|
四维闵可夫斯基时空
我们在本科阶段接触的经典力学和经典电动力学里的物理规律，都是以三维矢量方程的形式描述的。 无论是牛顿运动定律，还是麦克斯韦方程组，其基本的物理对象都是三维欧式空间的矢量（例如：位置矢量 ，电场 ，磁场 等等）。 我们通过求解动力学方程，来研究它们随着时间坐标的演化和随着空间坐标的分布。这种描述貌似没有什么问题，既然如此，我们为什么还要引入四维时空呢？爱因斯坦在1905年建立的狭义相对论最深远的意义，就在于揭示了时间和空间的内在联系：时间和空间并不像牛顿力学所宣称的那样是独立的、正交的、没有联系的；而是紧密相关的、可以互相转化的。 牛顿力学描述的时空对象是三维欧氏空间和一维时间的直和，它们之间通过所谓的伽利略变换（伽利略变换是三维欧氏群 E3 群的群元，包含了三维平移，三维转动，三维反射等保持三维空间距离不变的变换）来联系，伽利略变换中，时间和空间是独立变化的。而狭义相对论所描述的时空是 3+1 维的闵氏时空，它们之间通过洛伦兹变换（洛伦兹变换是洛伦兹群的群元，包含了保持四维闵氏时空距离不变的变换: 三维转动，三维反射和boost变换）来联系，洛伦兹变换中，时间和空间是相互耦合的。无数的高能物理实验告诉我们，我们的时空确实是通过洛伦兹变换而不是通过伽利略变换来联系的，这意味着时间和空间是互相关联而非互相独立的——牛顿错了，爱因斯坦对了。下面我们先介绍洛伦兹变换。 洛伦兹变换 为了简单起见，我们只介绍最简单的洛伦兹boost变换。假设有两个坐标系S:(t,x,y,z) 和S1:(t1,x1,y1,z1) ，其中 S1 系相对S 系沿着 x 轴以速度 v 运动，并且在运动过程中始终保持y1 轴与y 轴平行，z1 轴与 z 轴平行x1， 轴与x 轴重合。我们把初始条件设为t=t1=0 时两个系的原点重合。现在我们要问的是：对于同一个事件，(t1,x1,y1,z1) 和(t,x,y,z) 的定量关系是什么？ 我们知道任何理论都有基本的假设。牛顿力学的时空背景是三维欧氏空间，在这个空间中，一切的坐标变换必须满足三维空间距离不变： 从这个基本假设出发，我们可以导出伽利略变换，也就是牛顿力学中，联系(t1,x1,y1,z1) 和(t,x,y,z) 的定量关系： 同理，狭义相对论的时空背景是四维闵氏时空，在这个时空中，一切坐标变换必须满足 四维时空距离不变： 
其中c 为光速。从这个基本假设出发，我们就可以导出洛伦兹变换（推导留作练习）： 
为了简化记号，我们定义  上述洛伦兹变换可以写为 或者用矩阵的语言，可以写为 
我们将矩阵  标量，矢量和张量
以上我们介绍了四维闵氏时空中的洛伦兹变换和标量，矢量，张量的定义，这些都是四维语言的基础。用四维语言描述的物理量和物理定律，相比我们熟悉的三维形式，要简洁优美得多，并且用四维语言我们一眼就能看出物理量的变换性质和体系的对称性用术语来说：四维形式是“协变的”，三维形式是“非协变的”。 这一点其实很好理解，因为实验已经证明了我们所处的世界是 3+1 维的时空，时间维度和空间维度是耦合在一起的而非割裂的，那么我们用把时空一并处理的四维语言来描写世界当然要比用人为地把时间割裂出去的三维语言自然得多。 |
