初中数学图形相似解答题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共15题）
1、如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为-3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为，求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．
2、中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）当时，
①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
3、ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：△AME~△ABC；
（2）求证：；
（3）若AD=5，BC=7，求MN的长．
4、如图，，试求和的值．
5、已知，求的值．
6、已知x：y＝3：5，y：z＝2：3，求的值．
7、如图，AC是正方形ABCD的对角线，BE1⊥AC，E1F1⊥AB，F1E2⊥AC，E2F2⊥AB，F2E3⊥AC．
???(1)求AE3：AB的值．
(2)作E3F3⊥AB，F3E4⊥AC，…，Fn－lEn⊥AC，
求AEn：AB的值．
?
8、已知a+b+c=60，且，求a、b、c的值．
9、已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，DF=12．求DE和EF的长．
10、如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．
11、如图，，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点．从建筑物的顶点测得点的俯角为45°，从建筑物的顶点测得点的俯角为75°，测得建筑物的顶点的俯角为30°．若已知建筑物的高度为20米，求两建筑物顶点、之间的距离（结果精确到，参考数据：，）
12、我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB,点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为________（填一个实数）：
如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．
求证:点E是线段AB的黄金分割点
13、?如图F为平行四边形ABCD的AD延长线上一点，BF分别交CD、AC于G、E，若，求BE。
14、如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
15、北京国际数学家大会的会标如图2716所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．
(1)试说明大正方形与小正方形是否相似？
(2)若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求大正方形与小正方形的相似比．
============参考答案============
一、解答题
1、1）（，）；（2）（，）；（3）y=x2+2；（4）
【分析】
（1）根据点、的横坐标分别为、，可以先求的点和的坐标，平行线分线段成比例定理可以得到，然后即可得到点的坐标；
（2）根据点的横坐标为4，可以求得点的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，可以求得点的坐标，再根据（1）求中点坐标的方法可以求得点的坐标；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可以求得点和点的坐标与点坐标的关系，从而可以得到与的关系；
（4）将代入（3）中的函数关系式，可以求得点的横坐标的平方，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段的长．
【详解】
解：（1）点、在抛物线上，点、的横坐标分别为、，
当时，，
当时，，
即点的坐标为，点的坐标为，，
作轴于点，作轴于点，作轴于点，如图1所示，
则，
点为线段的中点，
，
由平行线分线段成比例，可得，
设点的坐标为，
则，
，
同理可得，，
点的坐标为，；
（2）点在抛物线上，点的横坐标为4，
点的纵坐标为：，
点的坐标为，
，，
作轴于点，作轴于点，如图2所示，
，，，
，，，
，
，
，
设点的坐标为，
，，
，
解得（舍去），，
点的坐标为，
中点的横坐标为：，纵坐标为，
线段中点的坐标为，；
（3）作轴于点，作轴于点，如图3所示，
由（2）知，，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
，
解得，，
点是线段的中点，
，，
，
，
即关于的函数解析式是；
（4）当时，，
，
，是直角三角形，点时斜边的中点，
，
即线段的长是．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题目．主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、中点坐标公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2、1）；（2）①成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析；
【分析】
（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得；
（2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得；
②如图3，过作，连接,交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得,
根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】
（1）如图1，
，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
即；
（2）①仍然成立，理由如下：
如图2，
，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即；
②四边形是平行四边形，理由如下：
如图3，过作，连接,交于点，
，，
，
，
，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3、1）见详解；（2）见详解；（3）
【分析】
（1）利用相似三角形的判定定理直接证明即可
（2）利用平行线分线段成比例定理，再证明，，根据三角形相似的性质即可解答．
（3）结合（2）的结论将AD=5，BC=7，代入即可求得MN的长
【详解】
（1）
，
（2），
E是MN的中点，ME=NE=
（3）结合（2）的结论，
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，利用比例的等量关系解题．
4、??
5、?
6、
7、(1)：8?(2)：2n
8、【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】设=k，根据比例性质得a=3k，b=4k，z=5k，再把a=3k，b=4k，z=5k代入a+b+c=60中得到k的方程，然后解此方程求出k的值，从而可得到a、b、c的值．
【解答】解：设=k，则a=3k，b=4k，z=5k，
∵a+b+c=60，
∴3k+4k+5k=60，解得k=5，
∴a=15，b=20，c=25．
【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
9、【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据行线分线段成比例的性质，得3：5=DE：（12﹣DE），先解出DE的长，就可以得到EF的长．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC=DE：EF，
∵AB=3，BC=5，DF=12，
∴3：5=DE：（12﹣DE），
∴DE=4.5，
∴EF=12﹣4.5=7.5．
【点评】主要考查了平行线分线段成比例的性质，要掌握该定理：两条直线被平行线所截，对应线段成比例．
10、证明见解析
【解析】
试题分析：根据平行线的性质得到∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，∠AED=∠B，等量代换得到∠AED=∠DFC，于是得到结论.
试题解析：∵ED∥BC,DF∥AB，
∴∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，
∴∠AED=∠B，
∴∠AED=∠DFC
∴△ADE∽△DCF
11、两建筑物顶点、之间的距离为35米．
【解析】
如图（见解析），先根据俯角的定义得出，，，，再根据平行线的性质、角的和差可得，，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，又在中，解直角三角形可得，最后根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】
如图，过点A作于点N
由题意得：，，，
，
，
，米
是等腰直角三角形
（米）
在中，，即
解得（米）
在中，
是等腰直角三角形
（米）
答：两建筑物顶点、之间的距离为35米．
【点睛】
本题考查了俯角的定义、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
12、（1）设长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP=x，则BP=1-x
??根据题意，得，解得，（舍去）
故
（2）设BC=a，则AB=2a
??
所以点E是线段AB的黄金分割点
13、解：设BE=x，
∵EF=32，GE=8，∴，
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，
∴，∴则①
∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，
∴代入①，
解得：x=±16（负数舍去），
故BE=16．
14、∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm．
【解析】利用相似多边形的性质：对应边的成相等，对应角相等，即可求解.
解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，，，
∴，
∴EH=28（cm）．
答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.
15、解：(1)因为正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所以大正方形和小正方形相似．
(2)设直角三角形的较长直角边长为a，较短的直角边长为b，则小正方形的边长为a－b.
所以
把②平方，得(a＋b)2＝25，即a2＋2ab＋b2＝25③.
所以③－①，得2ab＝12，即ab＝6.
因为(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13－12＝1，所以小正方形的面积为1，边长为1.
又因为大正方形的面积为13，则其边长为，所以大正方形与小正方形的相似比为∶1.
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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