|
作者简介： 中国科学院大学 理论物理 博士 利用半经典引力的方法计算Page曲线可以说是去年AdS/CFT领域最大的新闻了，因为能够精确的计算黑洞精细化的熵的Page曲线意味着黑洞信息问题的初步解决，而黑洞信息问题是调节黑洞和量子力学的矛盾，构造自洽的量子引力理论的重要一步。所以具有很大的轰动效应。之前学界普遍认为只有对于量子引力有深入理解（比如能够知道量子引力的波函数)之后才能着手解决这一黑洞信息问题，但是神奇的是，通过半经典的手段，人们能够在不知道具体的密度矩阵元的前提下，计算出熵的值。本文主要是review黑洞信息问题解决的主要进展，关键问题是考虑量子修正，考虑量子极端曲面，量子极端曲面会给出不同的RT公式，体现在计算霍金辐射的辐射熵的时候还会包括黑洞内部的一部分，这一部分叫做Island，Island的贡献使得辐射熵在Page时间之后开始下降，同时依据entanglemnt reconstruction也能够重构出黑洞内部的一部分。从外部来看，黑洞可以通过一个带有  的自由度的量子系统来描述，随时间幺正演化。从外部来看黑洞和普通的燃烧的煤什么的没有什么区别，真正区分黑洞的是它的内部，它被事件视界包围，如何描述黑洞内部并且和黑洞外部自洽是一个还没有完全理解的问题。关于黑洞的熵，能够计算的熵有两种，精细化的熵和粗粒化的熵，精细化的熵是粗粒化的熵则是如果我们有密度矩阵  满足其中  是简单的算符，也就是说在简单的算符的期望值测量上，两个密度矩阵看不出区别，但是可能对于复杂的算符二者会不一样。可以计算所有可能的 然后计算冯诺伊曼熵，取最大值就得到了粗粒化的熵。这个过程虽然看起来操作非常复杂，其实热力学熵就是粗粒化熵的一个例子，热力学通常取 算符为能量，体积，压强之类的。并且热力学平衡的熵是取极大值之后的。计算CFT子区域的纠缠熵通常需要用到RT公式，纠缠熵等于延伸进bulk里面的极小曲面的面积，或者对于非静态的时候用到HRT公式，纠缠熵等于极端曲面的面积。FLM给出了量子修正，即考虑了bulk中的量子场贡献的纠缠熵。FLM考虑的是先对面积做变分找到极端曲面，然后再在这个几何的基础上加入bulk场的纠缠熵修正。但是这个并非特别自然，一个更自然的方法是把bulk和边界的纠缠熵结合为  , 对  做变分，找到让广义熵最小的面，这个面叫做量子极端曲面，量子的含义是它的物质熵部分是量子场的纠缠熵。寻找这个面的时候需要用Maxmin的方法,Maximin的方法是最早由Aron Wall在2012年给出的，这种方法等价于寻找HRT极端曲面，但是因为构造更清晰，更容易证明很多熵的不等式。Maxmin过程即先选取某个柯西slice，在这个cauchy slice上找让上述函数最小的面，然后遍历所有可能的柯西面的选择取其最大值。即如下公式对于辐射黑洞，有两个可能的面，一个是vanishing的面，这个时候所有的熵都来自于slice上的物质熵的贡献，一个是非0的面。它们给出了不同的行为，如果只有vanishing的面，那么熵的变化就是霍金预言的一直增长的情况。而两个不同的面的transition，对应的相变是page time时熵的行为发生变化的原因。随着late time的演化，黑洞的QES的位置会越来越贴近视界。两个可能的面如图，上图：Vanish的面。下图：non-vanish的面这两个不同的面的转换给出了黑洞熵的Page curve的行为以上的讨论还是基于辐射黑洞的熵的演化，最初page curve是描述辐射熵的，那么辐射熵的计算我们来看一下。辐射存在于引力效应很小的地方,可以近似为固定的背景。 . 面 可以是连通的，也可以是不连通的。如果选择不连通的面很显然我们增加了面积部分的熵，要想满足幺正性就必须减小物质部分的熵，因为辐射和黑洞内部是有纠缠的，如果加入一部分黑洞内部的自由度，会降低这个纠缠熵。最终辐射的fine－grained的熵是计算冯诺伊曼熵的公式给出了entanglement wedge重构的修正，用entanglement wedge可以探讨黑洞的自由度究竟能否包括黑洞的内部。在这个过程中，EW有三种情况可以看出开始的时候黑洞自由度是能够重构出这个内部的，但是随着量子极端曲面的形成，黑洞自由度只能看到一部分的黑洞内部了，相当一部分黑洞内部是包括在辐射自由度中的，这件事非常重要。EW 重构的意思是如果我们在EW里有几个qubit，那么对于黑洞自由度进行操作之后，应该能够提取这几个量子比特的态。对于Island部分，因为它是在辐射的EW里，所以它和外部的辐射是相同的，可以说这个推导也相当于证明了ER＝EPR猜想。Island的自由度和辐射自由度是通过一个高维上面的虫洞连接的。关于Entanglement重构的问题，是一个很复杂的内容，大致的意思是通过边界上子区域的算符可以重构出描述熵的曲面和边界围成的区域，这个过程的实现目前还没有定论，目前研究暗示或许可以基于Petz Map这样一个量子的recovery channel实现。这也同时解决了Wheeler对于Bekenstein-Hawking熵给出的一个谜团。即它猜出了一个bag of gold几何，从外面看很像一个黑洞，熵是由面积给出的，但是里面却有着很大很大的熵。当里面的熵比面积大的时候，根据EW的讨论，其实黑洞自由度只能包括黑洞内部的一部分。因此解决了这个谜团。超过Page time的辐射黑洞就类似一个bag of gold的几何。从初始态 经由引力的路径积分演化，到最后的霍金辐射 . 振幅 . 从场论侧计算冯诺伊曼熵，利用replica trick的公式有Hawking saddle和Replica Wormhole Saddle 有一个物理意义叫purity， 纯态 , 混合态 所以可以判断态是不是纯态. 如图能看出Hawking的saddle不能factorize， 而Replica的saddle可以所以在计算von Neumann熵的时候，会出现非常复杂度的Replica虫洞。Replica虫洞的Purity的性质表明了它可以保持演化最后的纯态，即幺正性，也是Page curve中熵下降的原因。1 无法计算密度矩阵或者散射振幅具体的某个矩阵元，用半经典的情况计算引力的精细化的熵本身是个奇迹，得到精细的矩阵元应该会很难。2 假设的截断面的理解，截断面外面是固定的背景时空，截断面里面是引力耦合的。因为一开始最早的工作用到的图像是二维AdS JT gravity＋bath的，二者拼起来成为了一个类似闵氏时空的结构，bath本身没有引力，是一个平坦的时空。而推广到平直时空的时候，引力不是从有到无这样突变的，而是渐变的。所以现在只能在近似的意义上说明这件事情，而严格的计算需要让引力渐变。参考：Arxiv:2006.06872. The entropy of Hawking Radiation.
|
