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| 导数及其应用章末小结 |
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第21课时《导数及其应用》复习小结教学设计一教材分析导数是微积分的核心概念之一，是研究曲线的切线、判断函数的单调性、求极值和最值的便利工具
，同时也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率、用料最省、利润最大、效度最高等实际问题的最有效手段。教材通过丰富的背景和大
量实例，展示导数和定积分的基本概念与思想方法；通过应用导数研究函数性质、解决生活中的优化问题等实践活动，通过应用定积分解决一些简单
的几何和物理问题，使学生初步感受导数和定积分在解决数学问题与实际问题中的作用；通过微积分基本定理的学习，使学生体会到导数与定积分之
间的内在联系，并领悟用微观驾驭宏观的辩证思想方法，了解微积分的文化价值。二学情分析1、通过前面的学习，学生初步认识了导数与微积分
的概念、运算，会运用导数求解简单的切线问题，并借助导数工具判断函数的单调性、求取函数的极值与最值；2、学生对本章知识点的认识尚缺乏
系统性，需要从整体的角度来构建知识网络，形成认知系统；3、学生对某些概念或思想方法的把握可能会存在偏差，教学要结合学生的易错点与
认知难点进行突破，提升学生分析问题与解决问题的能力。三教学目标1、通过复习归纳,引导学生构建知识网络，形成良好的数学认知结构；2
、围绕导数的几何意义、导数的应用、定积分三条主线展开教学，深化学生对导数与定积分的认识；3、在具体实例教学中渗透数形结合、分类讨论
、转化与化归的数学思想，培养学生数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，提高分析问题与解决问题的能力.四教学重难点【教学重点】
1、通过复习总结，使学生从整体上把握本章知识点；2、熟练掌握应用导数求切线斜率、判断函数单调性、求极值与最值的一般程序并解决相关问
题。【教学难点】应用导数判断函数的单调性以及解决生活中的优化问题.五教学过程（一）知识结构问题1:同学们，这节课我们一起来复习
一下第一章的内容，大家先回忆一下，本章我们学习了哪些内容呢?（我们一起看知识框图）问题2：我们熟悉了导数的概念，那能不能从物理和几
何两方面解释导数的意义吗？问题3：学习完了导数，我们又学习了微积分的另外一个核心概念——定积分.定积分在几何、物理中的简单应用生活
中的优化问题复合函数的导数导数的四则运算法则导数的概念函数的瞬时变化率运动的瞬时速度导数的几何意义曲线的割线斜率平均变化
率平均速度定积分定积分概念微积分基本定理微积分导数导数的运算导数的应用基本初等函数求导函数的单调性研究函数的极值与最值（二）
典例分析主线一导数的几何意义例1：过原点作曲线的切线，求该切线的方程.【解析】令切点为,因为切点在函数上，所以，原函数求导得，
所以在该点的切线为（1）将原点代入（1）式得，化简为，所以或.将代入（1）式可得切线方程为，将代入（1）式可得切线方程为，所以
切线方程为或.【设计意图】1、用导数求曲线的切线方程的步骤：（1）先求出函数在点处的导数；（2）根据点斜式写出切线的方程.2
、求在点P处的切线,点P一定是切点,求过点P的切线,点P不一定是切点.主线二导数的应用例2:已知函数.(1)讨论函数的单调性.(
2)若函数在区间上单调递减,求参数的取值范围.【解析】(1)由题意知函数的定义域为,(i)当时,,则在单调递减.(ii)当,由，得
，令得，则在上单调递增；令得，则在上单调递减.综上可得：当时，则在单调递减.当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)（法一）因为，
由（1）值当时满足题意;当时,可得,所以,解的得,综上可得的取值范围为.(法二)因为，且函数在区间上单调递减,所以原题等价于任意
时，恒成立，即，又，所以.所以的取值范围为.【设计意图】1、研究函数的相关问题，需优先考虑定义域；2、求单调区间时，如果，那么函
数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.3、已知单调区间求参数范围一般转化为不等式或的恒成立问题；4、在书写单
调区间时可以用“和”或“,”隔开，不能用“U”连接.例3：（教材67页B组第3题改编）如图，某零件是由一个圆柱和一个圆锥（等底）组
成，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，且圆锥的母线长为,设圆锥的高为.（1）求该零件的体积的函数解析式；（2）当为何值时，该零件的体积
有最大值，并求出最大值.【解析】（1）设圆柱（圆锥）的底面半径为，于是有.由圆柱和圆锥的体积公式知，所以因为，令，得.当变化时
，、的变化情况如下表：+0-递增极大值递减所以，当时，.答：当圆锥的高为时，该零件的体积最大，最大值为.【设计意图】1、函数的极值
是一个局部概念,最值是整体概念，极值不一定是最值；2、求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与
、比较得出函数在上的最大（小）值.3、解决生活中优化问题的步骤：读懂题意—建立数学模型—求解模型—检验结果—回到实际问题.主线三
定积分例4：计算下列定积分（2）(1)【解析】因为函数，由积分性质知(2)【解析：】由积分性质知因为，所以，根据定积分的几何意义
，表示由直线以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此,所以.【设计意图】求定积分的两个思路：利用微积分基本定理
；利用定积分的几何意义.六课堂小结:知识收获：1、曲线的切线问题需注意区分“在某点处”与“过某点”的不同；2、求函数单调区间与已
知单调区间求参数范围的不同；3、极值与最值的关系；4、定积分的求法.（二）思想方法收获：分类讨论思想、转化与化归思想、函数与方程
思想、数形结合思想.七作业布置：A组1、13B组1、6八板书设计：课题:导数及其应用单元小结主线一:导
数的几何意义主线三:定积分例1例4(1)(2)知识结构:主线二:导数的应用例2小结:例3九教学反思：1 |
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