2009年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）
A．﹣10℃ B．﹣6℃ C．6℃ D．10℃
2．（3分）计算﹣（﹣3a2b3）4的结果是（）
A．81a8b12 B．12a6b7 C．﹣12a6b7 D．﹣81a8b12
3．（3分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）
A．50° B．55° C．60° D．65°
4．（3分）已知点M（﹣2，3）在双曲线y＝上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
5．（3分）如图，在?ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
6．（3分）如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是（）
A．点E B．点F C．点G D．点H
9．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝﹣6的解，则k的值是（）
A．﹣ B． C． D．﹣
10．（3分）将直径为16cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（）
A．4cm B．cm C．cm D．cm
11．（3分）若n（n≠0）是关于x方程x2+mx+2n＝0的根，则n+m+4的值为（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
12．（3分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）
A．（0，0） B．（，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）2009年4月16日，国家统计局发布：一季度，城镇居民人均可支配收入为4834元，与去年同时期相比增长10.2%．4834元用科学记数法表示为元．
14．（4分）甲、乙两位棉农种植的棉花，连续五年的单位面积产量（千克/亩）统计如下表，则产量较稳定的是棉农．
棉农甲 68 70 72 69 71 棉农乙 69 71 71 69 70 15．（4分）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件：，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB＝CD．
16．（4分）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．
17．（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B2014的坐标是．
三、解答题（共7小题，满分64分）
18．（7分）化简：．
19．（9分）某中学对全校学生60秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是100次．某班体育委员统计了全班50名学生60秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点）：
求：（1）该班60秒跳绳的平均次数至少是多少？是否超过全校平均次数？
（2）该班一个学生说：“我的跳绳成绩在我班是中位数”，请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数达到或超过校平均次数的概率是多少？
20．（9分）如图，⊙O的直径AB＝4，C为圆周上一点，AC＝2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
求证：四边形OBEC是菱形．
21．（9分）为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神，有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点，对彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补．企业数据显示，截至2008年12月底，试点产品已销售350万台（部），销售额达50亿元，与上年同期相比，试点产品家电销售量增长了40%．
（1）求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台（部）？
（2）如果销售家电的平均价格为：彩电每台1500元，冰箱每台2000元，手机每部800元，已知销售的冰箱（含冰柜）数量是彩电数量的倍，求彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售多少万台（部），并计算获得的政府补贴分别为多少万元？
22．（10分）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．
23．（10分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB＝2米，BC＝1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值？若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
24．（10分）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG＝CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
2009年山东省东营市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）
A．﹣10℃ B．﹣6℃ C．6℃ D．10℃
【分析】这天的最高气温比最低气温高多少，即是求最高气温与最低气温的差．
【解答】解：∵2﹣（﹣8）＝10，
∴这天的最高气温比最低气温高10℃．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的意义和实际应用，运算过程中应注意有理数的减法法则．
2．（3分）计算﹣（﹣3a2b3）4的结果是（）
A．81a8b12 B．12a6b7 C．﹣12a6b7 D．﹣81a8b12
【分析】根据积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后直接选取答案．
【解答】解：﹣（﹣3a2b3）4＝﹣34a8b12＝﹣81a8b12．
故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方的运算法则，应注意运算过程中的符号．
3．（3分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠FED＝∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EFB＝∠FED＝65°，
由折叠的性质知，∠FED＝∠FED′＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣2∠FED＝50°．
故∠AED′等于50°．
故选：A．
【点评】本题考查了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．
4．（3分）已知点M（﹣2，3）在双曲线y＝上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣6的，就在此函数图象上．
【解答】解：∵点M（﹣2，3）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝（﹣2）×3＝﹣6，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．
A、因为3×（﹣2）＝﹣6＝k，所以该点在双曲线y＝上．故A选项正确；
B、因为（﹣2）×（﹣3）＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故B选项错误；
C、因为2×3＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故C选项错误；
D、因为3×2＝6≠k，所以该点不在双曲线y＝上．故D选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5．（3分）如图，在?ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA＝∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC＝∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE＝CD，则BE可求解．
【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，
∴∠EDA＝∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴CD＝CE＝AB＝6，
即BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2．
故选：A．
【点评】本题直接通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．
6．（3分）如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，分别得到每个几何体的三视图，进而得到答案．
【解答】解：正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形；
圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆；
圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆；
球主视图、左视图、俯视图都是圆，
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A． B．
C． D．
【分析】本题应该先求出各不等式的解集，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．
【解答】解：由（1）得，x＞﹣3，
由（2）得，x≤1，
故原不等式组的解集为：﹣3＜x≤1．
在数轴上表示为：
故选：A．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的．
8．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是（）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【分析】根据“对应点到旋转中心的距离相等”，知旋转中心，即为对应点所连线段的垂直平分线的交点．
【解答】解：根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上．
则其旋转中心是NN1和PP1的垂直平分线的交点，即点G．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，要结合三角形的性质和网格特征解答．
9．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝﹣6的解，则k的值是（）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y＝﹣6中可得．
【解答】解：解方程组得：x＝7k，y＝﹣2k，
把x，y代入二元一次方程2x+3y＝﹣6，
得：2×7k+3×（﹣2k）＝﹣6，
解得：k＝﹣，
故选：A．
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组的解，先用含k的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y＝﹣6中可得．其实质是解三元一次方程组．
10．（3分）将直径为16cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（）
A．4cm B．cm C．cm D．cm
【分析】算出圆形的周长，那么除以4就可求出一个圆锥侧面的弧长，那么除以2π求得圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得每个圆锥容器的高．
【解答】解：直径为16cm，则半径为8，圆的周长＝16π，则每个扇形的弧长＝＝4πcm，
所以做成的圆锥的底面半径r＝＝2cm，
由勾股定理得，圆锥容器的高＝＝2cm，
故选：D．
【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式求解．
11．（3分）若n（n≠0）是关于x方程x2+mx+2n＝0的根，则n+m+4的值为（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+2n＝0，然后求得m+n＝﹣2，最后将其代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：∵n（n≠0）是关于x方程x2+mx+2n＝0的根，
∴n2+mn+2n＝0，即n（n+m+2）＝0，
∵n≠0，
∴n+m+2＝0，即n+m＝﹣2；
∴n+m+4＝﹣2+4＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
12．（3分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）
A．（0，0） B．（，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
【分析】过A点作垂直于直线y＝x的垂线AB，此时线段AB最短，因为直线y＝x的斜率为1，所以∠AOB＝45°，△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则OC＝BC＝．因为B在第三象限，所以点B的坐标为（﹣，﹣）．
【解答】解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y＝x的距离．
过A点作垂直于直线y＝x的垂线AB，
∵直线y＝x与x轴的夹角∠AOB＝45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
过B作BC垂直x轴，垂足为C，
则BC为中垂线，
则OC＝BC＝．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．
∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，
∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．
故选：C．
【点评】本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）2009年4月16日，国家统计局发布：一季度，城镇居民人均可支配收入为4834元，与去年同时期相比增长10.2%．4834元用科学记数法表示为4.834×103元．
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【解答】解：4834＝4.834×103元．
【点评】本题考查学生对科学记数法的掌握．科学记数法要求前面的部分的绝对值是大于或等于1，而小于10，小数点向左移动3位，应该为4.834×103．
14．（4分）甲、乙两位棉农种植的棉花，连续五年的单位面积产量（千克/亩）统计如下表，则产量较稳定的是棉农乙．
棉农甲 68 70 72 69 71 棉农乙 69 71 71 69 70 【分析】先计算出两位棉农的平均产量，再根据方差公式计算后，比较即可．
【解答】解：甲的平均产量1＝（68+70+72+69+71）÷5＝70，
乙的平均产量2＝（69+71+71+69+70）÷5＝70，
s12＝[（68﹣70）2+（70﹣70）2+（72﹣70）2+（69﹣70）2+（71﹣702]＝2，
s22＝[（69﹣70）2+（71﹣70）2+（71﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2]＝0.8．
∴甲的方差比乙的大，根据方差的意义，故乙比甲稳定．
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件：∠DAC＝∠ADB或∠BAD＝∠CDA或∠DBC＝∠ACB或∠ABC＝∠DCB或OB＝OC或OA＝OD，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB＝CD．
【分析】先证四边形AECO是梯形，再说明是等腰梯形．由题意可知，∠ABD＝∠ACD，AD是△BAD和△CDA的公共边，则可以再添加一组角∠DAC＝∠ADB或∠BAD＝∠CDA，同理可添加∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD，从而推出AD∥BC且AB＝CD．
【解答】解：由题意可知，∠ABD＝∠ACD，AD是△BAD和△CDA的公共边，
则可以再添加一组角∠DAC＝∠ADB或∠BAD＝∠CDA
∴△BAD≌△CDA
∴BD＝AC，AB＝DC，
∵∠DAC＝∠ADB，
∴OA＝OD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠DAC＝∠ACB＝∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC
同理可添加∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD，从而推出AD∥BC且AB＝CD．
本题答案不唯一，如∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD．（任选其一）
【点评】这是一道考查等腰梯形的判定方法的开放性的题，答案不唯一．
16．（4分）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或2．
【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时，＝，
又∵AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝BF，
∴＝，
解得BF＝；
②△B′CF∽△BCA时，＝，
AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝CF，BF＝B′F，
而BF+FC＝4，即2BF＝4，
解得BF＝2．
故BF的长度是或2．
故答案为：或2．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
17．（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B2014的坐标是（22014﹣1，22013）．
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
【解答】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
代入y＝kx+b得，
解得：．
则直线的解析式是：y＝x+1．
∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴点B3的坐标为（7，4），…，
∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．
Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）
∴B2014的坐标是（22014﹣1，22013）．
故答案为：（22014﹣1，22013）．
【点评】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
三、解答题（共7小题，满分64分）
18．（7分）化简：．
【分析】首先把各个分式的分子分母能分解因式的分解因式，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分，最后进行加减运算．
【解答】解：原式＝?
＝?
＝
＝＝1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，注意运算顺序，通分、约分是解题的关键．
19．（9分）某中学对全校学生60秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是100次．某班体育委员统计了全班50名学生60秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点）：
求：（1）该班60秒跳绳的平均次数至少是多少？是否超过全校平均次数？
（2）该班一个学生说：“我的跳绳成绩在我班是中位数”，请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数达到或超过校平均次数的概率是多少？
【分析】（1）观察直方图，根据平均数公式计算平均次数后，比较得答案；
（2）根据中位数意义，确定中位数的范围；
（3）根据频率的计算方法，可得跳绳成绩达到或超过校平均次数的概率为0.66．
【解答】解：（1）该班60秒跳绳的平均次数至少是：＝100.8，
∵100.8＞100，
∴一定超过全校平均次数；
（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，由4+13+19＝36，所以中位数一定在100～120范围内；
（3）该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2＝33（人），
∴＝0.66，
∴从该班任选一人，跳绳成绩达到或超过校平均次数的概率为0.66．
【点评】利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数．
20．（9分）如图，⊙O的直径AB＝4，C为圆周上一点，AC＝2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
求证：四边形OBEC是菱形．
【分析】易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，根据圆周角定理得到∠AEC＝30°；根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，则∠EAB＝30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形．
【解答】证明：在△AOC中，AC＝2，
∵AO＝OC＝2，
∴△AOC是等边三角形．
∴∠AOC＝60°，
∴∠AEC＝30°；
而DC为⊙O的切线，
∴OC⊥l，
而BD⊥l，
∴OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOC＝60°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝30°，
∴∠EAB＝∠AEC．
∴AB∥CE．
∴四边形OBEC为平行四边形．
又∵OB＝OC＝2．
∴四边形OBEC是菱形．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．
21．（9分）为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神，有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点，对彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补．企业数据显示，截至2008年12月底，试点产品已销售350万台（部），销售额达50亿元，与上年同期相比，试点产品家电销售量增长了40%．
（1）求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台（部）？
（2）如果销售家电的平均价格为：彩电每台1500元，冰箱每台2000元，手机每部800元，已知销售的冰箱（含冰柜）数量是彩电数量的倍，求彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售多少万台（部），并计算获得的政府补贴分别为多少万元？
【分析】（1）本题中“截至2008年12月底，”“与上年同期相比，试点产品家电销售量增长了40%”，所以可先设07年的销售量，然后表示出08年的销售量，再根据“截至2008年12月底，试点产品已销售350万台（部）”，即可列出方程；
（2）要把握好两个关键语：“已知销售的冰箱（含冰柜）数量是彩电数量的倍，”“销售额达50亿”，然后根据彩电的销售额+冰箱的销售额+手机的销售额＝总销售额．列出方程求解．
【解答】解：（1）设2007年销量为a万台，则a（1+40%）＝350，
解之得：a＝250；
答：2007年同期试点产品类家电销售量为250万台（部）；
（2）设销售彩电x万台，则销售冰箱x万台，销售手机（350﹣x）万台．
由题意得：1500x+2000×x+800（350﹣x）＝500000．
解得：x＝88．
∴x＝132，350﹣x＝130．
所以，彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部．
∴88×1500×13%＝17160（万元），132×2000×13%＝34320（万元），
130×800×13%＝13520（万元）．
获得的政府补贴分别是17160万元、34320万元、13520万元．
答：彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部，获得的政府补贴分别为17160万元、34320万元、13520万元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．（10分）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．
【分析】如果延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的长度．直角三角形ACE中有坡比，由AC的长，那么就可求出AE的长，然后求出BE、CE的高度，BC＝BE﹣CE，即可得出结果．
【解答】解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．
在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比为1：可知：∠CAE＝30°，
∴CE＝AC?sin30°＝10×＝5，
AE＝AC?cos30°＝10×＝．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝11．
∵BE＝BC+CE，∴BC＝BE﹣CE＝11﹣5＝6（米）．
答：旗杆的高度为6米．
【点评】两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．
23．（10分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB＝2米，BC＝1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值？若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）要看图解答问题．得出当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米可得出三角形EMN的面积．
（2）本题要分情况解答（0＜x≤1；1＜x＜1+）．当0＜x≤1时，可直接得出三角形的面积函数；当1＜x＜1+，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出三角形面积函数；
（3）本题也要分两种情况解答：当MN在矩形区域滑动时以及当MN在三角形区域滑动时），利用二次函数的性质解答．当MN在矩形区域滑动时，S＝x，可直接由图得出取值范围；当MN在三角形区域滑动时，由二次函数性质可知，在对称轴时取得最大值．
【解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米．
∴S△EMN＝×2×0.5＝0.5（平方米）．
即△EMN的面积为0.5平方米．
（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，
即0＜x≤1时，
△EMN的面积S＝×2×x＝x；
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+时，
如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG＝．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴，即．
故△EMN的面积S＝××x
＝；
综合可得：S＝
（3）①当MN在矩形区域滑动时，S＝x，所以有0＜S≤1；
②当MN在三角形区域滑动时，S＝﹣x2+（1+）x，
因而，当（米）时，S得到最大值，
最大值S＝＝＝+（平方米）．
∵+＞1，
∴S有最大值，最大值为（+）平方米．
【点评】本题考查的是二次函数的相关知识．考生要学会利用图形，数形结合解答函数问题．难度较大．
24．（10分）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG＝CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG＝EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG．
（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG＝FD，
同理，在Rt△DEF中，
EG＝FD，
∴CG＝EG．
（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，
∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG＝CG；
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG＝NG；
∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，
∴四边形AENM是矩形，
在矩形AENM中，AM＝EN，
在△AMG与△ENG中，
∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG＝EG，
∴EG＝CG．
证法二：延长CG至M，使MG＝CG，
连接MF，ME，EC，
在△DCG与△FMG中，
∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，
∴△DCG≌△FMG．
∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CBE中，
∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF＝∠CEB．
∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝∠CEB+∠CEF＝90°，
∴△MEC为直角三角形．
∵MG＝CG，
∴EG＝MC，
∴EG＝CG．
（3）解：（1）中的结论仍然成立．
理由如下：
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．
由于G为FD中点，
∵∠GCD＝∠GMF，∠CGD＝∠MGF，GF＝GD，
∴△CDG≌△MFG（AAS），
∴CD＝FM，
又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，
∴△EFM≌△EBC（SAS），
∴∠FEM＝∠BEC，EM＝EC
∵∠FEC+∠BEC＝90°，∴∠FEC+∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG＝CG，EG⊥CG．
【点评】本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．
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