【原】多视角几何3-2D射影变换估计-最大似然估计

在4.2中，我们学习了若干种损失函数，它们涉及单幅图像中估计点和测量点间的几何距离。这些函数需进行合理性评估才能使用，然后推广到考虑单幅图像中点测量的统计误差。

为了得到最好的H估计值，对测量误差建立模型非常必要。这里，我们假设，在没有测量误差时，准确的点满足单应，也就是说，'=H。一般假设，图像坐标测量误差满足高斯概率分布，这种假设一般无法证实，但在测量数据中排除离群值后，假设一般是成立的。探测和移除离群值的方法将在4.7节中讨论。移除离群值后，高斯误差模型的假设一般是成立的。因此，我们假设，图像测量误差满足零均值各向同性高斯分布。

具体说，我们假设噪声是高斯型，且在每幅图像坐标中是零均值，标准协方差是σ。这代表，x=+△x，△x满足高斯分布，协方差是σ²。若进一步假设，每幅图像中的噪声是独立的，若真实点是，则每个测量点x的概率密度函数是，(4.14)

单幅图像误差.首先我们考虑误差仅在第二幅图像的情况。对应关系{_i-x’_i}集合的概率是各自概率密度函数相乘，因为假设每个点的误差是相互独立的。那么噪声扰动的数据的概率密度函数是(4.15)，

标识Pr({x'_i}|H)可解释为，当真实单应是H时，得到测量{x’_i}的概率。对应集合的对数似然性是，

单应的最大似然估计，最大化这个对数似然，也就是最小化，

因此，最大似然估计等价于最小化几何误差函数(4.6)。

两幅图像误差.参照上面推导，如果真实对应关系{_i<->H_i=_i'},

那么受噪声扰动的数据的概率密度函数是，

此外，我们需要寻找校正的图像测量，它们起着真实测量的作用。因此，射影变换H和对应关系{x_i<->x'_i}的最大似然估计，是单应和校正对应关系{_i<->'_i}，它们最小化

其中'_i=_i。注意，在这种情况下，最大似然估计与最小化重投影误差函数(4.8)具有对应关系。

Mahalanobis距离.一般高斯情况下，我们假设，测量向量X满足高斯分布函数，并具有协方差矩阵∑。上面的情况等同于协方差矩阵是单位矩阵。最大化对数似然等同于最小化Mahalanobis距离，

当每幅图像都存在误差时，我们可以假设两幅图像中误差相互独立，合适的损失函数是，

其中∑和∑'是两幅图像测量的协方差矩阵。

最后，如果我们假设所有点x_i，x'_i的误差是独立的，并且各自协方差矩阵是∑和∑'，那么上面的表达式可扩展为(4.16)

这个方程包含了各种各向异性的协方差矩阵的类型，在用两非垂直线的相交来计算点的位置时会出现这种情况。当两幅图像中一幅的点准确知道，而误差仅发生在另一幅图像时，(4.16)会缩减为只有一项。