【原】麻省理工线性代数学习-第19讲-对角化和A的幂

上一讲，我们介绍了如何求解矩阵的特征值和特征向量，而通过两者可以实现矩阵的对角化，本讲介绍如何实现矩阵对角化和应用。

假设A有n个线性无关特征向量，按列组成矩阵S，很自然地称它为特征向量矩阵，那么AS等于，

这就是对角化方法，对于大部分矩阵，存在n个线性无关特征向量，可以对角化。该等式，也可以写成，

这也是一种新的矩阵分解方法。那么，通过这个公式，A^2的特征值和特征向量是，

说明A^2特征值是原特征值的平方，特征向量不变，换个角度再看这个问题，

矩阵S依然相同，说明特征向量未变，而特征值是原特征值平方。进一步推广可知，

这说明A的k次方的特征值是A的特征值的k次方，特征向量不变。换句话说，特征值和特征向量提供了理解矩阵幂的一个好方法。如果k趋向无穷，A的k次方趋向于零的条件是，所有特征值的绝对值小于1（该定理前提是存在n个线性无关特征向量）。

如果所有的特征值均不相同，A必然存在n个线性无关的特征向量而且可对角化；如果有重复的特征值，就要在深入研究，可能但不一定存在n个线性无关特征向量，例如10x10单位阵，有10个相同的特征值，但依旧存在10个线性无关特征向量；但可能遇到麻烦情况，对于三角阵，特征值就在对角线上，

特征值就是3和3。这个矩阵为何糟糕？问题在于这个矩阵的特征向量，

这是一个退化矩阵，只有一个方向上的特征向量，而不是两个，这对重复的特征值是可能的，这造成了特征向量的短缺，没有第二个无关的特征向量，此时无法对角化。

若矩阵A可以对角化时，并已知向量u0，同时

可推导得到，

这是一阶差分方程。如何根据初始向量u0来求解，首先u0可以写成矩阵A特征向量（假设都是单位向量）的线性组合，它等于若干个特征性量1+若干个特征向量2+...

此时特征向量的性质起到重要作用，

该等式中包含三部分，特征值可以构成对角化矩阵，特征向量构成特征向量矩阵，系数构成系数矩阵。

下面举例进一步说明，以裴波那切数列为例，

我们希望把它写成uk+1=Auk的形式，但目前只有一个代数方程，并且是二阶差分方程，

这里的关键是，如何巧妙地定义向量uk，

通过巧妙定义uk，将二阶标量方程转化为了一阶向量方程组，接下来求解矩阵A的特征向量和特征值，从而求解数组的通解;矩阵A是一个对称阵，所以特征值一定是实数不会是复数，而且他们的特征向量一定相互正交，

特征向量是，

那么，u0展开成特征向量的线性组合，

最后根据前文的公式利用对角化，求得F100。

      特征值不相等，显然矩阵A可以被对角化。所以F100的近似值，

此时裴多那切数列增长速度取决于特征值大于1的这一项，

最后，我们思考整个问题解题思路，对于动态增长的一阶问题，关键是确定矩阵的特征向量和特征值，特征值决定增长的趋势，发散至无穷还是收敛于0，均取决于特征值，接着需要一个展开式，把u0展开成特征向量的线性组合，而且各个特征向量必须相互独立，最后按照公式求A得k次方。