一、导数单调性、极值、最值的直接应用
已知函数
⑴当时，求曲线在点处的切线方程；
⑵当时，讨论的单调性.
已知函数
⑴设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立关于的函数关系式，并求的最大值；
⑵若在(0,4)上为单调函数，求的取值范围。
（最值直接应用）已知函数，其中.
（Ⅰ）若是的极值点，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.
设函数．
(1)讨论函数在定义域内的单调性；
(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围．
（最值应用，转换变量）
（最值应用）
已知二次函数对都满足且，设函数（，）．
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，，求证：对于，恒有．
设是函数的一个极值点.
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围.
(2010山东，两边分求，最小值与最大值)
已知函数．
⑴求在上的最小值；
⑵若存在（是常数，＝2.71828）使不等式成立，求实数的取值范围；
⑶证明对一切都有成立．
（最值应用）
设函数，且，其中是自然对数的底数.
⑴求与的关系；
⑵若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
⑶设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围.
（2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）
设函数
⑴讨论函数的单调性；
⑵若有两个极值点，记过点的直线斜率为,问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（构造函数，好，较难）
已知函数.
⑴求函数的单调增区间；
⑵记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由.
(2011天津理19，综合应用)
已知，函数，．(的图象连续)
⑴求的单调区间；
⑵若存在属于区间的，且，使，证明：．
（单调性，用到二阶导数的技巧）
已知函数
⑴若，求的极大值；
⑵若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.
已知函数
⑴若函数φ(x)=f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；
⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．
二、交点与根的分布
（2008四川22，交点个数与根的分布）
已知是函数的一个极值点．
⑴求；
⑵求函数的单调区间；
⑶若直线与函数的图像有个交点，求的取值范围．
已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点．
（1）求的值；
（2）若1是其中一个零点，求的取值范围；
（3）若，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.
（交点个数与根的分布）
已知函数
⑴求在区间上的最大值
⑵是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
(2009宁夏，利用根的分布)
已知函数
⑴如，求的单调区间；
⑵若在单调增加，在单调减少，证明：＜6.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2009天津文，利用根的分布讨论）
设函数，其中
⑴当时，求曲线在点处的切线的斜率
⑵求函数的单调区间与极值
⑶已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围.
已知函数在点处的切线方程为．
⑴求函数的解析式；
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；
⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.
（I）求的最大值；
（II）若上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．
三、不等式证明
（2010湖南，最值、作差构造函数）
已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)若，求证：≤≤x．
（2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）
已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
⑴用表示，并求的最大值；
⑵求证：当时，．
（2009全国II理21，字母替换，构造函数）
设函数有两个极值点，且
⑴求的取值范围，并讨论的单调性；
⑵证明：.
（变形构造新函数，一次）
已知函数．
⑴试讨论在定义域内的单调性；
⑵当＜－1时，证明：，．求实数的取值范围．
（2011辽宁理21，变形构造函数，二次）
已知函数.
⑴讨论函数的单调性；
⑵设，如果对任意，≥，求的取值范围.
已知函数
（1）确定函数的单调性；
（2）若对任意，且，都有，求实数a的取值范围。
已知函数，a为正常数．
⑴若，且a，求函数的单调增区间；
⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．
⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围．
已知函数.
（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，设函数，若，求证
已知．
(1)求函数在上的最小值；
(2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明:对一切，都有成立．
已知函数，
（Ⅰ）求的极值
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围
（Ⅲ）已知，且，求证
（2010湖北，利用⑵结论构造）
已知函数的图象在点处的切线方程为.
（反比例，作差构造）
⑶.（替换构造）
解：本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。
⑴，则有，解得.
⑵由⑴知，，
令，则，
①当，
若，则，是减函数，所以
，故在上恒不成立。
②时，
若，故当时，。
综上所述，所求的取值范围为
⑶由⑵知：当时，有.
令，有
当时，
令，有
即，
将上述个不等式依次相加得
,整理得.
已知的图像在点处的切线与直线平行.
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：（n∈N）
解：（Ⅰ），根据题意，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
令，
则，=
①当时，，
若，则，在减函数，所以，即在上恒不成立．
②时，，当时，，在增函数，又，所以．
综上所述，所求的取值范围是（Ⅲ）（Ⅱ）知当时，在上恒成立．取得
令，得，
即所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得(替换构造)
已知函数
⑴求函数的单调区间；
⑵若≤0恒成立，试确定实数的取值范围；（一次，作差构造）
⑶证明：①当时，；②.
解：⑴函数的定义域为中，.
当≤0时，，则在上是增函数.
当时，在上是增函数，在上是减函数.
⑵由⑴知，当≤0时，在上是增函数.而，≤0不成立.
当时，由⑴知，要使≤0恒成立，则≤0，解得≥1.
⑶①由⑵知当时，有在上恒成立，且在是减函数.
又，∴当时，，即.
②令则即，从而.
∴成立.
（2011浙江理22,替换构造）
已知函数.
⑴求的单调区间和极值；
⑵求证：.
解：⑴定义域为,.
令，令
故的单调递增区间为，的单调递减区间为
的极大值为
⑵证明：要证
即证，即证
即证
令，由⑴可知在上递减，故
即，令，故
累加得，
故，得证
法二：=
，其余相同证法.
（替换构造）
已知函数.
⑴求函数的最小值；
⑵若≥0对任意的恒成立，求实数a的值；（一次，作差构造）
⑶在⑵的条件下，证明：.
解：（1）由题意，由得.
当时,；当时，.
∴在单调递减，在单调递增.
即在处取得极小值，且为最小值，
其最小值为
（2）对任意的恒成立，即在上，.
由（1），设，所以.
由得.
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴在处取得极大值.
因此的解为，∴.
（3）由（2）知，因为，所以对任意实数均有，即.
令，则.∴.
∴.
四、不等式恒成立求字母范围
恒成立之最值的直接应用
（2011北京理18倒数第3大题，最值的直接应用）
已知函数。
⑴求的单调区间；
⑵若对于任意的，都有≤，求的取值范围.
解：⑴，令，
当时，与的情况如下：
+ 0 0 + 0 所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，
当时，与的情况如下：
0 + 0 0 所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是。
⑵当时，因为，所以不会有
当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是，
所以等价于,解
综上：故当时，的取值范围是[，0].
（2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧）
已知函数，其中.
⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式；
⑵讨论函数的单调性；
⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
解：⑴，由导数的几何意义得，于是．
由切点在直线上可得，解得．
所以函数的解析式为．
⑵．
当时，显然(),这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 － － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴在，内是增函数，在，内是减函数．
⑶由⑵知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．
（转换变量，作差）
已知函数.
⑴若，求的单调区间；
⑵已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，求实数b的取值范围。
解：⑴，或1
令，解得令，解得，
的增区间为；减区间为，
⑵，即
由题意两根为，，又
且△，.
设，
或
2 + 0 0 + 极大值 极小值 又，，，.
恒成立之分离常数
（分离常数）
已知函数
(1)若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间；
(2)若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.
解:(1)定义域为,直线的斜率为,
,,.所以
由;由
所以函数的单调增区间为,减区间为.
(2)，且对时，恒成立
,即.
设.
当时,,
当时,,.
所以当时,函数在上取到最大值,且
所以,所以
所以实数的取值范围为.
（法二）讨论法
，在上是减函数，在上是增函数.
当≤时，≥，解得，∴≤.
当时，，解得，∴.
综上.
（2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）
已知函数,（其中R,为自然对数的底数）.
(1)当时,求曲线在处的切线方程；
(2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.
（改x≥0时，≥0恒成立.≤1）
解：（1）当时，,,,
切线方程为．
（2）[方法一]
≥1,≥≤,
设,则,
设,则,
在上为增函数,≥,
,在上为增函数,
≥,≤．
[方法二], ,
设,,
≥0,≥0,在上为增函数,
≥.
又≥0恒成立,≥0,≤,
≥,,
在上为增函数,此时≥≥0恒成立,
≤．
（改x≥0时，≥0恒成立.≤1）
解：先证明在上是增函数，再由洛比达法则，∴，∴≤1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上，分两种情况讨论可得≤1）
（两边取对数的技巧）设函数且）
（1）求的单调区间；
（2）求的取值范围；
（3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）,
当时，即.
当时，即或.
故函数的单调递增区间是.
函数的单调递减区间是.
（2）由时，即，
由（1）可知在上递增，在递减，所以在区间（－1，0）上，
当时，取得极大值，即最大值为.
在区间上，.
函数的取值范围为.分
（3），两边取自然对数得
（分离常数）
已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间其中a>0，上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
解：（Ⅰ）因为，x>0，则，
当时，；当时，．
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值．
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以解得．
（Ⅱ）不等式即为记
所以
令，则，
，在上单调递增，
，从而，
故在上也单调递增，所以，所以．
（2010湖南，分离常数，构造函数）
已知函数对任意的恒有.
⑴证明：当
⑵若对满足题设条件的任意b、c，不等式恒成立，求M的最小值。
（第3问不常见，有特点，由特殊到一般，先猜后证）已知函数
（Ⅰ）求函数f(x)的定义域
（Ⅱ）确定函数f(x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.
（Ⅲ）若x>0时恒成立，求正整数k的最大值.
解：（1）定义域
（2）单调递减。
当，令，
故在（－1，0）上是减函数，即，
故此时
在（－1，0）和（0，+）上都是减函数
（3）当x>0时，恒成立，令
又k为正整数，∴k的最大值不大于3
下面证明当k=3时，恒成立
当x>0时恒成立
令，则
，，当
∴当取得最小值
当x>0时，恒成立，因此正整数k的最大值为3
(恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理)
已知函数
（Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论；
（Ⅱ）若恒成立，求整数k的最大值；（较难的处理）
（Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3.
解：（I）
上递减.
（II）
则上单调递增，
又
存在唯一实根a，且满足
当
∴
故正整数k的最大值是3.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
∴
令，则
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3
(分离常数，双参，较难)已知函数，.
（１）若函数依次在处取到极值．
①求的取值范围；②若，求的值．
（２）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立．求正整数的最大值．
解：（1）①
②
.
（2）不等式，即，即.
转化为存在实数，使对任意，不等式恒成立,即不等式在上恒成立。
即不等式在上恒成立。
设，则。
设，则，因为，有。
故在区间上是减函数。
又
故存在，使得。
当时，有，当时，有。
从而在区间上递增，在区间上递减。
又
所以当时，恒有；当时，恒有；
故使命题成立的正整数的最大值为5.
（2008湖南理22，分离常数，复合的超范围）
已知函数
⑴求函数的单调区间;
⑵若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.（分离常数）
解:⑴函数的定义域是，
设则
令则
当时，在（－1，0）上为增函数，
当x＞0时，在上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，
函数g(x)在上为减函数.
于是当时，当x＞0时，
所以，当时，在（－1，0）上为增函数.
当x＞0时，在上为减函数.
故函数的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为.
⑵不等式等价于不等式
由知，＞0，∴上式变形得
设，则则
由⑴结论知，（≤）即
所以于是G(x)在上为减函数.
故函数在上的最小值为
所以a的最大值为
（变形，分离常数）
已知函数(a为实常数).
(1)若，求证：函数在(1,+∞)上是增函数；
(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
解：⑴当时，，当，，
故函数在上是增函数．
⑵，当，．
若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．
若，当时,；当时，，此时
是减函数；当时，，此时是增函数．
故．
若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数 在上是减函数，此时．
⑶不等式，可化为．
∵,∴且等号不能同时取，所以，即，
因而（）
令（），又，
当时，，，
从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，
故的最小值为，所以a的取值范围是．
（分离常数，转换变量，有技巧）
设函数.
⑴若函数在处与直线相切：
①求实数的值；②求函数在上的最大值；
⑵当时，若不等式≥对所有的都成立，求实数的取值范围.
解：（1）①。
∵函数在处与直线相切解得 .
②
当时，令得；令，得，上单调递增，在[1，e]上单调递减，.
（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，
即对所有的都成立，
令为一次函数，.
上单调递增，，
对所有的都成立.
..
（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，，请根据过程酌情给分）
恒成立之讨论字母范围
（2007全国I，利用均值，不常见）
设函数．
⑴证明：的导数；
⑵若对所有都有，求的取值范围．
解：⑴的导数．由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
⑵令，则，
①若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
②若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值；
(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1>0,x2>0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；
(Ⅲ):若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．
解：(Ⅰ)F(x)=ex+sinx－ax,.
因为x=0是F(x)的极值点,所以.
又当a=2时,若x<0,;若x>0,.
∴x=0是F(x)的极小值点,∴a=2符合题意.
(Ⅱ)∵a=1,且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以.
令当x>0时恒成立.
∴x∈[0,+∞时,h(x)的最小值为h(0)=1.∴|PQ|min=1.
(Ⅲ)令
则.
因为当x≥0时恒成立,
所以函数S(x)在上单调递增,
∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立;
因此函数在上单调递增,当x∈[0,+∞时恒成立.
当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即.
故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立.
（用到二阶导数，二次）
设函数.
⑴若，求的最小值；
⑵若当时，求实数的取值范围.
解：（1）时，，.
当时，；当时，.
所以在上单调减小，在上单调增加
故的最小值为
（2），
当时，，所以在上递增，
而，所以，所以在上递增，
而，于是当时，.
当时，由得
当时，，所以在上递减，
而，于是当时，，所以在上递减，
而，所以当时，.
综上得的取值范围为.
(第3问设计很好，2问是单独的，可以拿掉)已知函数，斜率为的直线与相切于点.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当实数时，讨论的极值点。
（Ⅲ）证明：.
解：（Ⅰ）由题意知：
………………………………2分
解得：；解得：
所以在上单调递增，在上单调递减………………4分
（Ⅱ）=
得：.
若即，
+ - + 极大值 极小值 此时的极小值点为，极大值点………………………………7分
若即，，则，在上单调递增，无极值点.
若即，，
+ - + 极大值 极小值 此时的极大值点为，极小值点.
综上述：
当时，的极小值点为，极大值点；
当时，无极值点；
当时，的极大值点为，极小值点.
（2011全国I文21，恒成立，一次，提出一部分再处理的技巧）
设函数.
⑴若a=，求的单调区间；
⑵若当≥0时≥0，求a的取值范围.
解：⑴时，，.
当时;当时，;
当时，.
故在，单调增加，在(－1，0)单调减少.
⑵.令，则.
①若，则当时，，为减函数，而，
从而当x≥0时≥0，即≥0，符合题意.
②若，则当时，，为减函数，而，
从而当时＜0，即＜0,不合题意.
综合得的取值范围为
（2011全国新理21，恒成立，反比例，提出公因式再处理的技巧，本题的创新之处是将一般的过定点（0,0）变为过定点（1,0），如果第2问范围变为则更间单）
已知函数在点处的切线方程为.
⑴求、的值；
⑵如果当，且时，，求的取值范围。
解：⑴，
依意意且，即，，解得，.
⑵由⑴知，所以.
设，则.
（注意h(x)恒过点(1,0)，由上面求导的表达式发现讨论点0和1）
① 当，由，（变形难想，法二）
当时，.而，故
当时，，可得；
当x(1,+)时，<0，可得>0,
从而当x>0,且x1时，－(+)>0，即>+.
法二：的分子≤＜0，∴.
②当00,故>0,而
=0，故当x(1,)时，>0，可得<0,不合题意.
③当k≥1，此时>0，则x(1，+)时，递增，，∴<0,不合题意.
综上，k的取值范围为(－,0]
(恒成立，讨论,较容易，但说明原理)已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若对上恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）.
当时，，在上增,无极值；当时，，
在上减，在上增,∴有极小值，无极大值.
（2）
当时，在上恒成立，则是单调递增的，
则只需恒成立，所以.
当时，在上减，在上单调递增，所以当时，
这与恒成立矛盾，故不成立.
综上：.
（2010新课程理21，恒成立，讨论，二次，用到结论）
设函数.
⑴若，求的单调区间；
⑵若当时，求的取值范围.
解：命题意图：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.
⑴时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加.
⑵①当≤时，，
由⑴结论知≥，则，
故，从而当，即时，，
而，于是当时，，符合题意.
②时，由可得.（太难想，法二）
，
故当时,，而，于是当时,.
综合得的取值范围为.
法二：设,则,
令，得.
当，，在此区间上是增函数，∴≤，
∴在此区间上递增，∴≤，不合题意.
（恒成立，2010全国卷2理数，利用⑴结论，较难的变形讨论）
设函数．
⑴证明：当时，；
⑵设当时，，求a的取值范围．
解：本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
已知函数，且函数是上的增函数。
（1）求的取值范围；
（2）若对任意的，都有（e是自然对数的底），求满足条件的最大整数的值。
解析：（1）设，所以，得到．所以的取值范围为………2分
（2）令，因为是上的增函数，且，所以是上的增函数。…………………………4分
由条件得到（两边取自然对数），猜测最大整数，现在证明对任意恒成立。…………6分
等价于，………………8分
设，
当时，，当时，，
所以对任意的都有，即对任意恒成立，
所以整数的最大值为2．……………………………………………………14分
（2008山东卷21）
已知函数其中n∈N,a为常数.
⑴当n=2时，求函数f(x)的极值；
⑵当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x－1.
解：⑴由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，
当n=2时，所以
①当a＞0时，由f(x)=0得＞1，＜1，
此时=.
当x∈（1，x1）时，＜0,f(x)单调递减；
当x∈（x1+∞）时，＞0,f(x)单调递增.
②当a≤0时，＜0恒成立，所以f(x)无极值.
综上所述，n=2时，
当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为
当a≤0时，f(x)无极值.
⑵证法一：因为a=1,所以
①当n为偶数时，令
则）=1+＞0（x≥2）.
所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，
又g(2)=0，因此≥g(2)=0恒成立，
所以f(x)≤x－1成立.
②当n为奇数时，要证≤x－1,由于＜0，所以只需证ln(x－1)≤x－1,
令h(x)=x－1－ln(x－1),则=1－≥0(x≥2),
所以,当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，
所以当x≥2时，恒有h(x)＞0,即ln(x－1)＜x－1命题成立.
综上所述，结论成立.
证法二：当a=1时，
当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，
故只需证明1+ln(x－1)≤x－1.
令
则
当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，
因此，当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x－1)≤x－1成立.
故当x≥2时，有≤x－1.
即f（x）≤x－1.
五、函数与导数性质的综合运用
（综合运用）
已知函数
⑴求函数的单调区间和极值；
⑵已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
⑶如果，且，证明
解：本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.
⑴，令=0,得.
当变化时，，的变化情况如下表
() 1 () + 0 - 极大值 ∴在()内是增函数，在()内是减函数；极大值.
⑵证明：由题意可知g(x)=f(2－x)，∴g(x)=(2－x).
令F(x)=f(x)－g(x)＝，则
当时，2x－2>0,从而
,从而在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
⑶证明：①若
②若
∴根据①②得
由⑵可知，>,则=，所以>,
从而>.因为，所以，
又由⑴可知函数在区间（－∞，1）内是增函数，所以>,即>2.
（2010天津理数21，综合运用）
已知函数
⑴求函数的单调区间和极值；
⑵已知函数对任意满足，证明：当时，
⑶如果，且，证明：
解：⑴∵=，∴=.(2分)
令=0，解得.
2 ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘ ∴在内是增函数，在内是减函数.(3分)
∴当时，取得极大值=.(4分)
⑵证明：
,则
=.(6分)
当时，＜0，＞3，从而＜0，
∴＞0，在是增函数.(7分)
(8分)
⑶证明：∵在内是增函数，在内是减函数.
∴当，且，、不可能在同一单调区间内.
不妨设，由⑵可知，
又，∴.
∵，∴.
∵，且在区间内为增函数，
∴，即(12分)
已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若函数对任意满足,求证：当,
(3)若，且，求证：
解：⑴∵=，∴=.(2分)
令=0，解得.
2 ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘ ∴在内是增函数，在内是减函数.(3分)
∴当时，取得极大值=.(4分)
⑵证明：，,
∴=.(6分)
当时，＜0，＞4，从而＜0，
∴＞0，在是增函数.
(8分)
⑶证明：∵在内是增函数，在内是减函数.
∴当，且，、不可能在同一单调区间内.
不妨设，由⑵可知，
又，∴.
∵，∴.
∵，且在区间内为增函数，
∴，即
已知函数，
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）对于任意的，比较与的大小，并说明理由．
（Ⅰ），，-----1分
①当时，在上恒成立，的递增区间为；------2分
②当时，的递增区间为；--------------3分
③当时，的递增区间为，递减区间为；--------4分
（Ⅱ）令，
，
令，在上恒成立，
当时，成立，在上恒成立，
在上单调递增，当时，恒成立，
当时，恒成立，
对于任意的时，，
又，，
，即．
（2011辽宁理21，利用2的对称）
已知函数．
⑴讨论的单调性；
⑵设，证明：当时，；（作差）
⑶若函数的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：.
解：⑴
①若单调增加.
②若
且当
所以单调增加，在单调减少.
⑵设函数则
当.
故当，
⑶由⑴可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设
由⑵得
从而
由⑴知，
（恒成立，思路不常见）
已知函数，其中为实数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．
解：⑴时，，，
，又，所以切线方程为.
⑵①当时，，则
令，，
再令，
当时，∴在上递减，
∴当时，，
∴，所以在上递增，，所以
②时，，则
由①知当时，在上递增
当时，，
所以在上递增，∴，∴；
由①②得.
已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的范围；
（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数的范围．
解:（Ⅰ）(1)
当时，上为增函数
故
当上为减函数
故
即..
（Ⅱ）方程化为
，令，
∵∴记∴∴
（Ⅲ）方程化为
，
令，则方程化为（）
∵方程有三个不同的实数解，
∴由的图像知，
有两个根、，
且或，
记
则或∴
已知函数，设
（1）是否存在唯一实数，使得，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由。
（2）当时，恒成立，求正整数n的最大值。
解：（1）由得
则因此在内单调递增。……………4分
因为，，
即存在唯一的根，于是……………6分
（2）由得，且恒成立，由第（1）题知存在唯一的实数，使得，且当时，，；当时，，因此当时，取得最小值……………9分
由，得即于是
又由，得，从而，故正整数n的最大值为3。………12分
(第3问难想)已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。
当时，解不等式；
若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；
当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
⑴因为，所以不等式即为，
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．………………………………………4分
⑵，
①当时，，在上恒成立，当且仅当时
取等号，故符合要求；………………………………………………………6分
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，
因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．………………………………………………………8分
若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.
综上可知，的范围．………………………………………10分
⑶当时,方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在和内是单调增函数，……………………………13分
又，，，，
所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，
所以整数的所有值．………………………………………………………16分
（2011高考，单调性应用，第2问难）
已知a、b是实数，函数和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a－b|的最大值.
解：
⑴因为函数和在区间上单调性一致，
所以，
即
即实数b的取值范围是
⑵由
若,则由,,和在区间上不是单调性一致,所以.
;又.
所以要使,只有
,
取,当时,
因此
当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，
即，
设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为
则；
当时，因为，函数和在区间（a,b）上单调性一致，所以，
即，
当时，因为，函数和在区间（a,b）上单调性一致，所以，
即而x=0时，不符合题意，
当时，由题意：
，
综上可知，。
（2010湖南文数，另类区间）
已知函数其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在[a,－a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
79. （2008辽宁理22，第2问无从下手，思路太难想）
设函数.
⑴求的单调区间和极值;
⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.
说明：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：⑴．
故当时，，时，．
所以在单调递增，在单调递减．
由此知在的极大值为，没有极小值．
⑵①当时，由于，
故关于的不等式的解集为．
②当时，由知，其中为正整数，且有．
又时，．且．
取整数满足，，且，
则，
即当时，关于的不等式的解集不是．
综合①②知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为．
80. （第二问较难）
设函数，，是的一个极大值点．
⑴若，求的取值范围；
⑵当是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列（其中=）依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
解：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．
（Ⅰ）时，，
，
令，，
设是的两个根，
（1）当或时，则不是极值点，不合题意；
（2）当且时，由于是的极大值点，故
，即，
(Ⅱ)解：，
令，
，
于是，假设是的两个实根，且
由（Ⅰ）可知，必有，且是的三个极值点，
则，
假设存在及满足题意，
（1）当等差时，即时，
则或，
于是，即
此时
或
（2）当时，则或
①若，则，
于是，
即
两边平方得，
于是，此时，
此时=
②若，则，
于是，
即两边平方得，
于是，此时
此时
综上所述，存在b满足题意，
当b=－a－3时，，
时，，
时，.
81. 已知函数，，记
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，若，比较：与的大小；
（Ⅲ）若的极值为，问是否存在实数，使方程有四个不同实数根？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞），又
，当时，>0恒成立
∴在（0，+∞）上单调递增；令得
当时，若，∴在（0，）上单调递减；
若，，∴在（，+∞）上单调递增
故时，增区间为；
时，增区间为，减区间为（0，）。……4分
（Ⅱ）令，
则，所以在［1，+∞）
上单调递增，∴，∴.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知仅当时，在＝处取得极值
由可得＝２，方程为
，令，得．．．
由方程有四个不同的根，得方程有两个不同的正根，
令，当直线与曲线相切时，，得切点坐标（３，）∴切线方程为，其在y轴上截距为；当直线在轴上截距时，和在y轴右侧有两个不同交点，所以k的取值范围为（，0）.
（注：也可用导数求解）
六、导数应用题
82. 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．
(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；
(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．
解：(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10e40.则日销售量为，
∴日利润y＝(x－30－t)·.∴y＝，其中35≤x≤41.
(2)y′＝，令y′＝0得x＝31＋t.
①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35.∴当35≤x≤41时，y′≤0.
∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e5.
②当4
∴当x＝t＋31时，y取最大值10e9－t.
∴当2≤t≤4时，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e5元．
当4
83. 如图，ABCD是正方形空地，正方形的边长为30m，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离分别为9m、3m，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：9，线段MN必须过点P，满足M、N分别在边AD、AB上，设，液晶广告屏幕MNEF的面积为
（I）求S关于x的函数关系式，并写出该函数的定义域；
（II）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
解：（I）如图，建立直角坐标系，设
由已知有,
又MN过点D时，x最小值为10，.
.
定义域为[10，30].
（II）
令，
当关于x为减函数；
当时，关于为增函数.
时，S取得最小值.
答：当AN长为（m）时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小
七、导数结合三角函数
84. 已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数．
（I）求的最大值；
（II）若上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．
解：（I），
上单调递减，
在[－1，1]上恒成立，，故的最大值为……4分
（II）由题意
只需＜，∴＞0(其中≤－1)恒成立.
令＞0(≤－1)，则，
即，而恒成立，∴.
（Ⅲ）由 令
当上为增函数；
当时，为减函数；
当而
方程无解；
当时，方程有一个根；
当时，方程有两个根． …………14分
已知函数是奇函数，函数与的图象关于直线对称，当时，(为常数).
（I）求的解析式；
（II）已知当时，取得极值，求证：对任意恒成立；
（III）是上的单调函数，且当时，有，求证：.
85. 设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当，时，若不等式对任意的恒成立,求的值。
已知函数，（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数。
求的值；
若在恒成立，求的取值范围；
讨论关于的方程的根的个数。
?
已知是给定的实常数，设函数，，是的一个极大值点．
(Ⅰ求的取值范围；
(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．’(x)=ex(x-a)
令
于是，假设
当x1=a或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。
当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1
即,所以b＜-a,所以b的取值范围是（-∞，-a）
或
（2）当时，则或
于是
此时
综上所述，存在b满足题意，
当b=-a-3时，
时，
时，
49
1
2
)
(
2
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?
?
?
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x
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