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集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。 逻辑演算是一种公理系统，其中的定理都是逻辑规律特别是推理形式。19世纪70年代G.弗雷格首先建立了一个完全的逻辑演算体系，其后G.皮亚诺也为此做了不少贡献，最后由B.A.W.罗素和A.N.怀特海完成了建立一个初步自足的、完全的二值外延逻辑系统的工作。弗雷格对逻辑的兴趣来自数学基础问题的研究。他认为，人们应该考虑如何定义数的概念并证明关于自然数的定理。
弗雷格认为，数学真理虽也要通过感性才为人所认识，但认识的来源并不就等于证明的根据，数学命题似乎可以纯粹从逻辑规律得到证明。从日常语言不能表达严格和复杂的思想这一考虑出发，他发明了一种表意的语言，名之为“概念语言”，用以表达其逻辑演算。这种语言虽然精确，但由于是二维的图形，不便理解，因此他的著作开始时影响很小。弗雷格的重要贡献之一是把数学里的函数概念引入逻辑并发展了量词理论。他的另一重要贡献是，区别了对象语言（演算里的语言）和语法语言（讲述演算所用的语言）。一个严格的逻辑演算必须有它本身的推导或演算规则，这种规则不应在演算里表达，这是现代逻辑所谓的变形规则。在其概念语言中，弗雷格曾举出一些演算规则，如分离规则等。他从集合论的角度利用“遗传性”定义了数的序列，为以后定义自然数序列及说明数学归纳法做了准备。由于他没有深入研究集合论，因而未能全面地阐明逻辑和数学的关系。
从古希腊亚里士多德的逻辑发展到今天，逻辑经过了两千多年的历史。亚里士多德的逻辑经过中世纪发展比较成熟，就形成了古典的形式逻辑。到了19世纪末20世纪初，德国的数学家和逻辑学家弗雷格、英国的数学家和逻辑学家罗素他们创建了数理逻辑，这种逻辑是不同于亚里士多德的逻辑，叫做经典的逻辑演算。从弗雷格、罗素以后我们就开始了现代逻辑的发展历程。弗雷格和罗素创建的这个叫经典的逻辑演算就成了现代逻辑的基础。在经典逻辑演算的基础上，又发展成了现代逻辑的庞大的学科群体，主要有两个大的学科群体：一个就叫数理逻辑，一个叫哲学逻辑。数理逻辑就是逻辑和数学的一个交叉，是逻辑学的一个分支。逻辑与哲学的交叉，就有了哲学逻辑，逻辑与法学的交叉就有了法律逻辑，等等。 皮亚诺认为，语言含混是数学基础问题难以解决的根源。他创造一符号体系，并用来精确地分析了大量的数学命题。他的符号简单适用，其中一部分仍被保留在当代逻辑文献中。在逻辑方面他的重要贡献有二，其一是区别两类间的包含关系与类和分子的从属关系，其二是区别某一个体和以此个体为唯一分子的类。皮亚诺没有给出一逻辑演算体系，只列举出一系列定理。在公理方法方面，他的 5条算术公理由于理论上优越而获得了公认。1900年在巴黎国际哲学会上他给罗素留下深刻的印象，推动了罗素的观点的发展。
罗素欣赏数学定理的必然性和数学论证的方法，想彻底理解数学知识的性质。他反对I.康德的数学来源于主观纯形式的观点，也不同意经验主义者关于数学依赖于经验归纳的看法。他主张数学可以从逻辑规律推导出来，这是逻辑主义观点。在他和怀特海合著的几乎完全以符号表达的三大卷《数学原理》里，总结了前人的成就，做出许多新的创造性贡献。他们改进和发展了C.S.皮尔士和施罗德的关系逻辑和关系理论。1901年罗素本人发现了由逻辑的最根本概念形成的悖论，引起了很大的震惊。1903年起，他又逐渐完善了解决悖论的类型论。他虽然也建立了一个完全的谓词演算，但不够严格和形式化。他未能很好地区别演算里（对象语言）的定理和演算外（元语言里）语法的变形规则，在这点上较之弗雷格犹有逊色。
在数学基础方面，罗素和怀特海最重要的贡献是从几个逻辑概念和公理出发再增加两个新公理，即无穷公理和选择公理（乘法公理），就推导出康托尔集合论、一般算术和大部分的数学。这两个新公理都是和实无穷大有关的断定，它们显示出逻辑和数学的联系和差别。单纯从逻辑推不出数学，必须再增加两个公理，可见数学和逻辑不等同。可是这结果也表明数学和逻辑的深刻联系，其他自然科学如生物学等都不是增加一两个这样的公理就可以从逻辑推出来的。
逻辑主义有双重涵义。它主张数学可以纯粹从逻辑推导出来，这是基本的涵义。此外有时它还意味着某种哲学观点，即认为数学可以从逻辑推导出来的不必都有明确或系统的哲学见解。弗雷格和罗素都是逻辑主义者，戴德金德也是逻辑主义者。弗雷格和罗素有哲学观点，而戴德金德似乎没有写下他对逻辑的哲学观点。能否从逻辑推出数学，这是极具体的科学推导问题，罗素和怀特海明确了数学和逻辑的相互关系，这是他们的卓越贡献，同时也解决了戴德金德的问题。在哲学方面，弗雷格和罗素都认为，逻辑是某种先验的理论体系，这是一种先验论观点。 关于逻辑与数学的关系其实一直有争论的。总结起来是这样几个观点。
自罗素悖论发现以来，对数学基础的研究有三个主要派别：逻辑主义、形式主义和直觉主义。 以罗素和A.N怀特海为代表。他们认为所有数学概念都归结为自然数算术的概念，而算术概念可借助逻辑由定义给出。他们试图建立一个包括所有数学的逻辑公理系统，并由此推出全部数学。逻辑主义认为数学是逻辑的延伸，在罗素的公理系统中不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理。如果没有这两条公理就无法推导出全部算术，更不用说全部数学。当然，罗素的公理系统充分发展了数理逻辑的公理体系，并且在此基础上展示了丰富的数学内容，对数理逻辑和数学基础的研究起了极大的推动作用，贡献是很大的。 直觉主义 又称构造主义。它的代表人物是L.E.J.布劳威尔。直觉主义者认为数学产生于直觉，论证只能用构造方法，他们认为自然数是数学的基础。当证明一个数学命题正确时，必须给出它的构造方法，否则就是毫无意义的，直觉主义认为古典逻辑是从有穷集合及其子集抽象出来的，把它应用于无穷数学就必然引起矛盾。他们反对在无穷集合中使用排中律。他们不承认实无穷体，认为无穷是潜在的，只不过是无限增长的可能性。可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。失去了数学的美，因而不被大多数数学家接受。 形式主义 以D.希尔伯特为代表，可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。希尔伯特主张捍卫排中律，他认为要避免数学中的悖论，只要使数学形式化和证明标准化。为了使形式化后的数学系统不包含矛盾，他创立了证明论（元数学）。他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。1931年K.哥德尔证明了不完全性定理，表明希尔伯特方案不能成功。后来许多人对希尔伯特方案加以改进。W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾性。在数学基础的研究中，鲁宾孙，P.J.科恩自称为形式主义者（希尔伯特本人不认为自己是形式主义者），他们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统，“无穷集”，“无穷整体”等在客观上是不存在的。希尔伯特的设想虽然没有实现，但却创立了证明论，又促进了递归论的发展，因此对数学基础的研究有很大的贡献。 古代由于科学技术发展水平的限制，无需专门研究数学基础，这种情况一直持续到牛顿、莱布尼兹创立微积分的时代。非欧几何的出现使人们意识到必须为数学建立不依赖于直观的基础，必须研究数学的可靠性，特别是无矛盾性，无公度线段的存在及集合论的悖论说明人们不能只依靠直观，而必须为数学建立严格的逻辑基础，解决数学的哲学基础问题。因此数学基础是包括哲学方法论和逻辑等诸方面问题的学科，数学基础现已形成数学的重要分支之一。
20世纪初期，集合论、公理方法和逻辑演算这三方面都继续发展，同时也引起了一系列争论。1900年巴黎国际数学会上希尔伯特提出著名的23个问题，其中，第 1个就是求证康托尔集合论的连续统假设和良序定理；第 2个是实数公理系统的一致性问题，并且认为公理的一致性可以说明实数系具有数学的存在。1904～1906年，J.H.彭加勒在评论法国数学家L.古杜拉时主张没有实无穷，数学归纳法是较逻辑更为根本的方法，因而数学不能归结为逻辑。1904年E.策尔梅洛(1871～1953)根据选择公理证明了良序定理，结果引起了对选择公理的广泛注意，同时也引起了几位著名法国数学家E.鲍瑞尔 (1871～1956)、H.勒贝格(1875～1941) 和R.贝尔(1874～1932)关于无穷多个的，特别是不可数个任意选择的可接受性的讨论。1907年荷兰数学家L.E.J.布劳维尔在博士论文《数学基础》里表示不承认康托尔集合论，也不同意把数学归结为逻辑。1908年，他在逻辑史上第一次提出排中律不可靠的论点。在论文《直觉主义和形式主义》(1912)里，他进一步阐述了直觉主义的思想。这些史实表明当时争论的重点在于：①有没有和如何认识实无穷，②什么是数学的存在，③数学应建筑在什么基础之上。围绕着这些问题，20年代出现了两个主要学派即直觉主义和所谓的形式主义。
希尔伯特方案 求模型是论证一致性的重要方法。集合论或数学分析不能再在其他理论得到模型。希尔伯特认为，感性经验和物理世界里没有无穷大和无穷集合，自然界里也找不到它们的模型。他称实无穷为理想元素。引进理想元素是现代数学常用的方法，例如几何的无穷远点。理想元素可以简化理论，使结构更为完整，但只有不因此而带来逻辑矛盾，增加理想元素才是可允许的。集合论和数学分析在一定意义上是“无穷的交响乐”，故而必须在求模型法外，设法论证它们的一致性。为此希尔伯特提出一个方案，这方案是：将包含实无穷的数学理论组成一个完全形式化的公理系统，用（不假定实无穷的）有穷方法来研究此公理系统内的证明，如能断定此种证明不会导致逻辑矛盾，则此系统的一致性得证。 完全形式化的公理系统或形式系统，论证一致性必须考察理论里一切可能写出的推导或证明。这是“证明论”命名之由来。证明论要求将一数学分支和其中推导所用的逻辑演算综合在一起组成一个完全形式化的公理系统。这样，系统里的证明才可以有严格定义，并且一个公式序列是否为一证明也可以根据一定的机械方式以有穷步骤去判定。现代逻辑可以在思想和符号之间建立对应关系。在某一系统的基本符号给定以后，根据关于符号的规则，一符号序列是否为一公式，从一组公式是否可以变换为某一公式，一公式序列是否为一证明，这些都可以去判定。符号的规则属于系统的语法部分。符号需有解释，解释的规则属于语义部分。语法和语义是形式系统的两个组成部分。初等数论、集合论和数学分析的形式系统都是证明论的对象。
总之，数学与逻辑的发展是密切相关的，它们相互影响、互相推进，数学发展影响和推进了逻辑的前进，反过来逻辑发展又影响和推动了数学的进步。 |
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