探析中求锐角三角函数值之策略在九年级数学中，我们学习了直角三角形的边角关系，它是现实世界中应用广泛的关系之一。而锐角三角函数实现了直角三角形
边角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示了出来。在不利用计算器的情况下，如何求一个锐角的三角函数值呢？一、求特殊锐角三角函数值1
、求30?、45?、60?的三角函数值。解题策略：如右图所示，画一个锐角是30?的直角三角形和一个等腰直角三角形，然后利用取“特殊
值”法，根据锐角三角函数定义，写出锐角三角函数值即可。如图①所示，sin30?=，cos30?=，tan30?=；sin60?=，
cos60?=，tan60?=。图②45?30?60?12图①如图②所示，sin45?=，cos45?=，tan45?=1。图③3
0?15?2、求22.5?、67.5?、15?、75?正切值。解题策略：如图③所示，延长CA至点E，使AE=AB，连接BE。22.
5?图④45?22.5?则tan15?=2-，tan75?=2+如图④所示，延长CB至点E，使BE=BA，连接AE。则tan22.
5?=-1，tan67.5?=+1求一般锐角三角函数值1、定义法解题策略：根据题目条件易求出直角三角形的边长，然后根据锐角三角
函数定义，求出锐角三角函数值。图⑤如图⑤所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，AB＝5，AC＝4，求∠A的三角函数值。解：∵在Rt
△ABC中，∠C＝90?，AB＝5，AC＝4。∴BC==3∴sinA=，cosA=，tanA=。2、活“雷锋”法解题策略：活
“雷锋”法，即设“参数”法，根据题目条件，设出相关参数，其中所设参数在解题过程中被约分掉，从而求出锐角三角函数值的方法。因“参数”
助我们解决了问题，而悄悄地消失了，于是称这个参数为“活雷锋”，为了加深学生的形象记忆，便把设“参数”法叫做活“雷锋”法。a:当已
知直角三角形边之间的数量关系时图⑥如⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若2a＝b，求
∠A的三角函数值。解：设b=2k（k≠0）则a=k∵∠C＝90?∴c==k∴sinA===，cosA===，tanA===b:当
已知直角三角形两边（或三边）之比时如图⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，若a∶c＝2∶3，求∠A的三角函数值。解：设a=2m
（m≠0），则c=3m∵∠C＝90∴b==∴sinA===，cosA===，tanA===c:当已知直角三角形某一个锐角三角函数
值时如图⑥所示，已知在Rt△ABC中，∠C＝90?，若tanB＝，求∠A的三角函数值。解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90?，ta
nB＝∴tanB==,设b=3t（t≠0），则a=5t∴c==∴sinA===，cosA===，tanA===3、找“替身”法解
题策略：当一个锐角的三角函数值不易求出时，常转化为求与它相等角（替身）的三角函数值，使问题得以顺利解决。（1）如图⑦所示，A，B，
C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，则tanD的值为(B)A.B.C.D.
分析：由题目条件可知△ACD≌△AED，则∠D=∠B。由于∠D的三角函数值不易求出，而∠B正好在Rt△BCH中，易求出它的三角函数
值，从而求tan∠D转化为求tan∠B，问题被轻松解决。如图⑧所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝
8，则sin∠ABD的值是(D)AD⌒⌒AC=A.B.C.D.分析：因为AB是⊙O的直径，且CD⊥AB，
所以=，则∠ABC=∠ABD，求sin∠ABD转化为求sin∠ABC。因为AB是直径，所以∠ACB=90?。因为BC＝6
，AC＝8，所以AB=10，则sin∠ABC=，问题轻松解决。如图⑨所示，∠1的正切值等于。分析：tan∠1=tan∠2=如图
⑩所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是
。分析：连接AF、BF,易判断出△AFB为直角三角形，且∠APD=∠ABF，所以tan∠APD=tan∠ABF=2图⑦图⑧
图⑨图⑩4、构造法解题策略：将所求锐角放入构造的直角三角形中，从而求出它的三角函数值的方法叫做构造法。构造直角三角形常用方法有“
作垂直”、利用勾股定理逆定理判断、直径所对的圆周角是直角等等。⑴、如右图所示，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB延长线上
一点，BP＝2，求cosP的值。解：过点O作OC⊥AB于点C∵OC⊥AB于点C∴AC=BC=AB=4∵PB=2∴PC=PB+
BC=6在Rt△OAC中，∠ACO=90?∴OC==3在Rt△PCO中，∠PCO=90?∴PO==3∴cosP==⑵、如图11
所示，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为(D)B.C.D.分析：把∠C放入Rt△AHC中，
因为AH=1，CH=4，所以AC=，cosC=⑶、如图12所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为((B)A.
B.C.D.分析：连接CH，易判断△AHC是直角三角形，∠AHC=90?。因为AC=，CH=，所以sinA==⑷、如图13
所示，已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC＝4，则sinB的值为。分析：作直径AE，连接CE。因为AE是直径，所以∠ACE=90?，CE==2，sinB=sinE=图11图12图13 |
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