用坐标轴平移妙解斜率和(或积)为定值问题

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用坐标轴平移妙解斜率和(或积)为定值问题

刘大鹏

(辽宁省黑山县第一高级中学 121400)

摘 要：本文根据斜率是平移变换下的不变量，举例示范如何利用坐标轴巧妙平移解决斜率和(或积)为定值问题.

关键词：坐标轴平移；圆锥曲线；定点；定值

一、用坐标轴平移解已知斜率和为定值问题

定理1 已知双曲线定点A(x0,y0)∈C,(点A不是双曲线顶点),动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,①当γ=0时，为定值，且等于双曲线在点A处切线斜率的相反数；②当γ≠0时，则直线PQ恒过定点D，且

证明 以A(x0,y0)为原点，建立新坐标系X′O′Y′，联立新坐标系下的方程所以b2x′2-a2y′2+(2x0b2x′-2y0a2y′)(mx′+ny′)=0-+(2nb2x0-2ma2y0)+b2+2mb2x0=0.

1°当时,把双曲线方程两边对x求导，得所以

2°当时,在新系下的方程直线过定点点D在原坐标系的坐标为

二、用坐标轴平移解已知斜率积为定值问题

定理2 已知双曲线定点A(x0,y0)∈C,动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP·kAQ=γ,①当时，为定值；②当时，则直线PQ恒过定点D，且

证明 由定理1的证明，得

①当时，

②当时，直线PQ在新系下的方程：过定点点D在原坐标系下的坐标为

三、用坐标轴平移解结论为斜率和是定值问题

定理3 已知定点P(a,0),Q(a,-m)(m≠0),经过点Q的动直线l与椭圆交于M，N两点，则直线PM与直线PN的斜率的和为定值

证明 以P(a,0)为原点，建立新坐标系X′O′Y′，联立新坐标系下的方程所以所以所以为定值.

四、用坐标轴平移解结论为斜率的倒数和为定值问题

定理4 已知定点P(0，b),Q(-m,b)(m≠0),经过点Q的动直线l与椭圆交于M，N两点，则直线PM，PN的斜率的倒数之和为定值

证明 以P(0，b)为原点，建立新坐标系X′O′Y′，联立新坐标系下的方程所以所以所以为定值.

五、强化训练

1.已知椭圆定点A(x0,y0)∈C,(点A不是椭圆顶点),动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,①当γ=0时，为定值，且等于椭圆在A点处切线斜率的相反数；②当γ≠0时，则直线PQ恒过定点D，且

证明见文[3].

2.已知椭圆 定点A(x0,y0)∈C,(点A不是椭圆顶点),动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP·kAQ=γ,①当时，为定值，②当时，则直线PQ恒过定点D，且

证明见文[4].

3.已知抛物线C:y2=2px,定点A(a,b)∈C,,动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,①当γ=0时，kPQ为定值，且等于抛物线在A点处切线斜率的相反数；②当γ≠0时，则直线PQ恒过定点D，且

4.已知抛物线C:y2=2px,定点A(x0,y0)∈C,,动点P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP·kAQ=γ,则直线PQ恒过定点D，且

5.已知定点P(-a,0),Q(-a,-m)(m≠0),经过点Q的动直线l与椭圆交于M，N两点，则直线PM与直线PN的斜率的和为定值

6.已知定点P(0，-b),Q(-m,-b)(m≠0),经过点Q的动直线l与椭圆交于M，N两点，则直线PM，PN的斜率的倒数之和为定值

更多的练习题见文[5].

参考文献：

[1]刘大鹏.斜率和(或积)为定值条件下圆锥曲线的性质[J].中学数学研究(华南师范大学版)，2020(05)：44-45.

[2]耿晓红，郭守静.基于数学抽象核心素养，引导学生变式探究——以一类圆锥曲线定值问题探究为例[J].中学数学教学参考，2019(10)：60-63.

[3]徐道.一道高考题思考后的思考[J].数学教学，2010(09):46-48.

[4]刘大鹏.对2020年高考山东22题的推广与解法的研究[J].数理化学习(高中版)，2021(03)：8-10.

[5]姚良玲，杨列敏.一个优美结论的再推广[J].中学数学教学参考(上旬)，2018(19)：54-55.

作者简介：刘大鹏(1971.10-)，男，辽宁省黑山人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

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