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注：今日更新第四部分正交多项式和第五部分离散变量表示和高斯近似，本章更新结束。
可能不少读者对于前文提到的正交多项式系并不熟悉，这一部分内容一般只出现在各种教材的补充材料之中。我们在此将其简述一遍。希望大家能体会到下面的数学证明（思路）中体现出的漂亮性质。考虑区间 上的函数系 所张成的线性空间，定义内积为
其中权函数 。将基底通过标准的施密特正交化步骤正交归一化，得到 ，称其为上关于正定权函数 的正交多项式系 。命题：的个零点是实的；个零点不重；个零点分布在上。易知为阶多项式，特别的，为常数函数。由于与其正交，故在上至少有一个一阶零点。构造一零点与在上已知的一个零点相同的一阶多项式，与张成的子空间正交要求其在上至少有另一个不重的一阶零点。考察，其为子空间中的一个向量，一般情况下有等式两边左乘取内积，得到
进一步可以论证。即正交多项式系一定存在二阶递推公式。有了这些基础，前文所提到的依赖于正交多项式的 Gauss 积分公式还有另一种理解方式。取为的一个零点，则右边第二项为零，可发现上述等式组具有矩阵特征值与特征向量的形式。事实上，可以检验，的全部个零点正是矩阵
为其相应的特征向量，为归一化因子。考虑的线性组合
将上面这些性质与上一节相对比，我们会发现这里构造的就是上一节的拉格朗日插值基函数，并且我们从另外一个角度证明了 Gauss 积分公式的阶代数精度。同时，我们可以通过求解一个三对角对称矩阵的本征值和本征向量来得到所需的零点位置和积分权值（这可以通过QR分解来快速精确求解），事实上这就是实际计算中所采用的办法。题图摘自 Golub, G. H. & Welsch, J. H. Calculation of Gauss quadrature rules. Mathematics of computation23, 221–230 (1969). 为首先提出该计算正交多项式零点方法者，在论文中附带的 ALGOL 代码中的一个子例程。前面花了两节的工夫作了铺垫，为的就是引入本节这个在精确求解薛定谔方程中得到广泛应用的方法：离散变量表示(Discrete Variable Representation, DVR)。在本章开头讨论近耦合展开和样条插值时，我们能发现使用某组基函数求解具体问题时，相当重要的一步便是计算矩阵元时的积分。前两节所讨论的高斯积分法中，能够有效提升数值积分精度的高斯格点，让我们不由得想到，用这套格点上的拉格朗日插值多项式作为基函数怎么样？考虑计算势能的矩阵元第二步的约等于号来自于高斯积分公式的近似，称作高斯近似。我们很兴奋的发现，在这里势能矩阵完全是对角的！有时候会给这组基函数作一个合同变换：用作为基函数，这样交叠矩阵就成了单位阵，而势能矩阵更是简单的变成了的形式。看上去我们就像在连续的坐标表象中处理问题一样！导数算符和二阶导数算符同样容易计算。以导数算符为例上面的推导利用了函数在其零点处导数的性质。另假定了，对于两者相等的情形，在边界被恰当考虑的情况下应当是零（导数算符具有反对称性）。进一步的推导可以证明导数算符可以简化成的形式，这里略去。这自然是相当漂亮的结果。注意到恰当选择权函数，可以处理无穷、半无穷区间，奇异边界等问题，这更是让人振奋。事实上，这套方法自 1988 年由 Manolopoulos 等人在 doi:10.1016/0009-2614(88)87322-6 上提出以来，已经成功的用于求解包括基态、散射态、含时传播、和分子的振动转动能级等等问题上。通过计入各阶相对论修正，计算得到的氦原子、氢分子离子的精密光谱与实验相符到十位有效数字（更高位的限制在实验上）。但是问题在于，我们在这里所用的数值积分，即高斯近似，对么？这确实是一个大问题。别单看个格点的高斯积分公式有着高达阶的代数精度，我们要想着的是，一个基函数本身就是阶的多项式了！假设我们计算的势能是阶多项式，那么便是阶，只要，我们的高斯近似原则上就会导致与真实结果的出入。也就是说，即便是一个谐振子，势能矩阵都算不对！当然，数值结果和真实世界有出入是必然的，问题在于这个出入有多大。简单的说，对于谐振子，取以为权函数的厄米多项式格点，按照高斯近似计算得到的势能矩阵是，而精确计算积分得到的却是。考虑到厄米多项式格点的尺度大致和其阶数的根号成正比，那么高斯近似所造成的出入和就大概是矩阵元的！这种出入说起来是完全不可接受的，但在实际操作上，我们会发现求得的大多数本征能量和本征态与解析解的差别是按照的速度收敛（差别比较大的是那些高能量的本征态，然而我们本来就没期望它们能算）。更大的问题出现在一些带有奇异性的函数上。1993 年 Henderson 等人在讨论 H3+ 的振动态问题时发现(doi:10.1063/1.464711)，在拉盖尔格点下用高斯近似处理时，得到的矩阵元和完全严格计算积分得到的矩阵的对角元之间相差三倍，然而得到的物理结果却依旧显示了指数收敛的特性！在计算导数算符上，事情可能会好一点，因为导数可以让多项式降阶，从而使得高斯近似化作一个严格的等式。但是在一些比较复杂的坐标系上，我们往往需要计算导数算符和多项式的乘积，这个时候待积分函数阶数高于，而且在先做出一些恒等变换后再使用高斯近似，会出现不同的数值结果。很多人都注意到了这个问题，大家尤其可以注意一下这两篇文章的标题Baye, D., Hesse, M. \& Vincke, M. The unexplained accuracy of the Lagrange-mesh method. Physical Review E 65, (2002).Szalay, V., Szidarovszky, T., Czakó, G. \& Császár, A. G. A paradox of grid-based representation techniques: accurate eigenvalues from inaccurate matrix elements. J Math Chem 50, 636–651 (2011).尽管大家都投入了不小的努力，但是也仅仅对部分特殊问题下高斯近似的有效性做出了严格的论证，至于普遍性的误差估计，似乎还遥遥无期。对于这种情况，大家的态度一般都是...摊手，能用就用，不好用的时候再想办法。对于这种方法感兴趣想进一步了解的读者，可以参考综述文章 Baye, D. The Lagrange-mesh method. Physics Reports 565, 1–107 (2015).这个方法与有限元法(Finite Element Method, FEM)结合产生了一种新的方法，称为有限元离散变量表示(Finite Element-Discrete Variable Representation)，感兴趣的读者可以参考 Rescigno, T. N. & McCurdy, C. W. Numerical grid methods for quantum-mechanical scattering problems. Physical review A 62, 32706 (2000). 以及引用其的文章。
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