初中数学特殊平行四边形解答题专项训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共15题）
1、如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
2、中，，，边长为2的正方形的对角线交点与点重合，连接，．
（1）求证：；
（2）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；
（3）将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长．
3、1），在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，交BD于点F．
（1）如图（2），若点M在BC边上，且DE＝CM，连结AM，EM．求证：三角形AEM为等边三角形；
（2）设，求tan∠AFB的值（用x的代数式表示）；
（3）如图（3），若点G在线段BF上，且FG＝2BG，连结AG、CG，，四边形AGCE的面积为S1，ABG的面积为S2，求的最大值．
4、△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论
5、中，，，点是边上一动点，连接，将沿翻折，点的对应点为点．
（1）如图，设，，在点从点运动到点的过程中．
①最小值是______，此时x=______；
②点的运动路径长为______．
（2）如图，设，当点的对应点落在矩形的边上时，求的值．
6、ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若，，求菱形AOBE的面积．
7、ABCD的对角线AC和BD交于点O，点G在射线OD上，且，过点G作交射线OC于点E，过点E作OE的垂线，与过点G作OG的垂线交于点P，得到矩形OEFG．射线AD交线段GF于点H，将沿直线AH折叠，得到，当点M在矩形OEFG的边上时，____．
8、Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
9、ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是______（填序号）
①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPO是平行四边形；
②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；
④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．
10、ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连OH接，求证：∠DHO=∠DCO.
11、①，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线，分别交AB、CD于点M、N．
（1）求证：
（2）如图②，当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD、MN与BD交于点G，连接BF．求证：．
12、中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作，特别地，当图形M与图形N存在公共点时，图形M，N的“近距离”为0．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”
若图形M为边长等于2的正方形ABCD，其对角线的交点记为正方形的中心G．
（1）当正方形ABCD的顶点分别为：，，，
①如果点，，那么____________，____________．
②如果直线与正方形ABCD互为“可及图形”，求b的取值范围；
（2）将（1）中正方形沿x轴方向平移，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，如果正方形ABCD和互为“可及图形”，直接写出正方形中心G的横坐标m的取值范围．
13、是菱形，对角线，相交于点O，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求矩形的周长．
14、ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一个动点，求PM﹣PN的最大值．
15、是的对角线．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段的垂直平分线，交，，分别于，，，连接，（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形的形状并说明理由．
============参考答案============
一、解答题
1、1）见解析；（2）
【分析】
（1）先利用角平分线判定定理证得，再由已知角的等量关系推出，并可得，则可证明四边形是平行四边形，最后由得，即可证得结论；
（2）由菱形的性质可得，再根据角的等量关系求出，则可利用三角函数求得，此题得解．
【详解】
（1）证明：如图，
∵，
∴，
又∵，且，
∴为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）得四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
2、1）见详解；（2）；（3）-1或+1
【分析】
（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得∠ACD=∠BCE，，CD=CE，进而即可得到结论；
（2）先求出DC=，AD=，再证明，进而即可求解；
（3）分两种情况：①当点D在线段AE上时，过点C作CM⊥AE，②当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD，分别求解，即可．
【详解】
解：（1）∵在等腰直角三角形中，，，在正方形中，CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠DCE-∠BCD=∠ACB-∠BCD，即：∠ACD=∠BCE，
∴；
（2）∵正方形的边长为2，
∴DC=GC=2÷=，
∵，
∴AD=，
∵∠GDE=，
∴∠ADM=∠CDE=45°，
∴∠ADM=∠CGM=45°，即：AD∥CG，
∴，
∴，即：，
∴AM=；
（3）①当点D在线段AE上时，过点C作CM⊥AE，如图，
∵正方形的边长为2，
∴CM=DM=2÷2=1，AM=，
∴AD=AM-DM=-1；
②当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD，如图，
同理可得：CM=DM=2÷2=1，AM=，
∴AD=AM+DM=+1．
综上所述：AM=-1或+1
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质以及正方形的性质，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，画出图形，添加合适的辅助线，是解题的关键．
3、1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）如图，连接证明都为等边三角形，可得再证明从而可得答案；
（2）如图，记交于点设四边形为菱形，表示利用则再利用三角函数的定义可得答案；
（3）如图，设证明再表示结合菱形的轴对称的性质可得：表示可得可得再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】
证明：（1）如图，连接
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
都为等边三角形，
是等边三角形
（2）如图，记交于点
设四边形为菱形，
则
（3）如图，设
四边形是平行四边形，
FG＝2BG，
根据菱形的轴对称的性质可得：
，
所以有最大值，
当时，最大值为：
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.
4、1）见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）延长CE交AB于点G，证明，得E为中点，通过中位线证明DEAB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形
（2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=BG，再根据，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证
【详解】
（1）证明：延长CE交AB于点G
∵AECE
∴
在和
∴
∴GE=EC
∵BD=CD
∴DE为的中位线
∴DEAB
∵DE=BF
∴四边形BDEF是平行四边形
（2）
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形
∴BF=DE
∵D，E分别是BC，GC的中点
∴BF=DE=BG
∵
∴AG=AC
BF=（AB-AG）=（AB-AC）．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．
5、1）①2，；②；（2）或
【分析】
（1）①由题意，当点恰好在直线AC上时，有最小值，然后求出答案即可；
②先证明点在以A为圆心，1为半径的圆上，再求出，然后根据弧长公式，即可求出答案；
（2）分两种情况，①当点落在AD边上时，四边形为正方形，然后求出答案；②当点落在CD边上时，证明，利用相似三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）①连接，如图1，,
由折叠的性质得：，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴；
当点恰好在直线AC上时，有最小值，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2，；
②当点E从B到点C的过程中，，
∴点在以A为圆心，1为半径的圆上，
由①知，，
∴，
∴点的运动路径长为：；
故答案为：；
（2）当点落在边上时（如图），四边形为正方形，
∴，
∴，
解得；
当点落在边上时（如图），
由折叠得，
∴，，
由得，
∴，，
解得，
∵，
∴，
∴或；
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形的判定和性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、弧长公式等知识，熟练掌握所学的知识，正确进行分析题意是解题的关键．
6、1）证明过程见解答；（2）
【分析】
（1）根据BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立；
（2）根据∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE边OA上的高，然后根据菱形的面积=底×高，代入数据计算即可．
【详解】
解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=60°，
∴BF=OB?sin∠AOB=，
∴菱形AOBE的面积是：OA?BF==．
【点睛】
本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积=底×高或者是对角线乘积的一半．
7、
【分析】
由菱形和平行线的性质得出∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠DGE=∠CDB=∠HDG，由折叠的性质得DG=DM，GH=MH，∠HDG=∠HDM，分两种情况讨论：①若点M在EF上；②若点M在OE上；由锐角三角函数定义、相似三角形的判定与性质以及勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，AC⊥BD，
∵GE//CD，
∴∠DGE=∠CDB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=∠DGE=∠HDG，
由折叠的性质得：DG=DM，GH=MH，∠HDG=∠HDM，
①若点M在EF上，如图1所示：
设BD=2OB=2OD=2b，AC=2OA=2OC=2kb，
∴DG=DM=3OD=3b，OG=DG+OD=3b+b=4b，
∵tan∠ADB==k，
∴=k，
∴OE=kOG=4kb，GH=HM=3kb，
∴FH=OE-GH=4kb-3kb=kb，
过点D作DN⊥EF于点N，
∵∠FHM+∠FMH=∠FMH+∠DMN，
∴∠FHM=∠DMN，
∵∠F=∠DNM=90°，
∴△MFH∽△DNM，
∴，即，∴MN=b，
∵DM2=DN2+MN2，
∴(3b)2=(4kb)2+b2，
解得：k=，或k=-（不合题意舍去），
∴=，
∴；
②若点M在OE上，如图2所示：
设∠GDH=∠ADO=∠ABO=∠ODC=α，OD=x，
则DG=3x，OG=4x，
∵∠MOG=∠DGH=90°，
∴GH=DG?tanα=3x?tanα，
OC=OD?tanα=x?tanα，
由折叠性质知，DG=DM=3x，GM⊥DH，
∴∠OGM+∠MGH=∠MGH+∠GHD=90°，
∴∠OGM=∠GHD，
∴△OGM∽△GHD，
∴，
∴OM=，
由勾股定理得，OD2+OM2=DM2，
∴，
解得：tanα=，
∴，
∴；
综上所述，的值为：或，故答案为：或．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、菱形与矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8、1）FG⊥ED，理由详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）由旋转及平移的性质可得到∠DEB+∠GFE=90°，可得出结论；（2）由旋转和平移的性质可得BE=CB，CG∥BE，从而可证明四边形CBEG是矩形，再结合CB=BE可证明四边形CBEG是正方形．
【详解】
（1）FG⊥ED．
理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，
∴∠DEB=∠ACB，
∵把△ABC沿射线平移至△FEG，
∴∠GFE=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠DEB+∠GFE=90°，
∴∠FHE=90°，
∴FG⊥ED；
（2）根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，
∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠CBE=90°，
∴∠BCG=90°，
∴四边形BCGE是矩形，
∵CB=BE，
∴四边形CBEG是正方形．
【点睛】
本题主要考查旋转和平移的性质，掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移前后，对应角、对应边都相等．
9、④
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，逐一判断各个选项，即可．
【详解】
解：①对于任意凸四边形ABCD，当点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的中点时，四边形MNPO是平行四边形，故原说法错误；
②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是平行四边形，故原说法错误；
③如果四边形ABCD为任意矩形，不一定存在一个四边形为正方形，故原说法错误；
④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形，原说法正确．
故答案是：④.
【点睛】
本题主要考查四边形综合，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，是解题的关键．
10、.
【详解】
试题分析：根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OB
H=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO．
考点：菱形的性质．
11、1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）作辅助线，构建平行四边形PMND，再证明△ABE≌△DAP，即可得出结论；
（2）连接AG、EG、CG，构建全等三角形和直角三角形，证明AG＝EG＝CG，再根据四边形的内角和定理得∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF＝AE，FG＝AE，则BF＝FG．
【详解】
证明：（1）如图，过点D作PD∥MN交AB于P，则∠APD＝∠AMN，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，AB∥DC，∠DAB＝∠B＝90°，
∴四边形PMND是平行四边形且PD＝MN，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＋∠BEA＝90°，
∵MN⊥AE于F，
∴∠BAE＋∠AMN＝90°，
∴∠BEA＝∠AMN＝∠APD，
又∵AB＝AD，∠B＝∠DAP＝90°，
∴△ABE≌△DAP（AAS），
∴AE＝PD＝MN．
（2）如图，连接AG、EG、CG，
由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，
∴AG＝CG，∠GAB＝∠GCB，
∵MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AG＝EG，
∴EG＝CG，∠GEC＝∠GCE，
∴∠GAB＝∠GEC，
由图可知∠GEB＋∠GEC＝180°，
∴∠GEB＋∠GAB＝180°，
又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE＝90°，
∴∠AGE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF＝AE，FG＝AE，
∴BF＝FG．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等．
12、1）①，；②；（2）或．
【分析】
（1）①根据近距离的定义，直接求解即可；②设直线与x轴、y轴的交点分别是H，K，线段HK的中点为Q，连接AQ，则AQ就是直线与正方形ABCD的近距离，当AQ=1时，列出关于b的方程，进而即可求解；
（2）分两种情况：①设在直线上存在一点P（x，-x+6）与正方形A’B’C’D’的近距离为1，即D’P=1，延长A’D’交直线于点T，过点P作PJ⊥D’T，可得x-(m+1)=-x+6-1=，从而求出m的值；②若正方形ABCD和可及的点在边ON上时，此时正方形ABCD的边长与ON的近距离为1，则点G与ON的距离为2，进而求出m的范围即可．
【详解】
解：（1）①∵正方形ABCD，，，，，，，
∴AD∥x轴，
∴点与AD的最近距离为：，即，
如图，连接DF，由图可知：点F与正方形ABCD的最近距离就是DF的长，
∴DF=，即：．
故答案是：，；
②如图，设直线与x轴、y轴的交点分别是H，K，线段HK的中点为Q，连接AQ，则AQ就是直线与正方形ABCD的近距离，
∵H（-b，0），K（0，b），
∴Q（，）
∴当AQ=1时，，解得：，，
同理，当直线与y轴交于负半轴时，线与正方形ABCD的近距离为1时，，
∴直线与正方形ABCD互为“可及图形”，b的取值范围为：；
（2）如图，设在直线上存在一点P（x，-x+6）与正方形A’B’C’D’的近距离为1，即D’P=1，延长A’D’交直线于点T，过点P作PJ⊥D’T，
∵∠PTD’=∠NMO=45°，D’P⊥MN，
∴是等腰直角三角形，
∴PJ=D’J=，
∵G（m，0），
∴x-(m+1)=-x+6-1=，解得：m=4-，x=，
当正方形A’B’C’D’移至点M的右侧时，存在一点G’与点G关于M点对称，
∵M（6，0），
∴G’（8+，0），
∴当时，正方形ABCD和互为“可及图形”，
同理，若正方形ABCD和可及的点在边ON上时，此时正方形ABCD的边长与ON的近距离为1，则点G与ON的距离为2，
∴当时，正方形ABCD和互为“可及图形”，
故答案是：或．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何的综合，根据题意，画出图形，掌握正方形和一次函数图像的性质，理解“图形近距离”的定义，是解题的关键．
13、1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用全等三角形性质和菱形对角线互相垂直平分，证四边形是矩形；
（2）根据菱形性质得出，，由含30度直角三角形的性质求出OB，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵△BOC?△CEB．
∴，（全等三角形的对应边相等）
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵四边形是菱形，
∴（菱形的两条对角线互相垂直）
∴
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）∵四边形是菱形，，，
∴（菱形的四条边相等），
∵
∴
在中，
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
，
∴矩形的周长．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形性质、平行四边形的判定和性质以及矩形的性质，熟记各种特殊四边形的判定方法和性质以及勾股定理是解题的关键．
14、MP-NP2．
【分析】
作N点关于BD的对称点N''，连接MN''交BD于点P，过点M作MG⊥AC交于点G，当M、N、P三点共线时，MP-NP的值最大，求出MN''即为所求．
【详解】
解：作N点关于BD的对称点N''，连接MN''交BD于点P，过点M作MG⊥AC交于点G，
∵NP=N''P，
∴MP-NP=MP-N''P≤MN''，
当M、N、P三点共线时，MP-NP的值最大，
∵BC=8，BM=6，
∴CM=2，AC=8，
∵N是AO的中点，
∴AN=2，
∴CN''=2，
在Rt△MCG中，∠GCM=45°，
∴CG=MG=，
∴N''G=，
在Rt△MN''G中，MN''=2，
∴MP-NP的值最大为2．
【点睛】
本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质是解题的关键．
15、1）见解析；（2）菱形，见解析
【分析】
（1）利用尺规作图画出垂直平分线即可；
（2）根据一组对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解．
【详解】
解：（1）作的垂直平分线
连接，．
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图——线段垂直平分线、菱形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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