初中数学找规律专题训练含答案详情姓名：__________班级：__________考号：__________
一、填空题（共9题）
1、将除去零以外的自然数按以下规律排列（提示：观察第一列的奇数行的数的规律和第一行的偶数列的数的规律）判断2016所在的位置是．
2、观察下面的变形规律：；；；…；根据这个规律计算：…。
3、观察规律：……
将你猜想到的规律用一个式子来表示：???????
4、?观察下列各式：?
?
（1）按照这样的规律，=____________；
（2）按照这样的规律化简式子：（x＜0）=____________
5、一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出2013支“穿心箭”是．
6、观察下面的变化规律：
，……
根据上面的规律计算：
__________．
7、观察下列计算：，，，?……从计算结果中找规律，利用规律计算??????。
8、观察规律：2，8，14，20，26，32，…，依次规律，第7个数是，第74个数是．
9、观察下列算式，你发现了什么规律？
12=；12+22=；12+22+32=；12+22+32+42=；…
①根据你发现的规律，计算下面算式的值；12+22+32+42+52=??；
②请用一个含n的算式表示这个规律：12+22+32…+n2=?????；
③根据你发现的规律，计算下面算式的值：512+522+…+992+1002=?????．
二、实验,探究题（共1题）
1、王老师在黑板上写出三个算式：，张华接着又写了两个具有同样规律的算式：，…
??（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
??（2）用文字写出反映上述算式的规律；
??（3）证明这个规律的正确性．
三、解答题（共21题）
1、阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：
，
；
…
（1）猜想：1+2+3+4+…+n=??
（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+…+100；
（3）计算：．
2、请你按下列程序进行计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？
（1）填写表内的空格：
输入 …… 输出答案 …… （2）你发现的规律是：?????????。
（3）请用简要的过程说明你发现的规律。
3、观察下列算式，你发现了什么规律？
（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值；_____??____
（2）请用一个含的算式表示这个规律：____???_____
4、按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？
???（1）填写表内空格：
输入 3 2 －2 … 输出答案 0 … （2）你发现的规律是____________.
?(3)用简要过程说明你发现的规律的正确性。
5、小刚按照某种规律写出4个方程：
①；②；③；④……
（1）按照此规律，请你写出第100个方程：????????；
（2）按此规律写出第n个方程是?????????；这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解，若没有，请说明理由．
6、9的迷魂阵：探究9的有趣规律，进而得出这些规律产生的原因．(要求利用计算器从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选几个数与9相乘后，所得结果乘123456789，观察结果的变化规律)
7、观察规律：
同理可得：
依照上述规律，则：?????；???????（n≥1的整数）；
=____________.
8、观察规律：
同理可得：
依照上述规律，则：=__________；=__________（n≥1的整数）；
=__________．
9、你能找出规律吗?
(1)计算：????,????.
??,??.
(2)请按找到的规律计算：①；??②?
(3)已知：，则=???（用含的式子表示）。
10、观察等式：，…
（1）你能猜想有什么规律呢？请用含n的式子表示（n≥3的整数）；
（2）按上述规律，若，则a+b=；
（3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律．
11、．9的迷魂阵：
探究9的有趣规律，进而得出这些规律产生的原因．（要求利用计算器从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选一个数与9相乘后，所得结果乘123456789，观察结果的变化规律）.
12、下图是小明按照一定规律用点画的“点阵图”，仔细观察规律回答下列问题：
（1）第一个图用了1个点完成，第二个图用了3个点完成，第三个图用了7个点完成，
?按照这一规律可以推断第10个图需用??个点完成；
（2）按照这一规律可以推断第n个图需用??????个点完成；
13、老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，…
（1）请你再写出两个（不同于上面的算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
14、老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2,92－72＝8×4,152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12,152－72＝8×22，……
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)证明这个规律的正确性．
15、老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=
8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，…
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
16、老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22.
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
17、已知：；；；按此规律，则：
（1）???????；
（2）若，请你能根据上述规律求出代数式的值
（注：（）=???）
18、32－12＝8×1
???52－32＝8×2
???72－52＝8×3
???92－72＝8×4
……
???观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律，并用这个规律计算20012－19992的值．
19、已知：；；；按此规律，则：
（1）???????；
（2）若，请你能根据上述规律求出代数式的值（本小题5分）
20、已知：；；；按此规律，则：
（1）???????；
（2）若，请你能根据上述规律求出代数式的值（本小题5分）
?
21、观察算式：1×3+1=4=22；2×4+1=9=32；3×5+1=16=42；4×6+1=25=52，…
（1）请根据你发现的规律填空：6×8+1=__________；
（2）用含n的等式表示上面的规律：__________；
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：．
四、未分类（共1题）
1、观察下列单项式：，你能写出第个单项式吗？并写出第2005个单项式。
??为了解决这个问题，我们不妨从系数和次数两个方面入手进行探索，从中发现规律，经过归纳猜想结论。
（1）???系数规律有两条：
①?系数的符号规律是________;②系数的规律是________.
?(2)次数的规律是___________;
?(3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是__________;
?(4)根据猜想的结论，第2005个单项式是___________.
============参考答案============
一、填空题
1、第45行，第10列．
?
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2016所在的位置．
【解答】解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，
第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；
∵45×45=2025，2016在第45行，向右依次减小，
故201所在的位置是第45行，第10列．
故答案为：第45行，第10列．
【点评】此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键．
2、
3、；1
4、5，-X
5、考点：
规律型：图形的变化类．
分析：
根据图象规律得出每6个数为一周期，用2013除以6，根据余数来决定2013支“穿心箭”的形状．
解答：
解：根据图象可得出“穿心箭”每6个一循环，
2013÷6=335…3，
故2013支“穿心箭”与第3个图象相同是．
故答案为：．
点评：
此题主要考查了图象的变化规律，根据已知得出图形变化规律是解题关键．
6、
【解析】
本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
【详解】
由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．
故．
故答案：．
【点睛】
本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
7、
8、38；440．
9、1）；（2）；（3）295425；
二、实验,探究题
1、解：（1）如等；
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；
（3）证明：设为整数，两个奇数可以表示为，则
．
当同为奇数或同为偶数时，一定为偶数，所以一定为8的倍数；
当一奇一偶时，则；一定为偶数，所以一定为8的倍数．
所以，任意两个奇数的平方差是8的倍数．
三、解答题
1、【解答】解：（1）1+2+3+4+…+n=n（n+1）；----------4分
（2）1+2+3+4+…+100
=×100×（100+1）
=5050；---------------------------------------------4分
（3）
=（1+2+…+49）
=××49×（49+1）
=612.5．---------------------------------------------4分
故答案为：n（n+1）．
2、（1）填写表内的空格：
输入 …… 输出答案 3 2 －1 －2 …… （2）你发现的规律是：输入非零数n，输出答案也是n
（3）请用简要的过程说明你发现的规律。
3、（1)?
(2)?
4、解：（1）0，0，0；
（2）输入任何数的结果都为0；
（3）因为，
所以无论取任何值，结果都为0，即结果与字母的取值无关
5、解：（1）；
（2），此方程有实数根．
?或
?∴．
6、解：9×1×123456789＝1111111101；
9×2×123456789＝2222222202；
9×3×123456789＝3333333303；
…
9×9×123456789＝9999999909.
从1～9这9个数字中任选1个数，与9相乘后，再乘123456789，所得结果是一个十位数，这个十位数的十位上的数字为0，其余各数位上的数字与选取的数字相同．
7、，，2015
8、﹣；﹣；2015【考点】分母有理化．
【专题】计算题；规律型．
【分析】仿照上述计算过程将原式变形，化简即可得到结果；原式括号中分母有理化后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：==﹣，==﹣，
原式=（﹣1+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2016﹣1=2015，
【点评】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
9、
10、【考点】实数的运算．
【分析】（1）仿照已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）根据得出的规律确定出a与b的值，即可求出a+b的值；
（3）根据题意写出满足题意的等式，验证即可．
【解答】解：（1）根据题意得：?+=（n≥3的整数）；
（2）根据题意得：?+=，得到a=，b=9，即a+b=+9；
（3）+=．
故答案为：（1）+=（n≥3的整数）；（2）+9
11、解：9×1×123456789=1111111101；
9×2×123456789=222222202；
9×3×123456789=3333333303；
…
9×9×123456789=9999999909；
从1﹣9这9个数字任取1个数，与9相乘后，再乘123456789，所得的结果是一个10位数，这个10位数的十位上数字为0，其余每位上的数与选取的数字相同．
12、
13、解：（1）112-92=8×5，132-112=8×6．
（2）规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．
（3）设m，n为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，
则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n）（m+n+1）．
当m，n同是奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数．
当m，n一奇、一偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数.
所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．
14、解：(1)72－52＝8×3；92－32＝8×9等．
(2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)设m，n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．
当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；
当m，n一偶一奇时，则m＋n＋1一定为偶数，
所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．
所以，任意两个奇数的平方差是8的倍数．
15、解：（1）112-92=8×5，132-112=8×6．
（2）规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．
（3）设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，
则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n）（m+n+1）．
当m，n同是奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数．
当m，n-奇-偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数
所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．
点评：本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力．
16、（1）解：112-92=8×5，132-112=8×6．
（2）解：规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．
（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，
则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n）（m+n+1）．
当m，n同是奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数．
当m，n奇偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数.
所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．
点评：本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力．
17、1）a4+a3b+a2b2+ab3+b4
(2)36
18、，8000．
19、?……2?；36……5
20、?……2?；36……5
?
21、【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】（1）（2）等式的左边是相差为2的两个数相乘，再加上1；右边是两个数的平均数的平方，由此规律得出答案即可；
（3）利用以上规律，计算交错约分得出答案即可．
【解答】解：（1）∵1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
4×6+1=25=52
…
∴6×8+1=72；
（2）由（1）可得出，第n个式子表达式为：n（n+2）+1=（n+1）2；
（3）原式=×××…×
=×××…×
=
=．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．
四、未分类
1、
（-1）n,（-1）nn
（-1）nnxn
-2005x2005
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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