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女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。 前文回顾： 扒一扒布尔代数创始人的夫人——玛丽·布尔和曲线缝合：仰望天堂 本文说明了两种类型的设计的发展，从最初的概念到执行，再到最后的改进。重点是一个结构化、模块化的过程，适用于艺术或初级编程课程的教学。 1. 最初的概念 现代计算机和软件的力量和灵活性为艺术家和数学家们开辟了新的探索途径。有时，即使是一个非常简单的概念，也能带来意想不到的、令人惊叹的结果。本文用简单的算法对基本构件进行操作而开发的两种类型的设计。此外，它还将讨论对其中一个设计的改进，使之成为一件成品艺术品。 整个概念可以被称为 "重复图案"，因为所有的例子都是由一个图形重复和操作而产生的更复杂的设计。 图1中可以看到一个重复图案的例子。这些设计在2006年在美国德克萨斯州圣安东尼奥举行的联合数学会议上进行了展示和解释[1]。
图1 每一个都仅仅由椭圆组成，没有别的，按照一种模式组合和旋转。惊喜来自于复杂的设计发展。没有人能够预测最终设计中出现的圆环，然而所有的复杂性都源于非常基本的元素——椭圆——的相互作用。 2.向日葵系列 现在我们将逐步开发另外两种类型的图形。首先是“向日葵”系列。这个名字又是在发展之后出现的。也就是说，一个人不是开始画向日葵，而是选择一个设计元素，然后等待看会发生什么。只有在这之后，成品才会有一个名字。 在这种情况下，潜在的结构是一个半圆，用来绘制它的语言是Logo，这是一种简单易学的语言，可以在网上免费获得。Logo有两个基本的半圆命令，arc和arc2，如下图所示。
图2:画半圆 绘图从指针的后面开始。第一个数字指定弧跨越的度数，第二个数字确定从指针开始的弧的半径。使用“arc2”命令，绘图从指针的底部开始，然后指针留在弧的终点。 使用最后一个命令arc2 180 40，考虑如果重复执行五次会发生什么情况，每次都向右旋转108度，然后绘制下一个圆弧。这就是结果。
图3: repeat 5 [arc2 180 40 right 108] 一些探索和一点思考将让学生发现一种方法，以确定在每一个圆弧结束时完成n圈后的完整图形所需的圈数。从正多边形的角度思考，画一条边，计算多边形的顶角，意识到你必须转180度减去那个数才能继续。任何正多边形的顶角(VA)都是180(n-2)/n，因此转角(TA) = 180-VA度，这减少到360/n度，其中n是正多边形的边数。对于arc2命令，必须进行调整以适应指针在圆弧起点和终点的位置。期望的TA是180-360/n度，或者如果n=5，则是108度。 现在，如果这个图形围绕起点重复旋转两次、六次或二十次，会发生什么？
图4：repeat :n [repeat 5[arc2 180 40 right 108] right 360/:n] n = 2, 6, 20 通过三个步骤，我们已经从画一个简单的弧线到创造一个有趣的设计。特别是最后一个设计有四个不同的元素，可以用不同的方式强调。它们是外部边缘、带孔的过渡带、内部重叠弧和设计中心的小内圆。 这里有三个越来越复杂的“向日葵”设计。
图5:向日葵，n=20，30，40 继续这个系列，图6中的设计是由以下命令创建的: repeat:n[repeat 5[arc 2 180 40 right 108]right 360/:n]，n = 36。注意最外面的花瓣形状的变化以及更重的内部带。 一旦获得了设计，就可以在其他程序中对其进行增强。最后一个设计被导入到PhotoShop LE中，并在图层中进行处理。背景是纯深绿色。在这之上有两层，每一层都以某种方式改变了基本设计。在第一层，图形被调整大小，背景被删除，透明度设置为44%。第二层包含向右下角移动的图形的剪切透明副本。然后选择一个正方形，填充白色，并应用纹理，颗粒过滤器。最终的设计以灰度显示如下。
图6：n=36
图7：Photoshop增强功能 3.方形球系列 第二组设计类似于内部凸起的半球形方形。在这种情况下，基本结构是椭圆。Logo中的一个简单命令，ellipse :a :b，会围绕中心点绘制一个宽度为a，高度为b的椭圆。画十个椭圆，宽度递减，高度递增，如图8所示。下面的子例程自动进行绘制，初始宽度和高度由用户指定。 to ells :a :b repeat 10 [ellipse :a :b make "a :a-10 make "b :b+5] end
图8 将该图案重复四次并绕中心旋转，得到下面的“方形球”设计。
图9:方形球设计 这种组合的子程序是 to ells2 :a :b repeat 4 [ells :a :b right 45] seth 0 ;sets the pointer to face up, toward the top end 注意到这些设计之间的细微差别是很有趣的。在第一个中，内部有一些开放的空间，中心是开放的。中间的图案被填满，顶点处的点正好在一条线上。中间也填充得很好。正确的设计将这些品质结合起来，在一个实心的“球”中包含一些开放性。这些设计当然可以在PhotoShop或其他程序中进行增强，如添加颜色、背景、边框等。 这里展示的只是设计开发无限可能性中的两种。希望这些例子能鼓励人们探索数学欣赏和计算机编程的奇妙世界。 参考文献 [1] Susan McBurney, A Collection of Curves, Joint Mathematics Meeting 2006, San Antonio, TX, USA [2] Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure, Dover, 1979 [3] Robert J. Krawczyk, Workshop, ISAMA-CIT conference, Chicago, IL, USA, 2004 [4] Susan McBurney, Repeated Figures 青山不改，绿水长流，在下告退。 转发随意，转载请联系张大少本尊，联系方式请见公众号底部菜单栏。 |
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