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 ——以《加减乘除是一家》一课为例 苏州大学实验学校 徐斌 当下的数学课程改革与实践中，对一个单元整体知识教学的研究比较多，而对几个单元甚至不同年级的相关单元知识的整体教学尚缺乏深入研究和典型课例。事实上，如果学生习得的数学知识和技能总是局限于某一个单元或某一个年级，显然不利于学生从整体上认识数学和理解数学，也会阻碍学生数学核心素养的形成，因此“总得有人去擦星星”。前不久，笔者在五年级进行了《小数四则运算复习》多单元整体知识教学尝试。（详细教案与思考见下面链接）  现在又欣喜地看到，安徽省特级教师夏永立大胆尝试了一节体现整体性知识教学的创新研究课《加减乘除是一家》（二年级），为我们呈现了一份极具借鉴意义的精彩课例。  下面就笔者观课后的几点感想与大家分享：   一节课只有40分钟，要把分散在两个年级里面多个单元的数学知识进行整体教学，难度很大，这就需要教师对学习内容进行整体组织。夏老师整节课以一根数线（如图1，小学阶段尚没有正式学习“数轴”这一概念）贯穿始终，把加、减、乘、除法的基本含义和内在关系进行了整体性教学： 夏老师首先让孩子在数线上移动磁扣，分别表示出加法和减法运算，体验它们之间的互逆关系。学生通过形象具体的教具移动，利用简约和直观的素材，在活动中明确了加减法的含义: 加法就是继续往后数的计数策略，减法就是往回数的计数策略。 在初步沟通了加、减法之间的内在联系后，进一步让学生在数线上操作和理解乘、除法（图2和图3）：整数乘法是以0为起点，以其中一个乘数为单位跳着往后数进行计数；而除法则是按单位量跳着往回数的计数策略。进而使学生体会到乘法与除法之间的互逆关系。 在学生分别建立了加法和减法、乘法和除法之间关系的同时，进一步沟通乘法和加法、除法和减法之间的内在联系，即“乘法是特殊的加法”“除法是特殊的减法”，由此逐步体验到“加减乘除是一家”。在课堂结尾之时，进一步由正数拓展到负数（图4），在激发学生的探究欲望的同时也为今后学习留下伏笔。  众所周知，问题是数学的心脏。好的数学问题，可以促进孩子进行深度的数学思考。在本课教学中，夏老师既没有由老师过多地讲述与灌输，也没有一味地让学生过多的操作与探索，而是一直让学生思考三个核心问题：我是谁？家在哪？还去哪？在这些富有哲思的“核心问题”的分解和追问中，帮助学生厘清数学知识的内在联系,实现认知图式的自我建构。 有了核心问题的整体引领，还需要通过具体问题的分解设计来促进学生不断探索与思考四则运算的本质： ⑴在教学加法和减法的含义和相互关系时，分别提问：在数线上，0的家在哪里？0+1的新家又在哪里？它（圆形磁扣）怎样回到原来的家？比较两次移动的过程，有什么相同的地方？又有什么不同的地方？ ⑵在沟通加法和乘法的关系时，提问：刚才用磁扣移动的时候，都是一格一格跳的，还可以怎么跳？几格几格地跳，除了列加法算式还可以用什么运算？有了加法运算为什么还要学习乘法？ ⑶在沟通除法和减法的关系时，提问：磁扣从8开始，向左2格2格地跳，回到原来的家（0），你能想到什么算式？除法的含义是什么？你能用箭头表示除法和减法的关系吗？ ⑷在教学乘法和除法的含义和相互关系时，提问：乘法和除法计算时，在数线上移动磁扣有什么相同和不同的地方？乘法和除法有什么联系？ ⑸在四种运算含义分别理解、运算之间联系初步形成后，进一步通过核心问题引发学生深度思考：加、减、乘、除法四种运算之间到底是怎样的关系？运算和认数之间有关系吗？哪种运算是最先产生的？为什么要学习这些运算？
从心理学角度看，促进有组织的整体知识学习的重要外部条件是提高学习材料的可懂度，即通过有效的策略加工，把抽象的数学知识形象化，以顺应儿童的年龄特征和认知规律，也就是把“学术形态的数学”转化为“教育形态的数学”，把“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”。夏老师精心设计了促进学生深度学习的教学策略，主要体现在以下三种策略： 首先是采用直观游戏活动。在全课教学中，夏老师充分发挥了游戏化、活动化教学的优势，只用了一个看上去不起眼的圆形磁扣教具，引导学生在数线上不断进行位移操作，在多种有趣的数学活动中理解四则运算的意义以及它们之间的内在联系。夏老师还注意变换游戏活动的形式，除了有老师自己的直观示范，也有个别学生的操作演示，还有全体学生的独立操作与合作交流，以及游戏活动前后的猜测、验证和对比、评价。 其次是采用数形结合方式。数学家华罗庚在六十年前就指出“数无形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非”。我们知道，数的运算的知识是人们在日常生活和生产实践的经验中抽象出来的，并且逐步形成抽象的运算法则。要让二年级学生深入理解运算含义，除了借助直观的操作活动，还离不开数形结合的方式。夏老师通过直观操作，帮助学生建立起跳动磁扣的格子数、方向与计数、运算之间的内在联系，促进学生由动作图式过渡到具体运算图式，进而发展为抽象运算图式。 再次是采用符号标志技术。本课学习的知识是典型的“有组织的整体知识”，因此特别需要通过这种凸显学习材料结构和关系的技术来促进学生深度理解。夏老师全课除了采用动态的磁扣移动，以帮助学生在头脑中形成动态表象，还通过半抽象半直观的数线图帮助学生在计数中理解计算，又通过板书中彩色粉笔的不同颜色、线条和符号标记等技术，图文并茂，突出内容要点，帮助学生选择适当的信息，进而一目了然地形成四则运算之间的结构性和整体性联系，把零散的运算概念建构成清晰的认知结构，体会不同运算之间遵循的共同规律，感悟不同运算的内在一致性。
笔者认为，板书是一节课的整体思路与框架，是课堂教学的运行线索与结构，也是教师教学智慧的宝贵结晶和创造，值得我们赋予更多的研究与实践。这节课我们欣喜地看到夏永立老师十分注重板书的设计与教学： 上述的板书设计具有结构性和整体性：既有直观的数线以及可以移动的磁扣，也有具体的运算算式及得数；既有四则运算的典型举例，也有四则运算之间的内在关联；既有抽象的数字和符号，也有形象的线条与箭头；既有学习的知识内容，也有学习的问题方法。这样的板书，在有痕的提示中引领学生寻找知识之间的连接点，将碎片化的知识连成线、结成网、筑成块；在无痕的提升中促进学生建立起整体的结构思维，形成了和谐完整的认知结构，体验到了数学文化的独特魅力。 |
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