2022南昌二模数学部分小题解析

南昌二模已经考完，总体来看比去年的二模题难度有所下降。考来考去，仍然是在考基本功。我们按照惯例，还是提供部分小题解析如下。

理科：

选择题

9

考点：本题考查函数的单调性，函数图像，充分与必要条件。

解析：

❝

此题中 是确切的范围，而 是一个不等式，需要解不等式转化为关于 的范围。但是，左边函数并不单调，直接解比较麻烦，考虑通过图像来探究。

❞

，即图像在下方区域。在坐标系中作出两个函数的图像，如下：

观察图像直接得到两图像交点为和。

为什么可以直接看出？因为这两个点恰好都是函数图像平移中的关键点！

故，而，所以 是 的必要不充分条件。

故选。

难度：

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10

考点：本题考查向量的表示与运算。

解析：

图形中出现直角，并且两点都在直角边上，考虑建系。以为原点建立坐标系。

有，，进而求出。令可得。所以

这么好的条件，很难让人想用向量直接去做。

故选。

难度：

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11

考点：本题考查圆锥曲线的定义，离心率求法。

解析：

我们曾经说过，在圆锥曲线的小题中，一定不能忘记定义；其次，如果图形复杂，不必画出具体的圆锥曲线，只要清楚某个点在圆锥曲线上，满足其定义即可，否则手画图会比较乱，干扰我们寻找等量或者不等关系。

由题意我们知道抛物线的准线必过双曲线左焦点，设双曲线与抛物线在第一象限的交点为，作出如下图所示的矩形：

，则(双曲线，抛物线定义)，。在和中，由勾股定理，得

整理得

即

解得

故选。

难度：

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12

考点：本题考查数形结合思想，导数的几何意义。

解析：

题干说图像上存在两点如何如何，那肯定要先搞定图像。

第一步：从解析式直接看出是偶函数。没看出怎么办？用定义去验证，很显然满足。不知道往奇偶性这方面去想怎么办？那就需要记住，研究一个未知函数，必然要从四大性质入手，找出最明显的性质。

第二步：确定图像。因为，所以左减右增。画出草图。

第三步：处理这个式子。首先想到向量的数量积，但是符号不对，舍弃。通过图像可知 恒大于0，那么与必然同号。因为是偶函数，不妨设，同正，即都在 轴右侧，尝试化简。

现在比较明朗了，我们重新翻译一下问题：

在 轴右侧图像上存在两点，使得。

怎么保证？只要使得图像上的点与原点连线斜率的最小值小于即可(第二次翻译)。

怎么保证？只要过原点的切线斜率小于即可(第三次翻译)。见下图:

到这里，问题已经转化为过点的切线方程问题了。具体过程我们不再赘述。求得切点，所以有。

故选。

难度：

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填空题

15

考点：本题考查条件概率，古典概型。

解析：

「方法一：」

两球颜色相同包含的基本事件个数为，两球都是红球包含的基本事件个数为，由古典概率公式得

「方法二：」

设两球颜色相同为事件，两球都是红球为事件，由条件概率公式得

故答案为。

难度：

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16

考点：本题考查实际应用问题。

解析：

由题意，最少的时间是最大限速的车辆离停止线的距离恰好是停车距离的车辆，通过路口的时间。故

故答案为。

难度：   真是小学难度啊（手动捂脸）……

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文科：

选择题

12

考点：本题考查导数的应用。

解析：

若要满足，首先要在不单调。

在有零点(注意是开区间)，可得。令得，故有。

由，可得

当时，有最大值。

故选。

难度：

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填空题

16

本题解析见理科第11题。

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