微积分之后的数学危机

来源：张天蓉  的博客

       初等数学的研究对象是不变的量，而高等数学的研究对象是变量（即前者研究不变量之间的关系，后者研究变量之间的关系）。这句话本身平淡无奇，却道出了初等数学与高等数学的根本区别，也就是微积分问世前后的数学之区别。

       微积分的诞生

       可以说，如果没有微积分，就没有现代科技。微积分诞生的历史源远流长，但最后一步是由牛顿和莱布尼兹完成的。两人的微积分风格不同，贡献各异。牛顿最大的贡献是把微积分用于物理，构思了牛顿三大定律及万有引力定律，并用微积分方法，讨论了潮汐、岁差等现象。

       莱布尼兹最主要的贡献是对概念、方法、技巧等清楚的梳理，加上符号的运用。他所设置符号受到人们的喜爱，一直使用至今。

       1665年，牛顿为了躲避瘟疫从剑桥大学回到乡下老家，思考于苹果树下萌生了万有引力定律。那年他才22岁，除了研究引力之外还发明了微积分。牛顿考虑微积分是为了解决动力学问题，即运动中物理量与时间的关系问题。他把这种数学理论叫做“ 流数术 ” ，也就是当今所谓的微积分。那年的5月20日，牛顿第一次在他的手稿上描述了他的“流数术”，后来人们便把这一天作为微积分的诞生日。

        牛顿将一切基本变量叫做“流量”（用x,y,z表示），将流量随时间的变化率（如速度等）称之为“流数”。流数用x,y,z上面加一点（或x’y’z’）来表示。它的“流数术”要解决两类问题：

       (1). 已知流量间的关系，求流数的关系，这相当于微分学。                                     (2). 已知流数间的关系，求流量的关系，相当于积分，问题（1）的逆问题。

 按照现在的微积分语言，牛顿的“流量”即变量，“流数”即导数。

微积分诞生（YouTube视频）

       如何计算流量和流数？牛顿从二项式展开成无穷级数的问题开始思考，并由此对“无穷”的概念有所突破。为此目的，牛顿定义了一个时间的无限小瞬“o”作为流数术的基础。这个无限小的时间瞬将引起流量的瞬，由此便能计算流数，即两个“瞬”的比值。例如，两个流量x和y，随时间t变化并有如下关系：

              x³ + xy + y³ = 0                                                                      (1)

无限小时间瞬o将引起两个流量的无限小瞬（分别记为x’o  y’o）也适合 (1)。在公式 (1)中分别用x+x’o  y+y’o代替x和y，再减去 (1)得到：

3x²x’o+3x(x’o)²+(x’o)³+xy’o+x’oy+x’y’o²+3y²y’o+3y(y’o)²+(y’o)³ = 0

两边同时除以o：

3x²x’+3x(x’)²o+(x’)³o²+xy’+x’y+x’y’o+3y²y’+3y(y’)²o+(y’)³o² = 0

然后令o= 0：3x²x’+xy’+x’y +3y²y’= 0，整理得x’和y’的关系：

               x’/y’= -(3y²+x)/( 3x²+ y)

       牛顿发明了微积分，并用微积分的语言写下了牛顿三大定律和万有引力定律。后人又在微积分的基础上建立了数学物理方程、黎曼几何等数学分支。这些数学理论帮助牛顿和麦克斯韦等人建立了宏伟辉煌的经典力学和经典电磁理论，并推动了理论物理中量子力学、相对论、混沌理论等数次革命。回顾这段漫长的数学发展史，可谓耐人寻味，发人深省。

        牛顿像是个上帝派来的魔法师，他右手点亮经典力学之火，左手握着微积分，数学和物理的殿堂从此有了光明。英国的一位诗人为牛顿写下了令人感动的墓志铭："上帝说，让牛顿降生吧。于是世界一片光明。" 

       当年，牛顿与莱布尼茨因为微积分发明权曾产生争论，原来他们两人也是小肚鸡肠。两人所在国家也把国家荣耀、民族情绪牵扯其中，演变成了英国科学界与德国科学界乃至与整个欧洲大陆科学界的对抗。英国数学家不愿意接受莱布尼茨更为好用的数学符号系统，实际上影响了英国数学研究的发展。

       其实，牛顿和莱布尼茨的微积分都不够严谨，之后被欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔等人精雕细刻，才系统化和严密化直至后来的样子。

       微积分的危机

       所谓数学危机，实际上不过是数学在发展过程中的基本数学思想出现难以统一的概念问题。解决危机的办法就是首先需要接受并研究新概念，然后用数学语言规范或完备新的概念。

       例如，发生于古希腊的那次数学危机，其实什么危机也没有，只不过是毕达哥拉斯学派原来对数的认识是不足够不完善，即数不能仅仅被理解是m/n的有理数形态，还需要扩展到无理数。解决这个危机，人们首先需要接受无理数这个新概念，然后数学家们才创立了新的比例论、完善了穷竭法，将无理数概念统一到“数”的领域中，因而克服了所谓的“危机”。

       牛顿和莱布尼茨创建的微积分，解决了许多实际问题。例如，微积分解决了力学中的速度变化问题，它驰骋在近代和现代科学技术前沿，建立了数不清的丰功伟绩，但也招来不少质疑的声音。最主要的质疑来自于一位教区主教George Berkeley。不要以为伯克利只是一个神学人士，有人说他是因为憎恨科学捍卫宗教而攻击牛顿，其实不完全如此，捍卫宗教固然是其目的之一，但未必是“攻击”，因为他的确抓住了当时牛顿（或莱布尼茨）微积分的要害：不严密！

       伯克利何许人也？你可能没听说过，但你可能知道美国加州有所叫伯克利的大学！没错， 伯克利热衷教育事业，为纪念他对教育做出的贡献，这所大学就是以他而命名的。除了教育家头衔之外，他有众多身份：英国著名的主观唯心主义哲学家、严肃的数学家、关心大众生活，为人民谋福利的“善的主教”。

微积分危机（YouTube视频）

       1734年，牛顿过世7年后，伯克利出版了分析学家一书挑战微积分：“亲爱的牛顿，请你诚恳地告诉我，如果你还残存对信仰的敬畏。你那自鸣得意的“瞬”，究竟是何方神圣？它飘然而来，因为要作你的分母；它离奇而逝，因为要成全你的流数。你不需要它，就判处它死刑；你需要它，又召唤出它的亡灵。”贝克莱对牛顿所阐述的“无穷小”提出质疑，并非无理取闹。因为牛顿无穷小定义的导数并不严密，即使没有贝克莱提出质疑，最后也会有人提出无穷小概念的问题。当时的微积分仍然受希腊几何的影响，还处于依赖几何论证的基础上。贝克莱并未否定微积分的正确性。

       以y=x²求导数为例来说，推导过程确实存在错误：前一步假设Δx是不为0的，可以作分母，而后一步又被取为0。那么到底是不是0呢？牛顿未能自圆其说。

       然而，要解决微积分的危机，也就是将其严格化，不是一朝一夕的事，又过了150年左右，到19世纪末才完成。经过多位数学家的努力，包括法国的柯西（1789—1857）和德国的魏尔斯特拉斯（1815-1897）。柯西成功地表达了正确的极限概念，使其成为微分学的坚实基础。他从数的基础上（不是从几何直观）出发，重新定义了微积分中各种含糊的定义。他定义极限：“如果一个变量的连串值无限地趋向一个固定量，使之最后与后者之差可任意地小，那么这个固定值就是所有其它值的极限。”至于任意小是多少？柯西说比你给定的任意数都小。后来魏尔斯特斯拉认为这个定义还不准确和自然，继续作了修改，提纯了极限概念，引入ε-δ语言，系统地建立了数学分析的严谨基础。

       无穷小不是一个确定的数，也不是零。它是极限为零的变量。研究对象是常量还是变量，是初等数学和高等数学的区别。也是微积分之前和之后数学的区别。微积分的核心概念是导数（微分）瞬时变化率。严格定义的无限趋近的极限概念是微积分的精髓。

       理发师悖论—数学第三次危机

       数学上有很多悖论，其实悖论就是矛盾，矛盾产生危机。所以数学的几次危机也可以用悖论来表述。古希腊时代的那次数学危机，起因于希帕索斯发现无理数的“希帕索斯悖论”。第二次无穷小危机则与芝诺悖论及贝克莱质疑牛顿“无穷小量鬼魂”的悖论有关，它的解决为微积分学奠定了坚实的基础。第三次危机则与有趣的理发师悖论联系在一起。

       传说有一个理发师，将他的顾客定义为城中所有“不给自己理发之人”。但某一天，当他想给自已理发时却发现他定义的“顾客”是自相矛盾的。因为，如果他不给自己理发，他自己就属于“顾客”，就应该给自己理发；但若他给自己理发，他就不属于“顾客”了，但他给自己理了发，又是顾客，到底自己算不算顾客？该不该给自己理发？这在逻辑上似乎怎么也理不清楚，由此而构成了“悖论”。

      是谁想出这么一个古怪的烧脑悖论来折腾人？数学发展得好好的，这不是在无事生非吗？然而和前两次数学危机的解决一样，“悖论”最后导致有了康托的集合论，数学家们兴奋激动，认为数学第一次有了“基础牢靠”的理论。

理发师悖论（YouTube视频）

       提出这个悖论的是英国人伯特兰·罗素，一位出生显赫、造诣非凡的的贵族，真正大师。罗素的爷爷曾经出任过英国的两任首相，他本人也了不得，是著名的历史学家，‌‌哲学家，数学家。他创建分析哲学，提倡自由教育；他的历史巨著西方哲学史在哲学界广为人知。1950年，他还获得了的诺贝尔文学奖。

       罗素与罗素悖论（等效于理发师悖论）有关的是一部大块头的《数学原理》。洋洋洒洒3 大卷近 2000 页，耗费罗素十年功夫才得以完成。罗素认为所有的数学可以约化为逻辑，为此往往是极度冗长繁琐的推理。 比如，花了将近400页的内容，才得以正确地定义“1”及“1+1”。当年对数学基础的研究有三大主义，除了罗素信奉的逻辑主义，还有德国的希尔伯特为代表的形式主义、 荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义。

       从理发师悖论看，如何避免理发师对顾客的定义所产生的逻辑怪圈，假如理发师修改一下自己的说法：“除了我本人之外，我给所有不给自己理发的人理发”，悖论不就被避免了吗？所以当理发师定义了一个不包括自己在内的顾客集合，这个集合就不再是逻辑怪圈！但对于对学术上的“集合论”而言就不那么容易了，不过在原则上总是差不多的，在定义集合时，或许避免“自我”指涉是一个要害。

       还有一个牵涉自我指涉的悖论叫做“说谎者悖论”，它的经典表达是：“我说的话都是假话”。如果你判定这句话是真话，便否定了真话的结论，自相矛盾；如果你判定这句话是假话，那么结论是真话，仍然与真话是在说假话相矛盾。因此，此类悖论都是产生于“集合”的定义牵涉到“自我”指涉。

       综上看来，将自身包括在“集合”中不是好事，可能会产生出许多意想不到的问题。以上悖论提醒数学家们重新考察集合的定义，康托的集合论对“集合”的定义太原始，以为把任何一堆东西放一起，只要它们具有某种简单定义的相同性质就可以抽象为数学“集合”。后来人们将康托的理论称为“朴素集合论”，并为它制定了一些“公理”作为条条框框，从而使得康托的朴素集合论走向了现代的“公理集合论”。

       当今，人们仍然认为数学的第三次危机尚未被完全解决，但同时也意识到尚存的危机属于逻辑和哲学层面的问题，不太影响数学研究的发展。