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喜马拉雅的朋友，你好！我是刘建，今天我们继续学习印度历史。在上一讲中，我们大致了解了印度古代医学的发展与成就。今天，我们将了解印度古代数学的发展与成就。 印度数学的历史，可以追溯到印度河流域文明时期。我们之前提到印度河文明已经出现了祭坛和城市规划建设，这些都需要一些基本的测量和计算等数学知识。而当时应用的数学知识，比毕达哥拉斯的一些发现至少早两千年。印度河文明时期的商人，在与西亚国家进行贸易时，也需要一些基本的数学知识。印度数学中的二进制和十进制就产生于这一时期。所以，印度古代的数学与宗教伴生，随后又直接应用于城市规划与建设。数学推动了天文学的发展；反过来，天文学也促进了数学的进步。公元前4世纪至前3世纪问世的印度天文学名著《吠陀支天文篇》的作者拉迦图，就曾经在书中写道：“犹如孔雀头上的羽冠，蟒蛇头上的珠宝，天文计算是吠陀支中所有知识的顶端。”可见数学在印度古人心目中占有至为崇高的地位。 在吠陀时代，《梨俱吠陀》中包含的数列知识，已经超出初级数学范围。吠陀文献中还出现了无限和零的概念。十、百、千、万这样的整数也已被认识。后吠陀时期，数学著作已经在印度出现。这些数学著作的总称是“绳经”。能够被称为“经”，说明它们具有崇高的地位。流传至今的绳经有七种，即《宝陀耶那》、《阿跋私坛巴》、《摩那瓦》、《梅特拉耶那》、《伐拉哈》和《瓦都拉》。这些绳经都是后人以作者姓氏命名的，类似于中国的《孙子算经》、《张邱建算经》等。它们是世界上最早的数学论著。 其中《宝陀耶那》一书最具有代表性。这本书书不但提出了勾股定理，而且提出了分数概念，并运用分数算出了根号2的近似值。这些著作也被称为“数经”。它们主要讲述与建筑祭坛有关的知识。祭坛的形制多样，涉及多种几何图形。绳经主要研究了正方形、长方形、平行四边形、等腰梯形、菱形、直角三角形、边长为整数的直角三角形、等腰三角形、圆等基本几何图形的性质，归纳出一些几何定理。《宝陀耶那》提出的勾股定理明显早于希腊数学家毕达哥拉斯。过去一直被认为是起源于希腊的几何证明方法，在绳经中已经有多处出现。有些数学史专家发现，绳经是古巴比伦和埃及中王国数学知识的来源。如果这种说法成立，那么绳经中包含的数学思想，可能在公元前第三千纪，也就是印度河文明时期，就已经产生。 印度古代数学的发展在笈多王朝时期达到顶峰，取得了许多世界领先的重大成就。阿利耶毗陀，意译圣使，是公元5世纪时印度一位杰出的数学家和天文学家。他撰写的《阿利耶毗陀论》一书，科学地归纳和介绍了印度数字体系，无论在天文学领域还是数学世界都具有重大意义。他在这本书第一部分的天文表集里，使用自己独创的数字系统，简洁明了地记录有关天文数据。此后，所有印度文献均效法阿利耶毗陀，采用这一数字体系。 6世纪末，位值制在印度得到普遍采用。他在该书第二部分算法中，介绍了多种数学问题的计算方法。在几何学方面，他找到了求解三角形面积和圆面积的方法，也找到了求解角锥体体积和球体体积的方法。在代数方面，他已经得出求解平方根、立方根和二元一次方程的正整数解的方法；他提出的三角函数表与现代精确计算的数值相比误差很小。而他在数学方面最引人瞩目的成就是计算出了圆周率π的近似值为3.1416。我国南朝伟大的数学家祖冲之（429-500年）也在公元5世纪计算出了圆周率的值。他推算出圆周率的值在3.1415926与3.1415927之间。 应当说，阿利耶毗陀与祖冲之代表了当时世界数学的最高成就。他们得出的圆周率值都比希腊人精确，领先世界一千余年。 在阿利耶毗陀之后，天文学家婆罗门笈多（梵藏）也对印度数学的发展做出了重大贡献。他的天文学著作《婆罗门历数书》中有两章专门论述数学问题，内容涉及代数、平面几何、立体几何等许多方面。除了整数、分数和四则运算等基础数学内容外，他还引入了负数的概念，确立了正负数的加减规则。此外，他还得出有关比例、联立一次方程、等差级数、二次方程等数学问题的算法。他还论证了有关直角三角形、三角形、四边形、梯形、圆形等平面几何图形的面积以及求体积等立体几何方面的多种定理和计算方法。不过，由于他的著作中的许多问题与中国古代数学著作中的问题相同，也有人认为他曾受到中国数学的影响。 说到印度古代数学对世界文明的重大贡献，不得不提的还有印度-阿拉伯数字的数字体系的发明。 印度-阿拉伯数字，一直被称为阿拉伯数字，直到近些年来才被国际数学界正名为印度-阿拉伯数字。这一数字体系由印度人创造，后来经由阿拉伯地区传入欧洲，成为了国际通用数字，一种十进制位值数字体系。 印度大约于公元前3世纪中叶开始使用数字符号。这些数字符号就是印度-阿拉伯数字的前身。数学家和数学史学者，将大多数语言中通用的现代数字归功于印度的婆罗谜数字。在印度古代的一些石窟铭文和钱币上，依然可以找到婆罗谜数字。这一数字体系连同其他数学知识，在公元7世纪上半叶传入阿拉伯地区。随着阿拉伯帝国（632-1258）的兴起，印度数字体系开始向西传播。有的被前往印度西海岸经营贸易的商人带回阿拉伯地区，有的则是被公元8世纪初征服信德的阿拉伯人传往了穆斯林社会。 公元632年，叙利亚学者塞维鲁·塞伯克特（575~667）就曾提到印度数字体系。公元776年，阿拉伯帝国阿巴斯王朝第二代哈里发曼苏尔（714~715），命令将印度数学天文学名著《婆罗门历数书》（628）译为阿拉伯文，阿拉伯人由此开始熟悉印度数字体系。这些数字几经演变，逐渐完善。阿拉伯数学家和天文学家花拉子密（约780~约850）在《论印度数字的计算》（约825）一书中首次描述这一数字体系及其应用。伊朗伊斯兰教哲学家金迪（约逝世于870）的四卷本数学著作《论印度数字的使用》（约830）也是最早论及印度数字的名著。公元900年前后，阿拉伯人将印度-阿拉伯数字传入西班牙。而花拉子密和金迪的介绍印度数字和算法的两部著作，大约在12世纪初被译成拉丁文，从而使印度数字体系由另一路径传入欧洲。意大利中世纪最杰出的数学家莱奥纳尔多（约1170~1250）曾研究各种不同的数字体系，发现无一能与印度-阿拉伯数系媲美。1202年，他的数学名著《算经》出版，促进了印度-阿拉伯数字和印度-阿拉伯数学在欧洲的传播。 16世纪文艺复兴时期 ，几经改进，印度-阿拉伯数字体系的写法与现在的写法几近一致，并在随后的数世纪中传遍世界，成为今日世界通用数字体系。这是印度古代数学家对人类文化和科学技术发展所作出的具有重大意义的贡献。法国数学家拉普拉斯（1749~1827）曾说：“是印度给我们提供了以十个符号表达所有数字的巧妙方法，每个符号既有绝对值，又有位值……”现代学者已普遍认识到，阿拉伯数字的正确名称应是印度-阿拉伯数字。 阿拉伯语中数学一词是hindisat，意思就是“印度之术”。这一事实也说明，阿拉伯世界的数学知识源于印度，或者至少曾经受益于印度。印度数字体系经阿拉伯地区传入欧洲，欧洲人没有进行详细考证，便长期称之为阿拉伯数字。在古代资讯不发达的时代，一种发明只要适用，人们并不会刨根问底，究其来源。谈到印度数字体系对世界的意义，印度文化史专家A. L. 巴沙姆认为：“在这方面，西方世界受惠于印度的程度无论怎样估量都不会过度。如果没有发达的数学体系，大多数被欧洲引以自豪的伟大发现与发明，都将不可能。如果欧洲一直被不便使用的罗马数字所束缚，这些发现与发明也是不可能的。” 零也是印度数学贡献的一个重要概念。 零是整数系统中一个重要的数。通常把最早使用0表示数归功于印度人。 零的概念在印度的形成，与印度宗教哲学中“空”的观念有关。有些学者认为，零的概念在孔雀王朝后期，也就是公元前200年，就已经被印度人创造出来。印度古代数学著作残篇《巴克沙利稿本》，可能是公元前2世纪一部数学著作的抄本。在这一抄本中，已开始使用圆点（·）表示空位的“零”。笈多王朝时期，婆罗谜数字演变为笈多数字，传向更为广阔的地域。公元458年，一份耆那教宇宙学文献提到零和十进位置制。零的采用使印度数字体系得以完善。在今天印度古吉拉特邦发现的一处595年的铭文，是一处最早采用零和其他九个数字标记日期的铭文。在瓜廖尔发现的一处公元876年的铭文，也确切证实了0的使用。它与现代数字中的0几乎一模一样。 零同印度数字体系一道传入叙利亚等伊斯兰国家。12世纪，零最终传到西欧。法国数学家乔治·伊夫拉赫在其《从一到零——数字通史》（1985）中即持类似看法。国际数学界向来认为，举世通用的十进制、位值和零的定位使用，连同印度-阿拉伯数字，都是由印度人所创造。 作为一种思想产物，零的概念也曾经分别出现在巴比伦文明和玛雅文明之中，但并未产生普遍影响。在探讨零与十进位制组合的性质和含义方面，印度数学家在公元第一个千年的早期和中期起了非凡的决定性作用。 在公元700年前后，零的符号有可能从东南亚传入中国。约在13~14世纪，印度-阿拉伯数字初传中国。南宋淳祐七年，公元1247年，中国数学家秦九韶（1202~1261）撰成数学名著《数书九章》，其中表示零的符号已是一个封闭的圆圈。秦九韶用圆圈表示零可能就是借鉴了印度-阿拉伯数字中零的写法。 公元9世纪时，印度数学家摩诃毗罗也取得了突出的成就。他是印度有史以来数学家中第一个提到椭圆形面积计算方法的人。印度12世纪著名天文学家巴斯迦罗·阿阇梨，也是一位大数学家。他于1150年完成的《历数精粹》中有两章论述数学问题。规定了负数的乘法规则。 例如，他规定的负负得正、正负得负的规则，实际上开了代数符号现代约定的先河。他也是世界上最早对任何数除以零的意义有所领悟的数学家。他已经开始以字母表示未知数，与现代代数的用法非常相似，从而丰富并简化了数学语言，使之更为明晰和科学。他已经能够解一次与二次不定方程。他发现了正数的平方根的双值性，指出二次方程有两个根。他设计了计算球面面积的求和方法，这一方法被世界科学界认为相当于微积分的雏形。正是他将印度哲学中关于无限的观念发展成为数学上的无穷大概念。他认为，无穷大不论除以任何数字，其商都还是无穷大。 这一讲我们简要介绍了印度古代的数学成就。可以看到，印度民族的数学能力在世界各民族中是相当突出的。这一传统尽管曾经一度衰落，但在近现代，尤其是在印度独立以来，却快速获得恢复与发展。印度计算机软件业能够在20世纪90年代以来的短暂时间内异军突起，就与数学底蕴深厚这一民族传统具有渊源关系。 下一讲我们将了解印度古代科学的发展及成就。 感谢你的收听，再见！ |
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