=400N.所以该学生的体重约为≈69(kg).故选B.图D1-517.B过球心O,点A以及晷针的轴截面如图
D1-5所示,其中CD为晷面,GF为晷针所在直线,EF为点A处的水平面,GF⊥CD,CD∥OB,∠AOB=40°,∠OAE=∠O
AF=90°,所以∠GFA=∠CAO=∠AOB=40°.故选B.18.C由题意知,可分为两种,且仅有两种情况.第一种情况,球碰撞
CD与AB边内沿后进入角落C的球袋中,如图D1-6所示.根据台球碰撞障碍物后也遵从反射定律知,AE=EF=FC,于是根据图形的对
称性知E,F分别为CD与AB的三等分点,则DE=DC=AD,所以tanα=tan∠AED=.第二种情况,球碰撞BC与AD边内沿后
进入角落C的球袋中,如图D1-7所示.同理,由第一种情况的解法知M,N分别为BC,AD的三等分点,所以BM=BC=AB=AB,所
以tanα=.综上可知,选C.图D1-6图D1-719.C对于A,因为C(1)=,C(2)=,不满足C(k)≤,故A不正确;对于B,因为C(1)=,不满足C(k)≤,故B不正确;对于C,因为C(1)=,C(2)==0,C(3)==0,C(4)=,满足C(k)≤,故C正确;对于D,因为C(1)=,不满足C(k)≤,故D不正确.综上所述,故选C.20.C42H24因为表格中所给的稠环芳烃的分子式中C的下标分别是10,14,18,…,H的下标分别是8,10,12,…,所以表格中所给的稠环芳烃的分子式中C的下标构成等差数列,设为{am},则首项a1=10,公差为4,所以其通项公式为am=10+(m-1)·4=4m+6,表格中所给的稠环芳烃的分子式中H的下标构成等差数列,设为{bm},首项b1=8,公差为2,所以其通项公式为bm=8+(m-1)·2=2m+6.易知m=n-1,所以并n苯的分子式为C4n+2H2n+4(n≥4,n∈N),所以并十苯的分子式为C42H24.第8页共8页 |
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