初中数学二次函数的性质解答题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共17题）
1、在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系；
（3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由．
2、O为坐标原点，直线l：y＝﹣x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
3、与轴交于、两点，且，对称轴为直线．
（1）求该抛物线的函数达式；
（2）直线过点且在第一象限与抛物线交于点．当时，求点的坐标；
（3）点在抛物线上与点关于对称轴对称，点是抛物线上一动点，令，当，时，求面积的最大值（可含表示）．
4、交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．
（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
5、与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6、25元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如表：
时间t/ 2 3 10 20 日销售量m/ 96 94 80 60 这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：y＝t+30（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）求出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜6）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
7、O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋2ax＋5（a＜0）从左到右依次交x于点A、B，交y轴于点C，且AB＝8
（1）求a的值
（2）点D在第二象限的抛物线上，其横坐标为t，连接BD，交y轴于点E，设线段CE的长为d，求d与t之间的函数关系式
8、10元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设板栗售价为x元/千克（且为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，直接写出该日板栗的单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值．
（3）若政府每日给板栗经销商补贴a元后（a为正整数）发现只有4种不同的单价使日收入不少于395元且不超过400元，请直接写出a的值，（日收入＝销售额＋政府补贴）
9、的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图像上，轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b，c的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F''恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
10、过点，点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式及点的坐标；
（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．
11、xOy中，已知抛物线(k为常数）．
（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；
（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．
12、O为坐标原点，抛物线的顶点为（2，﹣），抛物线与轴的一个交点为A（4，0），点B（2，），点C与点B关于y轴对称．
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形的形状并证明；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化；请探究的大小变化并填写表格①④处的内容；在当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线的函数表达式 取的一个特殊值 满足条件的点的个数 的可能取值范围 ① 6 4 ③ ② 3个 10 2个 ④ 13、在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个．
14、y＝x2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，－3）．
（1）求二次函数的表达式及点A的坐标；
（2）点D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M，N，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
15、y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝，c＝．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．
16、y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17、c和一次函数的图象都经过点A（-3，0），且二次函数的图象经过点B（0，3），一次函数的图象经过点C（0，-1）．
（1）分别求m、n和b、c的值；
（2）点P是二次函数的图象上一动点，且点P在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
============参考答案============
一、解答题
1、1）x=-1；（2）=；（3）<．
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴与系数的关系可以直接求得对称轴为：x==-1；
（2）利用对称轴到点的距离进行判定y值即可；
（3）利用作差法，将表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可．
【详解】
解：（1）由题意得：对称轴x==-1；
（2）∵0＜a＜3，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴x=-1，
∴，
∴A、B两点到对称轴的距离相等，即：=
（3）由题意得：
=
=
=
=
∵0＜a＜3，x1＜x2
∴<0，
即：<．
【点睛】
本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的基础运算是解题的关键．
2、1）见解析；（2）y=x2x+2；（3）P的坐标（，0）、（，0）或（，4）．
【分析】
（1）根据已知条件求出A、C的坐标，得到∥，，结合点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，得到，则，从而得到，即可证AD＝CD；
（2）根据点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，求出E（，），得到直线CE的解析式，又D点在x轴上，求出D（，0），设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为，将B（4，2），D（，0），C（0，2）代入即得抛物线的解析式；
（3）分别计算S△PBC和S△OAE，利用S△PBC＝S△OAE列方程，求出P点的纵坐标，再代入抛物线得到P点的横坐标，即可求出P点的坐标．
【详解】
（1）证明：∵直线l：y＝﹣x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，B（4，2），
∴A（4，0），C（0，2）
∴∥
∴
∵点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，
∴
∴
∴
∴AD＝CD
（2）解：设OD=m，由对称可得CE=BC=4，AE=AB=OC=2，∠AED=∠B=90°，∴CD=AD=4-m，在Rt△OCD中，OD2+OC2=CD2，∴m2+22=（4-m）2，∴m=，∴D（，0），设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，把B（4，2），C（0，2），D（，0）代入得：
，
解得
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2x+2；
（3）存在，理由如下：
∴
∴
解得或
又x＞0
当时，代入y=x2x+2，得，
当时，代入y=x2x+2，得，（舍去）
综上，P的坐标（，0）、（，0）或（，4）
【点睛】
本题是二次函数与几何的综合题．需要大量的计算过程，找准关键点进行计算是本题的关键，一般出现在压轴题中，难度较大．
3、1）；（2）点的坐标是（6，7）；（3）当时，的最大面积为，当时，的最大面积为64
【分析】
（1）根据已知点和对称轴，用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）由得等腰直角三角形，从而求得坐标；
（3分情况讨论，在对称轴的左右两边，即当，时分别求得面积的最大值
【详解】
（1）∵抛物线过，对称轴为，
∴，
解得
∴抛物线表达式为．
（2）过点作轴于点，
∵，
∴，
设点的横坐标为，
则纵坐标为，
∴，
代入，得：
．
解得（舍去），，
∴
∴点的坐标是（6，7）．
（3）由（2）得的坐标是（6，7）
∵对称轴，
∴点的坐标是（－2，7），
∴，
∵与轴平行，点在轴下方，
设以为底边的高为
则，
∴当最大值时，的面积最大，
∵，，
①当时，，
此时在上随的增大而减小．
∴，
∴，
∴的最大面积为：
．
②当时，此时的对称轴
含于内
∴，
∴，
∴的最大面积为：
．
综上所述：当时，的最大面积为，
当时，的最大面积为64.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，二次函数求最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键．
4、1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；
（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；
（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】
解：（1）∵过，
∴
∴，
∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，
∵
对称轴．
∴，
，
∴，
∴
∴
∴
当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，，
∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，
联立
得
是等腰，
分别过两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,
,也是等腰直角三角形
设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
同理，设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，
设，则
整理得：
解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
，
综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
5、1）；（2）点或、点或点；（3）存在，M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）
【解析】
（1）根据二次函数表达式和已知坐标点代入计算即可，
（2）以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，分为两种情况：或，根据平行四边形对边相等且平行求解即可，
（3）先根据题意求出A点坐标和顶点坐标，根据B，C，D坐标点得知△BDC是直角三角形，且∠BCD＝，设点M得坐标（），则点G得坐标为，根据相似的性质分情况求解即可．
【详解】
解：（1）将点B（3，0），C（0，－3）分别代入中，
得：，
解得，
∴抛物线得函数关系为
（2）点或、点或点．
如图：
∵以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，
∴或，
∵点B（3，0），C（0，－3），
当时，则，
设对称轴与x轴交于点M，
∴，，
∴；
同理时，；
故答案为：；．
（3）当时，，
解得：，
∴A（－1，0）
又，
∴抛物线得顶点D得坐标为（1，－4）
∵C（0，－3）、B（3，0）、D（1，－4）
∴，
∴
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝
设点M得坐标（），则点G得坐标为，
根据题意知：
∠AMG＝∠BCD＝
∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件：
①当时，此时有：或
解得：或＝0，，都不符合，所以时无解．
②当时，此时有：或
解得：（不符合要求，舍去）或＝0，（不符合要求，舍去），所以M（）或M（0，0）
③当m＞3时，此时有：或
解得：（不符合要求，舍去）或（不符要求，舍去）
所以点M（6，0）或M（，0）
答：存在点M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M得坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．
【点睛】
此题考查二次函数相关知识，综合性较强，涵盖平行四边形性质和三角形相似及勾股定理，有一定难度．
6、1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）
【分析】
（1）由题意得，设，根据表格中的数据，代入求解即可；
（2）设日销售利润为元，求得与的关系式，根据二次函数的性质求解最大值即可；
（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质，求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得，设，将，代入解析式，得
，解得，即
故答案为：
（2）设日销售利润为元，则由题意可得，
∵，开口向下
∴当时，.
在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元
（3）由题意得：
，
∴对称轴为：，
∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，且，
∴，
∴，
又∵
∴.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
7、1）；（2）
【分析】
（1）先求出抛物线对称轴为，再根据AB＝8，则A、B到对称轴的距离为4，即可求出A（-5，0），B（3，0），然后把B点坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（2）由D的横坐标为t，得到过D作DH⊥x轴于点H，则，OH＝-t，再由，即，进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线的解析式为y＝ax2＋2ax＋5
∴抛物线的对称轴为直线
∴A、B关于直线x＝-1对称
∵AB＝8，
∴A、B到对称轴的距离为4，
∴A（-5，0），B（3，0），
∴把B点坐标代入抛物线解析式得：9a＋6a＋5＝0，
∴
（2）∵，
∴抛物线解析式为，
∵D的横坐标为t，
∴
过D作DH⊥x轴于点H，则，OH＝-t，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴BH=3+（-t）=3-t，
即，
∴，
∵C是抛物线与y轴的交点，
∴，
∴OC=5，
∴
【点睛】
本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的对称性，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
8、1）该日板栗的单价为15元/千克；（2）w关于x的函数表达式为w=-2x2+54x，w的最大值为364元，w的最小值为340元；（3）a的值为35或36．
【分析】
（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程求解即可；
（2）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意得：395≤-2x2+54x+a≤400，由二次函数的对称性及只有4种不同的单价使日收入不少于395元且不超过400元，可知x的取值为12，13，14，15，计算可得a的值．
【详解】
解：（1）根据题意得：34-2(x-10)=24，
解得x=15，
∴该日板栗的单价为15元/千克；
（2）根据题意得：
w=x[34-2(x-10)]
=-2x2+54x
=-2(x?)2+，
由题意得：10≤x≤15，且x为正整数，
∵-2＜0，
∴当x=13或14时，w有最大值，最大值为364元．
当x=10时，w有最小值，最小值为：-2(10?)2+=340（元）．
∴w关于x的函数表达式为w=-2x2+54x，w的最大值为364元，w的最小值为340元；
（3）由题意得：395≤-2x2+54x+a≤400，
∵只有4种不同的单价使日收入不少于395元，4为偶数，
∴由二次函数的对称性可知，x的取值为12，13，14，15，
当x=12或15时，-2x2+54x=360；当x=13或14时，-2x2+54x=364，
∵补贴a元后日收入不少于395元且不超过400元，360+35=395，364+36=400，
∴a的值为35或36．
【点睛】
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9、1），；（2）点的坐标为；（3）存在满足题意的点Q，坐标为或．
【分析】
（1）CD＝2，则函数对称轴，即：，则函数表达式为：，OB＝OC，则点B坐标为，把点B坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）直线BE的表达式为：，把代入上式得：，即：点坐标为，即可求解；
（3）设点P的坐标为，可表示出PN、PA、PB的长，作，垂足为R，则可求出QR的长，用n可以表示出Q、R、N的坐标，在中用勾股定理可求出关于n的二次函数，利用二次函数的性质可以求出Q点的坐标
【详解】
（1）CD＝2，则函数对称轴，即：，
则函数表达式为：，OB＝OC，则点B坐标为，
把点B坐标代入函数表达式，解得：或舍去），
答：，；
（2）二次函数表达式为：，
函数对称轴为，则顶点E坐标为，
把点E、B坐标代入一次函数表达式：
得：，解得：，
则直线BE的表达式为：，
由题意得：点的横坐标为2，把代入上式得：即：点坐标为，
∴点的坐标为
（3）存在点Q满足题意．
设点P坐标为，则，
，；
如图，作，垂足为
∵，
∴
∴
①当点在直线的左侧时，点的坐标为，点的坐标为,点的坐标为
∴在中，，
∴当时，取得最小值1，此时Q点的坐标为；
②当点在直线的右侧时，点的坐标为，
同理，
∴当时，取得最小值1，此时Q点的坐标为；
综上可知存在满足题意的点Q，坐标为或．
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、三角形面积计算、二次函数的性质、分类讨论的思想等知识点，解本题的关键在于通过坐标确定线段的长度，本题考查的知识点较多，综合性较强，难度总体较大．
10、1），；（2）；（3）
【分析】
（1）将的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，代入解析式即可的顶点的坐标；
（2）设，根据是以为底的等腰三角形，根据，求得点的坐标，进而求得解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得点的坐标；
（3）根据题意，可得，设，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得，根据配方法可得的最大值，根据点是线段上（与点，不重合）的动点，可得的最小值，即可求得的范围．
【详解】
（1）抛物线过点，点，
，
解得，
，
，代入，
解得：，
顶点，
（2）设，
,，是以为底的等腰三角形，
即
解得
设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
联立
解得：，
（3）点的横坐标为，，，
，
设，则，
是以为底的等腰三角形，
，
即
整理得
当点与点重合时，与点重合，由题意，点是线段上（与点，不重合）的动点，
的取值范围为：．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
11、(1);(2)k>13）1或3.
【分析】
（1）把（1，k2）代入抛物线解析式中并求解即可；
（2）将点分别代入抛物线解析式中，由y1＞y2列出关于k的不等式，求解即可；
（3）先求出新抛物线的解析式，然后分1≤k≤2，k＞2以及k＜1三种情况讨论，根据二次函数的顶点及增减性，分别确定三种情况下各自对应的最小值，然后列出方程并求出满足题意的k值即可．
【详解】
解：（1）把点代入抛物线，得
解得
（2）把点代入抛物线，得
把点代入抛物线，得
解得
（3）抛物线解析式配方得
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
当时，对应的抛物线部分位于对称轴右侧，随的增大而增大，
时，，
，解得，
都不合题意，舍去；
当时，，
解得；
当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，
时，，
解得，（舍去）
综上，或3．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识．
12、1）点在该抛物线上；证明见解答；（2）四边形是菱形；（3）①；②；③；④．当=时，点P的横坐标为或1或．
【分析】
（1）运用待定系数法，设抛物线解析式为，将代入，即可求得抛物线解析式，当时，，故点在该抛物线上；
（2）根据，，，的纵坐标相等可判断轴，再由，可判断四边形是平行四边形，再运用两点间距离公式求出，运用菱形的判定定理即可．
（3）①设，将，坐标代入即可求出直线的函数表达式；②当点在直线下方的抛物线上时，如图2，设，过点作轴交直线于点，则，根据满足条件的点有3个，可得在直线下方的抛物线上只有1个点，即的值最大，再利用二次函数最值性质即可得出答案；③由满足条件的点有3个，结合②即可得出答案；④满足条件的点只有2个，而在直线上方的抛物线上一定有2个点，满足，故在直线下方的抛物线上没有点，满足，结合②即可得出答案．
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为，将代入，
得：，
解得：，
抛物线解析式为，
点，与点关于轴对称，
，，
当时，，
点在该抛物线上；
（2）四边形是菱形．
证明：，，，，
轴，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形．
（3）①设直线的函数表达式为，
，，，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
故答案为：；
②当点在直线下方的抛物线上时，如图2，
设，过点作轴交直线于点，
则，
，
满足条件的点有3个，
在直线下方的抛物线上只有1个点，即的值最大，
，
当时，取得最大值，此时点，
故答案为：；
当P点在直线AC上方时，
∴，
当=时，即：，解得：，
综上所述：当=时，点P的横坐标为或1或．
③由②知，当时，在直线下方的抛物线上有2个点，满足，
在直线上方的抛物线上一定有2个点，满足，
满足条件的点有4个，符合题意．
故答案为：；
④满足条件的点只有2个，而在直线上方的抛物线上一定有2个点，满足，
在直线下方的抛物线上没有点，满足，
由②知，当时，在直线下方的抛物线上没有点，满足，符合题意．
故答案为：．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，菱形的判定，利用二次函数求最值等，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，表达出三角形面积是解题关键．
13、1）直线AB的解析式为：；（2）6；（3）4
【分析】
（1）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）求出OC的长，根据“”求解即可；
（3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可．
【详解】
解：（1）∵A，B是抛物线上的两点，
∴当时，；当时，
∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4）
设直线AB的解析式为，
把A，B点坐标代入得
解得，
所以，直线AB的解析式为：；
（2）对于直线AB：
当时，
∴
∴==6
（3）设点P的坐标为（，）
∵的面积等于的面积的一半，
∴的面积等于=3，
①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵
∴
整理，得，
解得，，
∴在直线AB的下方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；
②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵
∴
整理，得，
解得，，
∴在直线AB的上方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；
综上，函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有4个，
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问时要注意分类讨论．
14、1）y＝x2＋2x－3，A(－3，0)；（2）;（3）存在，点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5)
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中连接AD，CD．由题意点D到直线AC的距离取得最大，推出此时△DAC的面积最大．过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x-3），则G（x，-x-3），推出DG=-x-3-（x2+2x-3）=-x-3-x2-2x+3=-x2-3x，利用二次函数的性质求解即可．（3）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可．
【详解】
(1)把B(1，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3，
令y＝0，则x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或1.∴A(－3，0)；
(2)如图1，连接AD，CD.
∵点D到直线AC的距离取得最大，∴此时△DAC的面积最大．
由A(－3，0)，C(0，－3)，得直线AC的解析式为y＝－x－3.
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设D(x，x2＋2x－3)，则G(x，－x－3).
∵点D在第三象限，
∴－3＜x＜0，DG＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，
∴S△ACD＝DG·OA＝(－x2－3x)×3＝－x2－x＝－＋，
∴当x＝－时，S△ACD最大，此时D，
∴点D到直线AC的距离取得最大值时，D；
(3)点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5)，
如图2，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，
可得N(－2，－3)或N′(0，－3)；
当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
当x＝2时，y＝4＋4－3＝5，
∴N″(2，5).
综上所述，满足条件的点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5).
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
15、1），；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5或t＝5＋；（4）
【分析】
（1）把代入，列方程组求出b，c的值；
（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式；
（3）先由，且，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由列方程求出t的值；
（4）过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长．
【详解】
解：（1）把代入，
得，解得，
故答案为：，．
（2）∵，
∴该抛物线的顶点坐标为；
设直线BD的函数表达式为，
则，解得，
∴．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得，，
∴，；
∵，且，
∴，解得＜t＜，且；
∵，
∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
由，
解得，（不符合题意，舍去）；
由，
解得，（不符合题意，舍去），
综上所述，或．
（4）由（2）得，抛物线的对称轴为直线，
过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，
如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，
当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，
此时点Q与点A重合，
∵，
∴，
∴，
∴＝＝6，
∴R（0，4）；
如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由，
得，，
∴GR＝；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），
∴GR＝＝r2＋r＝，
∴当r＝时，GR的最小值为，
∴R（0，）；
如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由，
得，，
∴GR＝＝＝28，
∴R（0，26），
∴，
∴点R运动路径的长为．
【点睛】
本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，综合性强、难度大，属于考试压轴题．
16、1）y=2x2﹣8x+6；（2）点E(2，2)或(3，4)；（3）存在，当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形
【分析】
（1）设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，把点C坐标代入解析式，可求解；
（2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求S△ABD＝×2×6＝6，设点E(m，2m﹣2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A(1，0)，B(3，0)，
∴设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，
∵抛物线y＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)的图象经过点C(0，6)，
∴6＝a(0﹣1)(0﹣3)，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2(x﹣1)(x﹣3)＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2(x﹣2)2﹣2，
∴顶点M的坐标为(2，﹣2)，
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N(2，2)，
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点D（4，6），
∴S△ABD＝×2×6＝6，
设点E(m，2m﹣2)，
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，
∴×2×(2m﹣2)＝2或×2×(2m﹣2)＝4，
∴m＝2或3，
∴点E(2，2)或(3，4)；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴，
∴xP＝3，
∴点P坐标为(3，0)，
综上所述：当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
17、1），，，；（2）．
【分析】
（1）将将A（-3，0），B（0，3），代入二次函数，将A（-3，0），C（0，-1）代入一次函数，分别求解即可；
（2）分两种情况：当时，过点P作轴交轴于点，根据点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）得到△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是；当时，过点C作轴，过点P作交于点，过点A作交于点，根据点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）得到△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是；则可知△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式，在利用配方法得到，可以得出面积的最大值．
【详解】
解：（1）∵二次函数和一次函数的图象都经过点A（-3，0），且二次函数的图象经过点B（0，3），一次函数的图象经过点C（0，-1）．
∴将A（-3，0），B（0，3），代入二次函数得：
，解之得：，
将A（-3，0），C（0，-1）代入一次函数得：
，解之得：，
（2）由（1）可知，二次函数的关系式是，
当时，有，则有：，
∴二次函数与x轴的交点坐标是：（-3，0），（1，0），
∴当时，图像如下图所示，过点P作轴交轴于点，
∵点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）
则由图像可知，，，，
∴
∵点P是二次函数的图象上，
∴
∴当时，图像如下图所示，过点C作轴，
过点P作交于点，过点A作交于点，
∵点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）
则由图像可知，，，，
∴
∵点P是二次函数的图象上，
∴
综上所述，△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是，
∵
∴△ACP的面积最大值是．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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