勾股定理
教学目标
1、让学生经历“观察——猜测——证明——应用”的数学探究过程,在动手实践中体会“特殊到一般”和“数形结合”的数学思想方法。
2、通过实验,让学生感受到数学所具有的探索性和创造性,激发学生探究热情,培养学生良好的团队合作意识和创新精神。通过对我国古代数学成就的了解,增强民族自豪感,激发学习热情。
教学重点与难点
教学重点:勾股定理的探索过程与应用
教学难点:勾股定理的证明
教学过程
一、创设情景引入新知
创设校园问题情景
1、观看多媒体照片
照片中,你看到了什么?
2、抽象出数学问题
如图,少数师生为了走“捷径”,在学校求索馆前的长方形草坪内走出一条小路AB。已知两步为1m,你能算出“捷径”省了多少路吗?从计算出的结果,你有怎样的想法?
引导学生分析:要算节省的路程,就要算出AB的长,Rt△AOB中,已经知道AO、BO的长,如何计算AB呢?即问题转化为:直角三角形中已知两边,如何求第三边?
这就是我们今天要探究的内容:勾股定理
二、测量实验猜测新知
操作一
在方格纸上画一个顶点都在格点上的Rt△ABC,∠C=90°,其中a=3,b=4,测量斜边c的长度。
操作二
分别以Rt△ABC三边a、b、c为边长向外作正方形S、T、P,则正方形S、T的面积是多少?正方形P呢,如何计算?
引导学生先画图,由画图过程去体会正方形P的计算方法(割补法)
操作三
继续实验,完成下表:
面积
实验组 S T P 三正方形面积关系 实验一 9 16 实验二 1 1 实验三 4 9 观察实验结果,猜测:
分析:学生从实验结果不难发现,S、T的面积之和恰好等于P的面积,由此猜测,即勾股定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方.
三、拼图探究验证新知
(一)拼图实验
步骤1剪出四个全等的(如右图)直角三角形,其中c为斜边,且b>a.
步骤2用这四个直角三角形拼出一个正方形(中间可以出现空心).
学生作品展示
运用多媒体工具(备课王)展示学生作品:
(Ⅰ)(Ⅱ)
(二)运用拼图,验证勾股定理
作品(Ⅰ)中,大正方形的面积是多少?说说你的计算方法:
法一正方形边长为(a+b)
则面积为
法二正方形由四个直角三角形和一个正方形构成,则面积等于各个部分面积之和为
由两种方法算出的面积相等,得出
化简后得到
试一试
类似地,让学生自主探究,运用作品(Ⅱ)证明勾股定理,请学生到黑板上演示过程,师生共评学生给出的证明方法。同时,指出作品(Ⅱ)就是著名的赵爽玄图,并介绍其相关历史背景。
介绍一下古今中外对勾股定理的研究。让学生了解我国对勾股定理的发现比古希腊的毕达哥拉斯还早500多年。
(三)理解勾股定理
学习小组思考讨论:
1、勾股定理在任意三角形中都存在吗?
2、勾股定理有怎样的意义和用途呢?
3、引导学生写出勾股定理的几种表达形式:
若Rt△ABC中,∠C=90°则①;
②;③;
四、师生互动应用新知
做一做
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
①若a=8,b=6,则c=_________.
②若c=20,b=12,则a=__________.
2、如图,等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,
①你能算出BC边上的高AD的长吗?
②△ABC的面积是多少?
试一试
现在你能计算出引入情景中“捷径”省下了几步路吗?结合计算结果,说说你的感想。
五、小结拓展内化新知
㈠课堂小结
思考、讨论:
这节课我学到了什么?
我还有哪些困惑?
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