、－－E．．．．．一直腊－。－VA月，“门U：酷寸444·门／角II－量－3Jm－l’”υ2法－一－削！一行.fll二／np’’一一mT乘面Z’ll丰－－、面用币TnAEHVn。平w仇JJqh－－二l求川”vdJ－TFr－－’l成4附V性、‘肿阻中li辅同口助一山亢平｝T〔川一削．『回a一nuj』？主－2主’E二主－hp市TL2：：：：：，什E－’正二7d－Jt飞lZ阳阳『－’影l土7m叩－－小、忖－丁－ζ二7句＼＂＇J长－44－』tyv2fEl的阳划k←一Jiiio-hur平＝飞阳明－iJ一成『巾［吊υ－／－图刊V’－－－品大、一－除1、相阳－F吉布件问旦坝’hu－M－吐山吐出。i－质’分阳山「『副川质所两－－里＝－T减面也l｛·－－的4A向－·－Flihh－－q知f市n川－－G－－Jq～（y示/tL「AHυ；d轴D（－辄A＝4’hu『E“i－l量l＝辛一向v－7Y←、Ill－、rIli－－f、一14＋外，ynNE、－－、吉衣V刀－c－－到－ιK平M擦一田2lIll阵－n川Ill酣J－－AP－『EM－－－){;7｜向｜｜夜才J等投,,,·、一、－－左－－－性、－一－二中飞理机一i－←HUN←机仅＋1－－4f－一p、田川－－／居以气VE一E＋玄JY视n旧制HA掘隅缸’。所、算约q＼反＼节v’＼’nnrRLρaHll－[filII－～的叫J－’h问’两－凶一X市相旧且即陆则守h庐练1－一／交巳7伽团a耶川川－’hu－三
l
(2)}JJ=.l问，.Y1
。''=Clp''Clq
a
11
，n
｜一一一一一一（q手1)
=f[2十n-l)d]
a
（
1
\1-q1-q
(1）时，升。｜仲?
(z）可T(z）?y
R
(n注2,q为常数
）
b
(5)1。叫运a
lll
l
cαa／／
a二丰卢
α」Ip,
=
(m+np+q)
！此时
an卢＝l,
X,Y
=Lr1士21土问）
直、
线
几何体的
=
(3)albGx1x2+Y1Y20
（)
分布，ic.11=与～B月，,p
理及其数
坐标
“a
｜
特别地叫可II=,;;;;i
=
yl
(1)a+blx+yl±G巳＋2
11
Kλ＝-e2",E，＞0
Rσ
）x
＝
ααt(n-)d
l
I
i
P(x,y）数
、←一一→复目＋y.一一一→向量OP
(泣，d为常数）
b同向时，a
(3）当a与叫叫lhl.
a
。运。运π，那么数量ll
C''=O(C为常数函数）
，llfi
llαfi＝丰α
ab,a,b模大小的关系
+
aaq
-na")
S=\(1-
11
AEα｜
直接与
直线平行
直接与直线
质
性
……··’
导数运算
d,dud.x
面的距离
结构、三
a-b表示从｜句量b的终点
!''(A·B·)
)
…++
p+·p=
l)杀。Ci注I,，，n);(2)1P2..,l
p2
(；
＝
=
(
:E￠)np剧。npqe二、、、
l!cl=Ulll，。O,,la与a的方向相同，
aa
任意两个非零向量，
il!:a,b是
=!''(AP(B
)
OP,+OP,OP（平行四边形法则l
=
〈肌·－，/D((Ji4?的标准差，记为叫
。
,a
xx))b)
②maxiflr),j(2)..,·,j(m,j(,j(),
lb
IaIcosB（或blcosB）叫做向量a在
+
(1）函数的近似公式j(x,!'':,.x)"''"flλ。）扩（玩）
f
－
川该驻点不定是极值点，此时，."(x0)=0
考点思维导图高中数学（二）
占
＝
既有大小又有方向的量当A是随机事件时
A、BEII一一P(A）
对－－乎
应
对
f=>Icα应
1
公理
旦
A、BEα
几何表示法：有向线段
｜’
·万多面体
若
，则z为纯虚数P（加B）二P(A）十P(B)
Al
平面向量
?l]z为实数，1
=
、
R(z)O
A、B、C不共线二字a3眶－,A,B、CECi
/
一I
E
A
αM平面的基本性质
＝
:I佳
斗／=
向量.4S的大小，＆Prai量J的长度（模），记f''Fj忍｜/11
A
R(z)R(z)
E12
｛
。
Z高
""''
p
''l
C:-
P(k)=p()
两直线平行,
l!(z,)=）
I（.石
长度为0的向量
L自明可子其线屏=
投的不幕的影投子线照后这现光下影
直的体下种把留投z为实数。zz
的位置关系
在屏体投做影
常用向量
抽剧川队
?
与川尸
长度相等且方向相同的向量
／空间、直
随的明及机概削其
点
JJ,I…I
p;
方向相同或相反的向量
tz
PE
线、平面之间
一视图与
零向量与任向量平行
JMHHd
AH
的位置关系
直观图
V
求两个向量和的运算
…＼、＼
/
三角形法则与平行四边形法则乒
·、
三C的数学期望（平均数，均值，期望）
Ea+a
二(()=x,p,+x,p产··x.,p,,···,E((b)=E（。＋b
i
z，士与［R(z，如R（与）］＋[l(z社！（马）］
bab
lI-l同时｜中I+II
t的均方差（方差）
」一面
＇＇
向量加法运算律
-.
D（凸＝（-E（凸?p/E（οp产··＋（,-E(()''
x1）(x1）x)
=
(a+b)+ca+{+c)＝衣
h++
llz,
1－马11,,;lz,z，ζlz,llz,
且里
HH席刷
－回
=
当旦仅当zkz,(k>O）时，右边等号成立
2
’【问｛足
O
当且仅当z产kz,(k<）时，左边等号成立
ab,ald二字bla
((
q"1
随机变量己服从二项p叶l
C''.
αcσ，bca,unb二A
+
一（α＋bi)(cdi)=(ac-bd)+i(bc+a码
实数1与｜司量a的积是个向量，记i''Fla.''
·
""
C!p''
c;
/
Ila,llh二字liα
。＋ac+bde-ad
bib
=
向量数乘的概念
1
T+7
+
N
!c与a的方向相反，M
平向的本念线运面量基概及性算
－
ala,bld二字。（／b
(1）简单随机抽样设个总体的个体数N,
为
共辄复数的性质
台体（圆台、棱台）
－
如果通过逐个抽取的方法从中抽取个梓本，且每次抽
l三种抽样方法1
al/Jaca二字al卢
,
向量的加、减法及数乘运算统称向量的线性运算
取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简
1的共同特点是：
一
单随机抽样
向量b与非零向量a共线。再且只有个实如，使得b=)a，
α吨/J//y当
l
抽样的客观性；
柱体（圆柱、棱柱）l
与公平
→
；
①平面向量
al/1,(2）系统抽样当总体中的个体数较多时，可将
OA的坐标等于A点的坐标
向量
概率统计
总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定的规则，从
－
a卢ll
=1y，yly每部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样
=
若aC,,yb,yl,J』
l,Cr22
11=
S15+SV=1sh
袤面积酬底’
η
叫做系统抽样
。“rnnr
运
算
nn
(3）分层抽样当已知总体由差异明显的n部分
→
”
咐lXX
=§nh0l''lx
V
也＝帆
球
组成时，常将总体分成n部分，然后按照各部分所占的
比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样
－
j（λ1h）长收）(1）用样本频率分布估计总体分布
：用样本估
一
计总体，是研究统计问题的个基本思想方法，由
于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频
点到平面
率分布去估计总体分布，一般地，样本容量越大，
的距离
过该点的平面的垂线段长度
设a＝（人。
τl,yi)''b＝（巧，川，
平面平这种估计就越精确
割线的斜率
直线和平面平行，直线
直线和平
一
行判
+
上任点到平面的距离
若A,B1…ff_x0t:,.x)}(x0)
=(x1,Y1)＝帆，川，则
众数、中位数、平均数
l1x
2
定及其
i支a,b都是非零向量，e是与b方向
II=平行平面
ABx
J内)-(yi-Yi
的
两个平行平面的公垂线段的长度的距离
相同的单位向量，0是a与e的夹角，WJ
I
两点间的距离公式）
（
异面直线
在连续型总体中，应用最为广泛的是呈正态分布的总体
XX十
两条异面直线公垂线段的长度
Y
12山的距离
土
＝...！！.＝
cose
(2)正态总体的概率密度函数是
凶E
l
门川川市甲体定
u
lllhl
,式中的实数，叫σ＞0）是参数，分别表示总体的平均数与
描胆
一
标准差，由于①式由参数／l,all住确定，E态总体常记ft
N（μ，的，它的密度曲线简称正态曲线
生
(4）若。为“’b的夹角，日IJcosa=-f!
｜州｜数量积lrtαocα，I//a力I！！α
，
的性
／／恼，lc卢，αnf]=a=>!//a
’
旷
二
叫
（
夺－凡u
αlh，卢／／二丰α矿卢
对
(3）曲线的称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确
“”“”
=
αn
。、bcα，anbA,a//p,b//fJ／！/J,＝a''la定，σ越大，曲线越矮胖，反过来曲线越高瘦
（。γ
－
－－－－－圈．．’回－．’
’－－－回－－，－－－－
．．．．．．．．．．．．
(I
叶
；经过理论上的计算，正态总体N(.a，σ）在三个区阔
α卢’α们y=a’卢们：，，＝b＝丰a／；川的取值概率如下表所示
b_
区间
取值概率
它们］之间的正方向的夹角为I),
0.686
2
法川与复
平面向量与复数
伊2厅，附2忡
合函数的
叫做a与b的数量积，记作用a·b
平面向量
0.9974
求导法川
定
④复合函数的导数
=
)(
的设.y=f(,,u=
方向上（或b在a方向上）的投影
通项公式
d
a叫作m)
m
量积
从上表可见，正态总体在机2o-,,u+2σ）以外取值的
基
概率只有4.6%，在（μ－3仔，队＋3的以外取值的概率不到
本
0.3%.常称这些情况发生为小概率事件，可认为这些
－
情况在次试验中几乎是不可能发生的
在生产中广泛运用的质量控制的根据是：小概率事
2ul7
a的长度与b在a方向上的投影的乘积
一
定义
件在
次试验中几平不可能发生的原理
0
在某个区间内，若／＇（x)>，则此
区间为／（功的递增区间
)0=O
在某个区间内，若j''(x<，则此当o-=1肘，函数①可以化成：
p,
（）
巾，，
区间为/(x）的递减区间
1
0
这个正态分布为标准正态分布，记作N(,1)由于它
(
3)f''(r俨0的根为K功的驻点，设j''(x)=0，在点X
0o
的应用广泛，E制成专门表格，在标准正态分布表中，
一卢…
的左侧V''(x)>O，右佩llf(x)o－
/
1于
11·相应于每个Xo的函数值φ（圳是指总体取小λ。的
=
.
a.a
极大值点，此时If"(x)1o
(
值的概率［函数φ（x）实际上是正态总体］N0,1）的
X
)>0则俨肘，Nl为1fx）的极小值点，
通项公式右侧!f''(x0oo
P<)
累积分布函数，即φ（x)=(xx0
＇’
a
此时（（飞。）＞O；如果在点泊的左右但IJ(''(x）同号，
o
=
=+
q
实数，使得al,e,ll我们J!巴e.eA4f''F=
12
G±
2fab
cG
－－
''
这平面内所有向量的组基底I
－
n1定义
(1）总体平均数的估计对于个总体的平均数II?
;
n-
1.
a(n
n,tl):
L－－－－－－－－－－－、飞－－』
可用样本平均数叶呐，＋·－叫）对它进行估计
…抑制三点
一
对于个总体的方差d''-,
一
A,B,C三点在条直线上
→→→
·ab
min｛辄卫队队九··、f(x),j(),j(古为
c
A＼
￠::,OC=α0.4+/JOBα＋卢1
，且
ABC
的坐标表示
法
1
na
1，铲)
U(μa）司机）a（」切）a如＋μu3巾＋二lui.
.b）+b
抽样方
－
。a=
d
1
）a,b］上的最大值与
fix在［最小值
pm一一一
=
当ab
与反向时，“·b=
:s-S=I
字母表示法亘古
a
指向raJ量a的终点的向量减法的几何意义
一一一
M-OP,
「（三制
?法J.i)
(
=l\!l1.t=f''xo)
标准差
(2)alb,::;,a·=O
b
0.9544
+
z为纯虚数。z=O
z
x)
!i-j（咱们圳仲。）
j(filo
判定定理
判定定理
(1e·俨a叫。
)剧。
｜
＇’
①和（差）的导数t仕v''=u士ν
（)
-3σ，11+3σ）
几I=1''I·UI吱生＝_{l,},.些
1m[]?
数列
σ）
(pσ，p＋
XiI…IX,
(log,''＝「logc
x)
定义
lj且一?一－＝／（x）扩
性质定JI
性质定理
R)
。，yE
二二
2尸·z
lzz
E线的斜率A』i
ρ）古c手，xεR
·
lblcosO
若l(z)=OT(z)#)r
二
!1S,(n1):
=
."''"
aq
m
S
表面积二、5创＋25，V=Sh
匪
JuX’?
a
b
ll·ll
aqdy
AU
白相川川叫已作
Atι
伴同呐
归川陆的
备用
伍用
dyιad
复数
旦里
口同
EE
一一
／J
：－
一、
kj
址川
nKUHH飞
、，」
变率抖性
－－
Ill
If
’品刷品相川叫川叫忡降’晤且←半岛励
ll
是光物留这’把叫
传射面个象线物面 |
|
